Методы оптимальных решений (стр. 1 )

,

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Краткий курс лекций

Саратов 2012

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени Н. И.ВАВИЛОВА»

_____________________________________________________

,

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Краткий курс лекций

Саратов 2012

УДК 517(075.8)

ББК 22.161.

К18

Издание осуществлено при поддержке

программы TEMPUS JP, грант Европейской

Комиссии 159188-TEMPUSPL-TEMPUS-JPCR

, Терехова оптимальных решений. (краткий курс лекций): Учебное пособие /сост.: , – Саратов: Изд – во ФГБОУ ВПО «Саратовский ГАУ»., 201с.

ISBN

Краткий курс лекций подготовлен в соответствии с положениями и требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования, включает основные теоретические вопросы, литературу по изучению курса.

Предназначено для студентов направления подготовки 110100.62 Агрохимия и агропочвоведение (профиль Агроэкология), 280100.68 «Природообустройство и водопользование», для бакалавров направления “Экономика предприятий и организаций” профиль“ Экономика предприятий и организаций (агропромышленного комплекса)”, “Бухгалтерский учёт и аудит”, “Пищевая промышленность”, “Финансы и кредит”, а также для магистров, аспирантов, преподавателей, научных сотрудников.

Данный материал опубликован при поддержке Европейского Союза. Содержание публикации является предметом ответственности авторов и не отражает точку зрения Европейского Союза.

© , ,

2012

© ФГБОУ ВПО СГАУ имени

ISBN , 2012

ВВЕДЕНИЕ

В курсе рассматриваются вопросы, связанные с построением математических моделей ситуаций целенаправленного принятия решения, исследуются свойства этих моделей, излагаются методы и алгоритмы, позволяющие находить оптимальные значения отвечающих за рациональный выбор параметров. Значительное внимание уделяется ситуациям, в которых при формировании оптимального решения необходимо учитывать интересы различных сторон.

Краткий курс лекций имеет прикладную направленность: теоретический материал иллюстрируется достаточно доступными примерами и задачами, имеющими, как правило, экономический и социальный характер. Материал данного курса найдёт свое конкретное применение в общепрофессиональных и специальных дисциплинах факультета экономики, посвященных микро - и макроэкономике, государственному управлению и экономике общественного сектора, фондовому рынку и финансовому менеджменту, институциональной экономике и ряду других научных областей. Поэтому данный курс лекций является важной составляющей системы фундаментальной подготовки современного экономиста, а также обеспечивает ему профессиональную мобильность.

ЛЕКЦИЯ 1

Исследование операций. Экономико-математические модели.

Управление организационными системами (оргсистемами) – сложная проблема. Характерной особенностью таких систем является включение в них, наряду с материальными, денежными, энергетическими и информационными ресурсами, также и коллективов людей, взаимодействующих как между собой, так и с указанными ресурсами. Примерами оргсистем служат фирмы, ведомства, министерства, вузы и их филиалы, города и др.

Оргсистемы являются объектом изучения теории исследования операций.

Под операцией понимают совокупность действий, направленных на достижение поставленной цели.

Исследование операций – научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов управления различными оргсистемами.

Ее цель – количественное обоснование принимаемых управленческих решений и прогнозных планов развития.

Исследование операций осуществляется на математических моделях изучаемых объектов.

Термин «модель» используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. В нашем курсе лекций определим модель как материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Следовательно, модель является инструментом научного познания. Она строится субъектом исследования так, чтобы отобразить характеристики объекта-оригинала (свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры и т. п.), существенные для цели исследования. Поэтому вопрос об адекватности модели объекту-оригиналу правомерно решать лишь относительно определенной цели.

Процесс построения, изучения и применения моделей называется моделированием. Его сущность схематически представлена на рис. 1.

Рис. 1.

Моделирование в экономике – это воспроизведение экономических объектов и процессов в ограниченных, малых, экспериментальных формах, в искусственно созданных условиях.

В экономике в основном используется математическое моделирование посредством описания экономических процессов математическими зависимостями. При изучении экономических процессов математические модели рассматриваются в тесной связи с целевыми системами и представляют собой некоторые целостные структуры, называемые экономико-математическими моделями (ЭММ). Таким образом, ЭММ – модели, включающие в себя совокупность математических зависимостей, логических построений, схем, графиков и т. д., связанных в некоторую единую систему, имеющую экономический смысл.

Приведем следующую общую классификацию ЭММ.

По целевому назначению ЭММ делятся на теоретико-аналитические и прикладные. Теоретико-аналитические ЭММ предназначены для исследования общих свойств и закономерностей экономических процессов. Прикладные ЭММ используются при решении конкретных экономических задач.

По характеру отражения причинно-следственных связей выделяют жестко детерминистские ЭММ и ЭММ, учитывающие случайность и неопределенность.

