Постановка учебной задачи выбора рационального управленческого решения (стр. 6 )

Номера вариантов.	A3	B3	С3	D3	E3	F3	G3	H3	K3
28.	7	5694	0.45	53	622	0.55	26588	9	457
29.	5	6581	0.39	54	333	0.34	29898	6	668
30.	8	5658	0.56	65	254	0.46	15849	3	545
31.	9	6584	0.55	59	359	0.67	15965	4	657
32.	7	5481	0.24	35	646	0.85	29877	6	245
33.	5	5420	0.65	18	454	0.75	15426	7	348
34.	7	6521	0.24	96	354	0.31	39659	4	651
35.	3	8564	0.56	52	259	0.45	85894	6	871
36.	7	5428	0.72	61	457	0.55	23587	5	547
37.	5	8512	0.72	48	556	0.88	25827	4	624
38.	7	5469	0.49	56	961	0.86	30218	5	449
39.	6	9858	0.59	24	345	0.31	59021	7	651
40.	5	5469	0.74	62	679	0.57	25846	8	404
41.	8	6942	0.75	74	668	0.45	83025	7	850
42.	7	6581	0.76	54	661	0.85	68043	6	904
16.	6	7353	0.45	65	348	0.42	26595	4	624
43.	7	6947	0.51	89	649	0.54	85125	2	544
44.	7	4588	0.71	47	848	0.87	25126	3	470
45.	5	7295	0.57	32	754	0.71	23123	4	622
46.	5	5842	0.79	47	354	0.34	49380	6	515
47.	6	6856	0.76	21	758	0.27	45122	7	685
48.	8	8647	0.89	17	648	0.42	26524	8	361
49.	9	4742	0.82	39	758	0.66	28466	9	558
50.	8	5686	0.79	65	345	0.29	03216	4	331
51.	3	7545	0.69	47	735	0.45	16536	5	890
52.	5	6853	0.29	51	425	0.75	20987	7	348
53.	7	4127	0.74	62	315	0.52	56240	6	480

Так, например, для варианта 16 (см. таблицу 1.1)задание на выбор рационального решения в количественном выражении будет выглядеть следующим образом:

1-е решение - R1: Р1R1 = (2, 7493, 0.25);

2-е решение - R2: Р1R2 = (5, 5693, 0.35); ( * )

3-е решение - R3: Р1R3 = (6, 7353, 0.45).

Зададим допустимые пределы изменения значения для числовых характеристик решений. Пусть для A – (0-10), для B - (0 – 10000),

для C - (0 – 1). Отметим, что единицы измерения для рассматриваемых числовых значений решений не принципиальны и могут быть для простоты опущены. Теперь для каждой числовой характеристики решений могут быть заданы так называемые функции полезности (ФП). Условимся, что А имеет «растущую» тенденцию изменения значений (чем больше числовое значение, тем лучше), аналогично и для С (пусть С некоторая положительная вероятностная характеристика). А вот В пусть имеет «падающую» тенденцию (чем меньше числовое значение, тем лучше) – какие либо затраты, потери или что то подобное. Простейшие ФП рекомендуемые для использования даны на рис. 1, 2, 3, и 4. Тогда для А далее будем использовать ФП № 1, для С - ФП № 3, а вот для В - ФП № 2. В этом случае в «полезностном» выражении (*) будет выглядеть следующим образом:

1-е решение - R1: Р1R1 = (0,4; 0,036; 0,07);

2-е решение - R2: Р1R2 = (0,7; 0,031; 0,11); ( ** )

3-е решение - R3: Р1R3 = (0,8; 0,033; 0,21).

В выражениях (**) отсутствуют размерности характеристик, все они имеют единственное смысловое значение – полезность, и все, без исключения, их значения лежат в диапазоне (0,1). В этом случае, естественно, возникает возможность объединения этих значений в единый показатель для целей сравнения и выбора некоторого рационального объекта, то есть для целей оптимизации.

График ФП № 1.

График ФП № 2.

График ФП № 3.

График ФП № 4.

Способ интегральной оценки эффективности предполагает, что все, без исключения, значения частных ПОЭ “сворачиваются” с помощью целевого функционала в единый комплексный (интегральный) показатель (ИПОЭ):

, где:

- F-вид функционала свёртки;

n-количество частных показателей;

ri- значение i-го ПОЭ;

ui- значимость (вес) i - го показателя в свёртке - коэффициент важности (весомости) ПОЭ с номером i - количественная характеристика значимости ПОЭ среди других, причём:

В качестве функционала F чаще всего используются 3 вида свёртки частных ПОЭ в интегральный:

§  Аддитивная свёртка:

li - коэффициент - вето, который “отслеживает” следующую ситуацию:

, то есть определяет факт «пропадания» значения хотя бы одного из значений pi, что, естественно, совершенно недопустимо и должно контролироваться и далее анализироваться и, при необходимости, обязательно исправляться.

§  Мультипликативная свёртка:

Гармоническое средневзвешенное:

Заметим, что для всех трёх функционалов свёртки частных ПОЭ обязательно выполнение условия их независимости по полезности (но не по значениям!). Обозначения S, П и G понимаются только как идентификаторы соответствующих алгоритмов свёрток.

На практике все три функционала свёртки дают, совершенно естественно, различные результаты. Для их уточнения можно просто определить среднее значение, что, очевидно, ближе к истине.

Выполним теперь процедуры свёртки для всех трёх выражений из (**), присвоив их элементам, например, следующие весовые значения:

(0,5; 0,3; 0,2), для А, В и С соответственно. Тогда для аддитивной свёртки будем иметь:

I1 = (0.5* 0.4+0.3*0.036+0.2*0.07) = 0.2248

I2 = (0.5* 0.7+0.3*0.031+0.2*0.11) = 0.3813

I3 = (0.5* 0.8+0.3*0.033+0.2*0.21) = 0.4519.

Результаты этих расчётов свидетельствуют о предпочтительности третьего решения.

Для мультипликативной свёртки имеем:

I1 = (0.4^0.5*0.036^0.3*0.07^0.2) = 0.1371

I2 = (0.7^0.5*0.031^0.3*0.11^0.2) = 0.1899

I3 = (0.8^0.5*0.033^0.3*0.21^0.2) = 0.2353.

Для функционала гармоническое средневзвешенное имеем следующие результаты:

J1 = (0.5/0.4+0.3/0.036+0.2/0.07) = 12.4405. I1 = 1/ J1 = 0.08

J2 = (0.5/0.7+0.3/0.031+0.2/0.11) = 1.8181. I2 = 1/ J2 = 0.0819

J3 = (0.5/0.8+0.3/0.033+0.2/0.21) = 10.6683. I3 = 1/ J3 = 0.09374.

Результаты расчётов для всех трёх функционалов свёртки свидетельствуют о явной предпочтительности третьего решения, так как значения интегральной полезности для всех трёх случаев максимально. Поэтому совершенно естественно и принять к реализации именно третье решение. Такой результат, по-видимому, и следовало ожидать, так как значения ПОЭ А и С для третьего варианта решения предпочтительны (см. (**)). Но на практике, когда количество ПОЭ существенно больше (по свидетельству ряда источников порядка 20), как и количество вариантов решений, «визуально» определить рациональный вариант решения совершенно невозможно и тогда математический метод поиска рационального решения остаётся практически единственным.