Материя и мышление (стр. 2 )

24 МАТЕМАТИКА и мозг

ми расширениями: поле комплексных чисел, другие алгебраические расширения ρ-адических полей и, наконец, поля формальных степенных рядов над конечными полями. Физическое применение находит только одно, или, скорее, два из всех этих полей: действительное и комплексное. С такими числами, как р-адиче-ские, можно производить вычисления. Однако выглядит все это так, словно вместо того, чтобы считать слева направо, мы считаем справа налево. Понятия разрядности и значения числа здесь не соответствуют нашему привычному представлению об этих понятиях. Такие вычисления может с одинаковым успехом производить как компьютер, так и человеческий мозг. Вот только сложно найти достаточно простую физическую модель, способную выступить в качестве основы для мысленной визуализации этих вычислений. Мне, впрочем, думается, что мозг с его способностью к адаптации вполне может сформировать интуитивное представление, не имеющее никакой связи с физической реальностью, но адекватное для решения поставленных математических задач.

Ж.-П. Ш.: Мне кажется, ты не проводишь достаточно четкой грани между собственно математическими объектами и их свойствами. Эти объекты представляют собой «новые конструкции», представление о которых математик вырабатывает еще до того, как он изучит все их свойства. Поначалу математик располагает лишь «предположениями», или «постулатами», которые затем он может доказать или опровергнуть. Именно в предположениях, в изначально постулируемых конструкциях, мы прикасаемся к природе математических объектов. Еще Джон Стюарт Милль предлагал говорить, что «факт, получивший численное определение, есть факт материальный» [79]. Нет ничего удивительного в том, что целые числа обладают теми или иными свойствами. Эти свойства содержатся в том самом определении, которое предлагает математик на основании своего первоначального интуитивного предположения. Однако для изучения этих свойств требуется время. Аксиоматика, логика и все соответствующие им функции мозга играют, таким образом, решающую роль в анализе и дедукции, т. е. выступают в роли логического аппарата. Одной из наиболее поразительных качеств человеческой мыслительной машины является ее способность не только создавать новые мысленные объекты, но и анализировать их свойства, которые зачастую, но уже a posteriori, кажутся крайне простыми.

3. ИЗОБРЕТЕНИЕ или ОТКРЫТИЕ?

25

Действительное число

в диадическом представлении

Сложение двух действительных чисел

10,...

10,..

4- 1,.,

- 11,.

..,01

,.,01 ..,1 4

,.,11

р-адическое число, p — 2

Сложение двух р-адических чисел

Рис. 3. Пример сравнения сложения двух действительных чисел в диадическом представлении и сложения двух чисел в р-адическом представлении при p — 2. Соотношение действительных чисел определяется тождеством следующего вида: 0,00111= 0,0100

А. К.: В начальной школе детей учат сложению и делению простых чисел. Было бы значительно сложнее научить их манипулировать р-адическими числами. Почему? Да потому что в этом случае они пропустили бы очень важный для математической практики этап — контакт с реальностью. За пределами реальности мы теряем непосредственное ощущение величины и вынуждены заниматься чистыми вычислениями. Реальность, с которой мы имеем дело здесь, уже не является той осязаемой реальностью, которой обладают равнобедренные и какие угодно еще треугольники. Она гораздо шире. Когда мы производим вычисление двумя разными способами и не приходим к одному результату, мы испытываем настоящую фрустрацию. Такова математическая реальность для меня. Существует некая взаимосвязь, до сих пор не объясненная

26 МАТЕМАТИКА и мозг

и никак не зависящая от используемого нами набора методов рассуждения, которая гарантирует, что если все делать правильно, то ошибка обязательно отыщется. А здесь обнаруживается новая взаимосвязь, выходящая за пределы той взаимосвязи, что является продуктом чувственной интуиции, непосредственного восприятия феноменов.

Ж.-П. Ш.: То, что эта взаимосвязь пока не объяснена, еще не означает, что ее нельзя объяснить. Тем более если она, как ты утверждаешь, независима от используемого нами набора методов рассуждения.