По способам отражения фактора времени ЭММ делятся на статические и динамические. В статических ЭММ все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени. Динамические ЭММ характеризуют изменения экономических процессов во времени.

По исследуемым экономическим процессам различают макроэкономические и микроэкономические ЭММ. Макроэкономические модели строятся на уровне национального хозяйства, а микроэкономические – на уровне организаций, их объединений и отдельных регионов.

Существуют и другие признаки классификации ЭММ. Причем с развитием экономико-математических исследований классификация исследуемых ЭММ расширяется.

Отметим также, что по характеру используемого математического аппарата при построении ЭММ различают методы классической и прикладной математики.

Методы классической математики включают математический анализ, линейную алгебру, теорию вероятностей и др.

Методы прикладной математики включают линейное, нелинейное, динамическое, целочисленное и другое программирование, математическую статистику, комбинаторику, теорию игр, управление запасами, теорию массового обслуживания, экспертные оценки и др.

Одним из признаков качества функционирования оргсистемы является критерий оптимальности ее функционирования. В сфере принятия экономических решений критерий оптимальности – это показатель, выражающий предельную меру экономического эффекта принимаемого управленческого решения для сравнительной оценки возможных решений и выбора наилучшего из них.

Критерий оптимальности, как правило, носит количественный характер. Например, в его роли могут выступить максимум прибыли или минимум затрат.

Математической формой критерия оптимальности в ЭММ является так называемая целевая функция, экстремальное значение которой характеризует предельно допустимую эффективность деятельности моделируемого объекта-оригинала.

На практике нередко успех операции оценивается не по одному, а сразу по нескольким критериям. В этом случае для выбора оптимального решения используют два подхода.

Первый подход заключается в том, что в целевой функции устанавливают приоритет критериев введением специальных коэффициентов (весов).

Второй подход состоит в отбрасывании из множества допустимых решений заведомо неудачных решений, уступающих другим по всем критериям. В результате такой процедуры остаются эффективные или так называемые «паретовские» решения, множество которых существенно меньше исходного.

Компромиссное решение – решение, оптимальное по всем критериям, как правило, не существует. И потому окончательный выбор приемлемого по этим критериям решения остается за лицом, принимающим решение.

ЛЕКЦИЯ 2

Балансовые модели. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

Продуктивные модели.

В экономике существует баланс между отдельными отраслями. Рассмотрим простой вариант модели межотраслевого баланса – модель «затраты-выпуск».

Пусть имеется n различных отраслей, каждая из которых производит свой продукт и нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Введем следующие обозначения:

xi ‑ общий объем продукции отрасли i за плановый год ‑ так называемый валовой выпуск отрасли i;

xij ‑ объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе производства;

yi ‑ объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере ‑ объем конечного потребления. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т. д.), поставки на экспорт.

Указанные величины сведем в таблицу.

Производственное потребление	Конечное Потребление	Валовой выпуск

Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом выполняется соотношение

, (1)

означающее, что валовой выпуск xi расходуется на производственное потребление, равное , и непроизводственное потребление, равное уi. Соотношения (1) называют соотношениями баланса.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки и т. п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевой балансы. В дальнейшем будем иметь в виду стоимостной баланс.

В. Леонтьев обратил внимание на важное обстоятельство: величины остаются постоянными в течение ряда лет, что объясняется примерным постоянством используемой технологии производства.

Сделаем следующее допущение: для выпуска любого объема xj продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве , т. е. материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции:

. (2)

Коэффициенты называют коэффициентами прямых материальных затрат или коэффициентами материалоемкости. Они показывают сколько необходимо единиц продукции отрасли i для производства единицы продукции отрасли j, если учитывать только прямые затраты.

Подставив (2) в балансовое соотношения (1), получим

или, в матричной записи,

, (3)

где

Вектор называется вектором валового выпуска, вектор ‑ вектором конечного потребления, а матрица А ‑ матрицей прямых затрат. Соотношение (3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов и это соотношение называют также моделью Леонтьева.

Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для плановых расчетов:

-  задавая для каждой отрасли i валовой выпуск продукции можно определить объемы конечного потребления каждой отрасли :

,

где Е – единичная матрица;

-  задавая величины конечного потребления каждой отрасли можно определить величины валового выпуска продукции :

,

где – матрица, обратная к матрице , ее элементы называют коэффициентами полных материальных затрат.

Отметим особенности системы (3): все компоненты матрицы А, а также векторов и неотрицательны (это вытекает из экономического смысла А, и ). Для краткости будем записывать это так: .

Таким образом, плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять при соблюдении следующего условия продуктивности:

матрица называется продуктивной, если для любого вектора существует решение уравнения (3).

В этом случае и модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной.

