УДК 530.145.1
АДАПТИВНЫЕ КВАНТОВЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
В ГРАВИТАЦИОННО-ВОЛНОВЫХ ДЕТЕКТОРАХ
†, ‡
Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет, Москва, Ленинские горы 1-2
†*****@
‡*****@***com
Чувствительность гравитационно-волновых детекторов следующего поколения будет ограничена квантовыми шумами. Мы предлагаем оригинальный метод — адаптивные квантовые измерения, который позволяет преодолеть этот предел без существенного изменения существующих экспериментальных схем.
Ключевые слова: адаптивные измерения, квантовая теория измерений, гравитационно-волновые детекторы.
1. Введение
В гравитационно-волновых детекторах второго поколения, таких как Advanced LIGO[1,2], Advanced VIRGO [3] и KARGA [4], которые находятся на стадии строительства, чувствительность будет ограничена квантовыми шумами. Известно, что в таких системах имеет место характерное ограничение чувствительности, возникающее вследствие соотношения неопределенностей Гейзенбера и называемое стандартным квантовым пределом (СКП).
В гравитационно-волновых детекторах на высоких частотах гравитационных волн главным лимитирующим фактором будет шум, вызываемый флуктуациями фазы света внутри интерферометра (дробовой шум). На низких частотах главный вклад в суммарный шум будет давать случайная сила, создаваемая амплитудными флуктуациями света (шум светового давления). Точка, в которой эти шумы уравниваются, и достигается наилучшая чувствительность, является стандартным квантовым пределом.
Этот предел не является абсолютным, существуют различные методы преодоления, такие как: квантовые неразрушающие измерения (Quantum Non-Demolition, QND), которые предполагают использование гамильтониана взаимодействия измерителя и объекта, коммутирующего с оператором измеряемой величины [5,6], и измерения с избеганием обратного действия (Back-Action Evading, BAE) [6-9], использующие корреляцию между измерительными шумами и шумом обратного действия [9-13]. Однако эти методы требуют существенной модернизации существующих схем, и несмотря на то, что в гравитационно-волновых детекторах третьего поколения (Einstein Telescope) планируется их использование, множество технических трудностей значительно усложняет их реализацию.
Мы предлагаем иной подход, основанный на нестационарных измерениях — так называемые адаптивные линейные измерения, в которых параметры экспериментальной схемы изменяются с течением времени в зависимости от результатов предыдущих измерений.
В работе рассматривается адаптивное измерение амплитуды импульсной силы с неизвестным временем прихода с помощью линейного измерителя координаты. Кроме того, обсуждаются общие схемы построения адаптивных квантовых измерений, их преимущество перед обычными схемами и возможность применения в гравитационно-волновых детекторах.
2. Адаптивный метод
Рассмотрим простую систему, состоящую из механического осциллятора и линейного измерителя координаты (Рис. 1). В данной системе при произведении измерений возникает два шума: шум измерения и шум обратного действия. Последний связан с соотношением «точность измерения — возмущение» и отражает тот факт, что при измерении будет возникать сила обратного действия (back-action), возмущающая состояние объекта. На выходе из детектора мы получим сигнал (из решения уравнений движения осциллятора)
| (1) |
где x0(t) — эволюция начального положения осциллятора, ωm — собственная частота колебаний осциллятора, m — его масса, F(t) — внешняя сила, FBA(t) — сила обратного действия, xfl(t) — шум измерительного прибора.
Предположим, что на осциллятор действует импульсная сила с неизвестным временем прихода:
| (2) |
где τ - время прихода силы. Наша цель — оценить амплитуду пришедшей силы. Однако, очевидно, сделать это невозможно без знания времени прихода этой силы. Такая задача будет нелинейной, но ее можно линеаризовать, перейдя к другим переменным:
| (3) |
В этом случае сигнал уже будет линейным относительно новых величин:
| (4) |
Задача будет состоять в оценке величин A1, A2. Для решения данной задачи применим следующий адаптивный алгоритм:
Первый шаг. Произведём измерения двух квадратур осциллятора: через четверть периода в моменты t=0 и t=π/2ωm. Так как любое измерение одной квадратуры возмущает другую, измерения будем производить с равной и достаточно небольшой точностью.
Вычисления. Зная две квадратуры, мы можем посчитать оценку для времени прихода силы.
| (5) |
Эту оценку можно использовать для вычисления приблизительного значения квадратуры, в которой находится сигнал.
Второй шаг. Измеряем оценённую на этапе вычислений квадратуру и оцениванием величину амплитуды силы.