4. Об историческом аспекте математики

Ж.-П. Ш.: У меня все же остаются сомнения относительно той точки зрения, которая утверждает, что математические объекты существуют где-то «во вселенной», независимо от каких-либо материальных и «внутримозговых» опор. Мне кажется полезным несколько дистанцироваться от работы математика и, в частности, от объектов, которые он создает. Математический объект следует помещать в тот исторический контекст, в котором он первоначально возник. Математику преподают как связную систему предположений, теорем и аксиом. При этом забывают, что все они появлялись постепенно, в процессе исторического развития математики и человеческих обществ — короче говоря, речь идет уже об объектах культурных, подверженных действию процессов эволюции. Помещение же математических объектов в историческую перспективу позволит их «секуляризировать», сделать не столь возвышенными, какими они порой представляются. Теория сменяет теорию, а некоторые теории, не опровергая предшествующие, привносят новый угол зрения. Так случилось, к примеру, с неевклидовой геометрией. Аксиомы неевклидовой геометрии образуют связное целое, т. е. здесь перед нами та самая взаимосвязь, которая так тебя удивляет и которая представляет собой, пусть только внешне, целостную систему, совершенно свободную от какой бы то ни было, как ты говоришь,* опоры на материю. И все же в XIX веке неевклидовы геометрии перевернули всю математику с ног на голову.

А. К.: Но ни в коей мере не нарушили целостности геометрии евклидовой! Более того, воспользовавшись этим примером,

4. ОБ ИСТОРИЧЕСКОМ АСПЕКТЕ МАТЕМАТИКИ 27

можно продемонстрировать возможности и продуктивность аксиоматического инструментария. Поначалу геометрия Евклида воспринималась через посредство одного лишь физического опыта. Евклид попытался предложить несколько аксиом, позволяющих осуществлять так называемые доказательства. Одна из этих аксиом представлялась совершенно избыточной: аксиома о единственности параллельной прямой, которую можно провести через одну данную точку. Казалось, можно доказать, что эту аксиому нет необходимости выделять, что она следует из других аксиом. Именно благодаря попыткам доказать ее право на существование в виде аксиомы были открыты все неевклидовы геометрии. На протяжении значительной части XIX века эти геометрии воспринимались математиками как нечто крайне эзотерическое. Гаусс даже не решался публиковать полученные им результаты, опасаясь, что ему просто-напросто не поверят. Затем в один прекрасный день Пуанкаре обратил внимание на то, что геометрия поверхности с кривизной — 1 предоставляет удобный, хотя и необычный, способ решения задач теории чисел, которыми он в то время занимался вне связи с геометрией. Из этого наблюдения родилась его теория автоморфных функций. А что вообще привело нас к мысли о возможности существовании неевклидовых геометрий? Может быть, мы убедились посредством наблюдений, что окружающее нас пространство евклидовой геометрией не описывается? Нет, мы просто решали некую аксиоматическую задачу, пытаясь объяснить геометрию через по возможности наименьшее количество свойств.

Ж.-П. Ш.: Это опять же не доказывает, что математические объекты нематериальны! На мой взгляд, аксиоматический метод есть представление, формируемое теми или иными способностями мозга — например, когнитивными способностями, связанными у человека с использованием языка. А определяющим свойством языка как раз и является его генеративный характер.

А. К.: Здесь уместно упомянуть об одной присущей математике характерной особенности, которую очень сложно объяснить. Предположим, мы решили составить полный список математических объектов, определяемых некоторыми очень простыми условиями, и ценой значительных усилий нам это удалось. Интуитивно мы полагаем, что наш список полон и исчерпывающ, и, как правило, стараемся отыскать способ это доказать. Однако часто бывает так, что в процессе этого самого доказательства мы обна-

28 МАТЕМАТИКА и мозг

руживаем какие-то другие объекты. Возьмем, например, теорию конечных групп. Понятие это весьма элементарно — того же порядка, что и понятие целого числа. Конечная группа — это группа симметрии конечного объекта. Были предприняты попытки классифицировать так называемые простые конечные группы, т. е. такие группы, которые, подобно простым числам, нельзя разложить на более мелкие группы. Задача эта крайне сложна. Галуа показал, что при n ^ 5 группа парных перестановок множества из n элементов является простой. А француз Клод Шевалле построил ряды простых конечных групп, напоминающие так называемые ряды групп Ли. Можно было бы решить, что помимо этих групп и тех, что открыл в прошлом веке Матье, никаких других групп не существует. Однако когда попытались это доказать, было обнаружено еще 20 групп, которые в перечень Шевалле не попали: речь идет о так называемых спорадических группах. Около 15 лет назад отыскали последнюю простую конечную группу, удостоенную эпитета «чудовищная». Эта открытая путем чисто математического рассуждения конечная группа содержит весьма впечатляющее количество элементов:

На сегодняшний день специалистам удалось ценой героических усилий доказать, что список из 26 простых конечных спорадических групп наконец-то полон (см. рис. 4).