Сформулируем критерии продуктивности матрицы .

Критерий I. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и неотрицательна.

Критерий II. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда имеет место разложение матрицы в матричный ряд

. (4)

В соотношении (4) матрицы называются матрицами коэффициентов косвенных затрат 2-го, 3-го и т. д. порядков. Их сумма образует матрицу коэффициентов косвенных затрат

. (5)

Суть косвенных затрат поясним на примере производства двигателей. На их изготовление в виде прямых затрат расходуется сталь, чугун и т. д. Но для производства стали также нужен чугун. Следовательно, производство двигателей включает как прямые, так и косвенные затраты чугуна.

Таким образом, из соотношений (4) и (5) имеем

, (6)

т. е. матрица коэффициентов полных материальных затрат включает в себя матрицы коэффициентов прямых и косвенных затрат.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Исследовать на продуктивность матрицу

Решение. Сначала найдем матрицу :

Затем найдем . С этой целью по известным из линейной алгебры правилам вычислим определитель

алгебраические дополнения для элементов матрицы

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Тогда

Полученная матрица неотрицательна и по Критерию I исходная матрица А продуктивная.

Пример 2. Для матрицы А коэффициентов прямых затрат из примера 1 и вектора конечного потребления

найти: а) вектор валового выпуска; б) матрицу косвенных затрат; в) изменение вектора валового выпуска при увеличении вектора конечного потребления на величину

Решение.

а) Вектор валового выпуска вычислим по формуле

.

Имеем

б) Матрицу косвенных затрат В найдем из соотношения (2.6):

в)

Таким образом, при увеличении вектора конечного потребления на вектор валового выпуска увеличится на .

ЛЕКЦИЯ 3,4,5

Задачи математического и линейного программирования.

Модели линейного программирования.

Нередко экономические задачи имеют не единственное решение и требуется выбрать лучшее – оптимальное из них. Моделирование таких задач сводится к задачам математического программирования (ЗМП).

Математическое программирование – область математики, изучающая оптимизационные процессы посредством поиска экстремума функции при заданных ограничениях.

Сформулируем в общем виде ЗМП:

(7)

при условиях

(8)

(9)

где – целевая функция, условия (8) – специальные ограничения, условия (9) – общие ограничения ЗМП.

Точку , координаты которой удовлетворяют ограничениям (8) и (9), называют допустимым решением ЗМП.

Множество всех допустимых решений ЗМП называют допустимым множеством.

Допустимое решение , удовлетворяющее соотношению (7), называют оптимальным решением ЗМП.

Если в ЗМП целевая функция и функции , – линейные, то имеем общую задачу линейного программирования (ЗЛП):

(10)

(11)

(12)

В зависимости от вида специальных ограничений различают следующие ЗЛП:

-  каноническая ЗЛП, включающая в качестве ограничений (11) только уравнения, т. е.

;

-  стандартная ЗЛП, включающая в качестве ограничений (11) только неравенства, т. е.

Рассмотрим следующие примеры моделей, приводимых к ЗЛП.

Пример 1. Экономико-математическая модель задачи о планировании производства.

На заводе имеются запасы трех видов сырья: , и , из которого можно наладить производство двух видов товаров: и . Запасы сырья, норма его расхода на производство единицы товаров, а также прибыль от реализации единицы каждого товара приведены в таблице 1 (цифры условные).

Таблица 1

Сырье Товары				Прибыль
	3	1	1	25
	3	2	4	34
Запасы	126	48	72

Необходимо составить такой план производства товаров, при котором прибыль от их реализации будет максимальной.

Решение.

План производства зададим числами и , где – количество единиц товара , которое следует произвести . Неизвестные и должны удовлетворять условиям

или , (13)

(14)

Поясним смысл первого неравенства системы (13). В левой части записано количество сырья , которое расходуется на выпуск единиц товара и единиц товара . Это количество не должно превышать имеющегося запаса сырья , т. е. 126 единиц. Аналогичный смысл имеют второе и третье неравенства системы (13).

Прибыль, предприятия от реализации плана (, ) производства товаров, очевидно, составит

. (15)

В интересах предприятия максимизировать эту прибыль. Следовательно, чтобы составить план производства товаров, при котором прибыль от их реализации будет максимальной нужно решить стандартную ЗЛП: при условиях (13) и (14):

Пример 2. Экономико-математическая модель задачи о диете.

Имеются два вида продуктов: и . Содержание в 1 кг питательных веществ A, B и C, ежесуточные потребности организма V в них и стоимость S 1 кг продуктов приведены в таблице 2

Таблица 2

Витамины Продукты	A	B	C	S
	1	3	1	8
	3	1	8	16
V	6	9	8

Составить такую ежесуточную диету, которая обеспечивает необходимое количество питательных веществ при минимальных затратах на продукты.