Расчётно-графическая работа по дисциплине «Методы оптимизации и теория принятия решений» (стр. 3 )

4.1.2.  Метод свёртки

Суть данного метода состоит в сведении (свертке) нескольких критериев многокритериальной задачи в один общий критерий.

Зная коэффициенты предпочтения (получены от ЛПР) для каждого критерия составляем функцию свертки:

Устремив к минимуму и дописав ограничения задачи, получим следующую задачу.

Решим полученную линейную задачу в пакете MS Excel XP:

Таблица №8

Переменные: Значимость X1 = 1,6 A1 = 0,3 X2 = 3,2 A2 = 0,7 Целевая функция: Ф(X)= 0,780711 -> min Ограничения: X1+2*X2 8 >= 8 Ответ: 6*X1-5*X2 -6,4 <= 60 X1= 1,6 2*X1+3*X2 12,8 <= 40 X2= 3,2 X1 1,6 >= 0 Z= 59,2 -> max X2 3,2 >= 0 T= -14,4 -> min

Решив полученную задачу в MS Excel, получим:

Данное решение является крайней точкой множества эффективных решений.

4.2.  Принятие решений в условиях неопределённости (игры с природой)

Проводятся соревнования. Вы (тренер), и в Вашей команде 4 спортсмена. К тому же известно 4 претендента на победу на текущем этапе соревнований. Один из этих претендентов будет соперником на следующем этапе. Вероятность каждого из Ваших спортсменов на победу с любым победителем текущего этапа соревнований известна в (Таблице №9).

Таблица №9

4.2.1.  Критерий Вальда

При использовании этого критерия, считаем, что соперник делает все возможное для того чтобы помешать вам достигнуть успеха. Данный критерий характеризуется как критерий «крайнего пессимизма». Оптимальной стратегией считается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший «нижней цены игры» с природой:

Для нашей игры получим:

Таблица №10

	1 соперник	2 соперник	3 соперник	4 соперник	ai
1 спортсмен	0.55	0.51	0.57	0.60	0.51
2 спортсмен	0.48	0.51	0.55	0.55	0.48
3 спортсмен	0.54	0.70	0.57	0.50	0.50
4 спортсмен	0.57	0.53	0.52	0.49	0.49

Иначе говоря, необходимо придерживаться первой стратегии, т. е. выбираем 1 спортсмена

4.2.2.  Критерий Сэвиджа

Сущность данного критерия в минимизации возможного риска.

Для того чтобы воспользоваться этим критерием, составим матрицу рисков.

Таблица №11

	С 1	С 2	С 3	С 4	ai
1 спортсмен	0.02	0.19	0	0	0.19
2 спортсмен	0.09	0.19	0.06	0.05	0.19
3 спортсмен	0.03	0	0	0.10	0.10
4 спортсмен	0	0.17	0.05	0.11	0.17
bj	0.57	0.70	0.57	0.6

Согласно критерию Сэвиджа, необходимо выбрать стратегию S=3, т. е. 3-го спортсмена

4.2.3.  Критерий Гурвица

Этот критерий рекомендует руководствоваться при выборе стратегии ни крайним пессимизмом, ни крайним оптимизмом. Условием выбора стратегии является следующее соотношение:

Перепишем условие задачи, дописав дополнительные столбцы. Положим , т. е. небольшой перевес в сторону пессимизма.

Таблица №12

	C 1	C 2	C 3	C 4
1 спортсмен	0.55	0.51	0.57	0.6	0.51	0.60	0.546
2 спортсмен	0.48	0.51	0.55	0.55	0.48	0.55	0.508
3 спортсмен	0.54	0.7	0.57	0.5	0.5	0.7	0.58
4 спортсмен	0.57	0.53	0.52	0.49	0.49	0.57	0.522

H=0.58, выбираем стратегию S=3, т. е. 3 – го спортсмена.

4.2.4.  Критерий Лапласа

Данный критерий предполагает, что известны вероятности состояний природы - все состояния природы принимаются равновероятными, т. е. вероятность каждого состояния равна 0.25. В таком случае выбирается та стратегия, для которой среднее значение выигрыша по строке максимально:

Соответственно S=3, т. е. выбираем 3-го спортсмена.

5.  Ответы на вопросы

В: На каких этапах решения здесь используется дополнительная информация, поступающая от ЛПР

О: Метод свёртки - Дополнительная информация получается от ЛПР во время выбора коэффициентов предпочтения для критериев, а также, при выборе функции свертки.

Метод уступок - Во-первых, ЛПР ранжирует критерии по значимости. Во-вторых, ЛПР выбирает величину уступки.

В: Что такое игра с «природой»?

О: К играм с «природой» относятся игры, в которых нет конфликтной ситуации, т. е. игроки безразличны друг другу. Вторым игроком, как правило, выступает «природа».

В: Что известно, что нужно определить в этой задаче?

О: Известны выигрыши, стратегии игрока, а также стратегии «природы». Неизвестно как поведет себя «природа», в плане, какая ее стратегия будет вероятнее всего. Необходимо найти такую стратегию игрока, при которой выигрыш будет максимальным, либо минимален риск.

В: Чем определяется выбор критерия в такого рода задачах?

О: Выбор критерия определяется в первую очередь желанием игрока увеличить шанс получить максимальный выигрыш, либо минимизировать потери (риск). Если же известны еще и вероятности стратегий «природы», то выбор делается в пользу критериев, опирающихся на вероятностные оценки, помимо чистой выгоды или осторожности.

6.  Выводы

В ходе расчетно-графической работы №2 были изучены различного рода методы решения ЛПР. Каждый из них имеет свои преимущества, и недостатки в основном различия между ними заключаются в выборе главного критерия (по которому ищется ответ). Они легко реализуются в виде алгоритма.

Также был получен практический навык при выполнении расчетно-графической работы №2: “Принятие решений в различных условиях неопределенности ”. При использовании различных критериев для решения игры с «природой», для большинства из методов (см. Введение), были получены одинаковые результаты.

7.  Список литературы

1.  , , “Математическое программирование”, М., Высшая школа, 1980 г., 304 с.

2.  , “Исследование операций”, М., Высшая школа, 2001 г., 208 с.

3.  “Оптимизация в САПР”. Методические указания, № 000, Новосибирск, 1992 г., 28 с.