3. Результаты
Формула (4) и описанная выше процедура адаптивных измерений позволяет провести аналитическое вычисление дисперсии оценки амплитуды силы в зависимости от амплитуды силы. Это может быть сделано при следующих предположениях: 1) оценка (5) для времени прихода силы является несмещенной; 2) амплитуда силы много больше шума измерения (что упрощает вычисления). Чтобы было проще характеризовать полученные результаты, все величины в дальнейшем будем считать в нормировке на нулевое состояние, что эквивалентно замене в формулах частоты, постоянной Планка и массы на единицу. Результат аналитического расчета представлен на рисунке 2: при амплитуде силы больше некоторого значения становится возможным превзойти СКП.
Рис. 2. Аналитический расчет зависимости дисперсии оценки амплитуды силы от амплитуды силы. Красная линия - уровень СКП, зеленая - неопределенность начального состояния.
Рис. 3. Численный расчет зависимости дисперсии оценки амплитуды силы от амплитуды силы. Красная линия - уровень СКП, зеленая - неопределенность начального состояния.
Для подтверждения этого результата было проведено численное моделирование с помощью метода Монте-Карло: шумы считались белыми, моделировались случайными величинами, а затем проводилось усреднение по большому количеству реализаций. Результат этого моделирования представлен на рисунке 3. В области малых амплитуд видно существенное отличие от полученного аналитически результата, что естественно было ожидать – аналитический расчет велся в предположении достаточно большой амплитуды сигнала, и в этом случае численный расчет дает схожую зависимость.
Кроме того, следует обратить внимание на еще одну особенность полученного решения – смещение оценки (3). На рисунке 4 представлена зависимость смещения оценки (τ-E[τ̃]) от точности первого измерения. Хотя существует область вблизи оптимальной точности, когда оценка близка к несмещенной, в общем случае это не так, и данный вопрос требует дальнейшего исследования.
Рис. 4. Зависимость смещения оценки от точности первого измерения. Зеленая линия – оптимальная точность (для которой дисперсия оценки амплитуды силы минимальна).
4. Выводы
В данной задаче есть некоторые сложности, в частности: СКП становится возможным преодолеть лишь для достаточно большого отношения сигнал-шум, оценка времени прихода, выбранная в данной работе, оказывается смещенной, минимум дисперсии оценки ограничен неопределенностью начального состояния. Тем не менее, учитывая, что это лишь модель, можно сделать вывод, что принципиально адаптивные квантовые измерения могут быть применены в задачах прецизионных измерений, в частности в гравитационно-волновых детекторах. Решение этой задачи является направлением будущей деятельности.
ЛИТЕРАТУРА
1. www. advancedligo. mit. edu.
2. G. M.Harry (for the LIGO Scientic Collaboration), “Advanced ligo: the next generation of gravitational wave detectors.” Classical and Quantum Gravity, 27: 2010.
3. http://wwwcascina. virgo. infn. it/advirgo/.
4. http://gwcenter. icrr. u-tokyo. ac. jp/en/
5. V. B.Braginsky, F. Ya. Khalili, “Quantum Measurement”, Cambridge University Press, 1992.
6. V. B. Braginsky, F. Ya. Khalili, “Gravitational wave antenna with QND speed meter”, Physics Letters A, 147:251–256, 1990.
7. A. Buonanno, Y. Chen, “Quantum noise in second generation, signal-recycled laser interferometric gravitational-wave detectors”, Physical Review D, 64(4):1–21, July 2001.
8. F. Ya. Khalili, “Frequency-dependent rigidity in large-scale interferometric gravitational-wave detectors”, Physics Letters A, 288:251–256, 2001.
9. H. J.Kimble, Yu. Levin, A. B.Matsko, K. S.Thorne and S. P.Vyatchanin, “Conversion of conventional gravitational-wave interferometers into qnd interferometers by modifying their input and/or output optics”, Physical Review D, 65: 2001.
10. V. B.Braginsky, Yu. I.Vorontsov, F. Ya. Khalili, “Quantum features of the pondermotive meter of electromagnetic energy”, Sov. Phys. JETP, 46:705, 1977.
11. V. B. Braginsky, F. Ya. Khalili, “Quantum nondemolition measurements: the route from toys to tools”, Review of Modern Physics, 68:1–11, 1996.
12. W. G.Unruh. In P. Meystre and M. O.Scully, editor, “Quantum Optics, Experimental Gravitation, and Measurement Theory”, page 647. Plenum Press, New York, 1982.
13. M. T.Jaekel and S. Reynaud, “Quantum limits in interferometric measurements”, Euro-physics Letters, 13:301, 1990.
ADAPTIVE QUANTUM MEASUREMENTS IN GRAVITATIONAL-WAVE DETECTORS
Mikhail Korobko†, Oleg Kiryukhin‡
Lomonosov Moscow State University, Department of Physics †*****@
‡*****@***com
The sensitivity of the future gravitational-wave detectors will be limited by quantum noises. We propose the original method of quantum adaptive measurements that allows us to overcome this limit without significant modification of existing experimental schemes.
.
Keywords: adaptive measurement, quantum measurement theory, gravitational-wave detectors.