Ж.-П. Ш.: Я не понимаю, каким образом возможность исчерпать все возможные варианты доказывает, что рассматриваемый объект есть некая «идеальность», существующая вне зависимости от человека. Возьмем, например, какой-нибудь правильный объект, куб или пирамиду из каменной соли. Ясно, что их свойства можно перечислить очень быстро. Это, однако, не доказывает, даже если так думает сам Декарт, что эти свойства можно классифицировать, как «вечные и неизменные» и никоим образом не зависящие от нашего мозга. Когда математик вырабатывает те или иные правила логической взаимосвязи (правила исключения, формализм), он строит некий универсальный язык, который позволяет ему исследовать свойства объекта, который он сам предварительно создал. В итоге математическое «открытие» представляет собой не более чем вывод из того, что сам же математик и придумал! Математик вскрывает лишь то, что Гранже называет «формальным

4. ОБ ИСТОРИЧЕСКОМ АСПЕКТЕ МАТЕМАТИКИ 29 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ________________________________________________

Определение

Конечная группа G задается конечным множеством G и законом композиции, т. е. представляет собой такое отображение G χ G на G (обозначаемое (gr1, д2) —> 9\9?,}< что:

1) 9ι (92 9з} = (9ι 02 ) 9з АЛ* всех 9г £ G<

2) существует такое е £ G, что eg — де = g; V g G G;

3) для всех g G G существует такое ^_г G G, что ##__! — g^1g = e.

Гомоморфизм группы G! на группу G2 есть такое отображение / множества GJ на множество G2, что 1(д1д2) = 1(дг 1(д2))> V 9ι 92 ^ G-

Конечная группа G является простой тогда и только тогда, когда любой гомоморфизм G на G' является либо постоянным, либо инъективным.

Теорема классификации простых конечных групп Простыми конечными группами являются следуюище:

— циклические группы первого порядка;

— чередующиеся группы пятого или менее порядка;

— группы Шевалле и группа Титса;

— 26 спорадических групп.

Спорадические группы:

ГРУППА ПОРЯДОК ИССЛЕДОВАТЕЛЬ

МГ1 24.32Матье

М12 26.33Матье

М22

М23 27.32Матье

М24 2

J2 27.33.52.7 Холл, Янко

Suz 213.37.Судзуки

H S 29. З2. Хигмен, Симе

McL 27. З6. Маклафлин

Со3 21υ.Конуэй

Go2 218.Конуэй

Col 221.Конуэй, Лич

Не 210.Хелд/Хигмен, Маккей

Fг22 217.3 Фишер

Fi23 218.313.523 Фишер

Рг24 221, ЗФишер

HN 214.36.56.Харада, Нортон/Смит

Т h 215.310.53.Харада, Томпсон/Смит

В 241.313.56.19.23.31.47 Фишер/Симе, Леон

M 246. З 1Фишер, Грисс

41.47.59.71

J1 23.3.5Янко

O'N 29..31 О'Нан/Симс

J3 27.35Янко/Хигмен, Маккей

Ly 28.37.67 Лайонс/Симс

Ru 214.33.53Рудвалис/Конуэй, Уэйлс

J4 221. З3.II3. 43 Янко/Нортон, Паркер, Бенсон,

Конуэй, Тэкрей

Рис. 4

30 МАТЕМАТИКА и мозг

содержанием» [43, с. 474-498]. Вряд ли сегодня кто-нибудь (за исключением, пожалуй, людей верующих, да и то не всех) станет утверждать, что Слово было прежде Материи!

5. Не является ли математика просто языком?

Ж.-П. Ш.: Когда мы говорим, мы манипулируем понятиями. Ты описываешь ряд рассуждений, т. е. мысленных или внутримоз-говых процедур, оперирующих конкретными объектами, которые ты себе представляешь. Можно вообразить себе, например, греческого геометра, рисующего на песке простые фигуры и изучающего их свойства. Ничего из того, что ты говоришь, не убеждает меня в том, что объекты обладают реальностью вне нашего мозга. Даже если ты можешь точно определить их количество и природу в самом связном и организованном виде. Более того, из твоих рассуждений следует, что математические объекты лишены какой бы то ни было «реальности» в платоновском смысле этого слова. Ты согласен с тем, что математика представляет собой язык, кроме того, известно, что существует некоторое количество языков элементарных... Возможно, математика представляет собой некий усовершенствованный продукт синтеза всех этих языков, нечто вроде универсального языка... Но ведь никому не приходит в голову, что китайский, например, или русский языки существовали в мире до появления человека. Так откуда лее возникает подобная гипотеза относительно математики?

А. К.: Ничто не доказывает, говоришь ты, реальности этих объектов вне нашего мозга. Давай сравним математическую реальность с окружающим нас материальным миром. Что еще доказывает реальность этого материального мира, кроме восприятия его нашим мозгом? Главным образом взаимосвязанность наших восприятий и их постоянство. Говоря точнее, взаимосвязанность осязания и зрительного восприятия у одного и того же индивида. И согласованность между восприятиями разных индивидов. Ту же природу имеет и реальность математическая. Вычисление, выполненное разными способами, дает один и тот же результат, независимо от того, выполнено оно одним индивидом или несколькими. Истинность теоремы Евклида о простых числах не зависит от того или иного способа ее восприятия. Верно и то, что математика используется в качестве языка другими на-

5. НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ли МАТЕМАТИКА ПРОСТО языком? 31

уками. Впрочем, сводя математику к одной лишь этой функции, можно совершить серьезную ошибку. Именно поэтому сравнение с китайским языком кажется мне не вполне оправданным. Математическую реальность начали изучать в тех ее зонах, где связываемые с реальным миром мысленные образы оказываются очень простыми. Такова, например, евклидова геометрия. В дальнейшем же, благодаря аксиоматическим процедурам или некоторым возникающим в теории чисел задачам, стало возможным достичь областей, куда более отдаленных, нежели реальность материальная. Тем не менее, реальность, с которой мы имеем дело в этом случае, столь же прочна, как и реальность нашего обыденного привычного окружения. Растерянность, испытываемая математиком, который не может понять, что же происходит в этой самой реальности, вполне можно сравнить с растерянностью слепого, который ищет дорогу. Это наводит меня на следующую аллегорию: представь, что я живу в деревне, из которой не могу уехать, и что за десяток километров от нее возвышается огромная башня. Если бы я был единственным слепым в деревне, мои соседи потратили бы уйму времени, описывая мне эту башню, существование которой не вызывает у них никакого сомнения, в то время как я не жалея сил уверял бы их в том, что эта башня есть всего лишь мысленная конструкция, обусловленная какими-то визуальными феноменами, о природе которых можно только догадываться. Так же, к сожалению, обстоит дело и с математической реальностью, существование которой можно спокойно отрицать, до тех пока не столкнешься с ней лицом к лицу.

Ж.-П. ILL: Эта «взаимосвязанность восприятия» внешнего мира производится твоим мозговым аппаратом, но на уровне абстракции, подчиненном уровню математических объектов. То, что в математических объектах можно обнаружить универсальные свойства, не доказывает, что они более независимы от человеческого мозга, чем слово «государство» или, скажем, «счастье». Разница лишь в том, что математические концепции допускают более точное и ограниченное определение и обладают, таким образом, более определенными, более «универсальными» свойствами.

С другой стороны, мне кажется, ты злоупотребляешь метафорой. Ты сравниваешь математическое исследование с исследованием континента или деревни со всеми ее улицами и башнями. Однако эта метафора переводит нашу дискуссию с абстрактного

32 МАТЕМАТИКА и мозг

математического уровня на уровень более низкий, конкретный, образный, который ни в коем случае не следует выдвигать на первый план. Метафора не может иметь доказательной силы. Еще хуже то, что ты играешь с различными и даже противоречивыми значениями слов «реальность» и «реализм». «Реализм» — это, прежде всего, платоновская доктрина, следуя которой Идеи составляют часть некоего мира, отличного от мира материального, и обладают реальной экзистенцией на более высоком уровне, чем существа индивидуальные и чувственные, являющиеся лишь отражением и изображением идей (см. рис. 1). Но это также доктрина, согласно которой бытие не зависит от актуального знания о нем тех или иных обладающих сознанием субъектов. И, наконец, «реалистом» является тот, кто постулирует разницу между природой бытия и природой мысли: бытие не выводится из мысли и не может быть адекватно и исчерпывающе выражено в логических терминах. К сожалению, твои метафоры уводят тебя от первого значения к третьему, в то время как сами эти значения противоречат друг другу! Что касается меня, то я употребляю слово «реализм» или термин «реальность», главным образом, в неплатоновском смысле, который представляет собой своего рода компромисс между другими двумя определениями. Я полагаю, что материя в разных своих состояниях, живые существа и собственно люди существуют независимо от человеческого мышления и актуальных знаний о них, которыми располагают существа, обладающие сознанием. Человеческая же мысль, сама являющаяся выражением некоего особого состояния материи, пытается описать эту «самость», эту ultima actualitas1. Основываясь на опыте, мысль пытается дать ей какое-нибудь последовательное определение, причем оно не обязательно должно быть исчерпывающим. Таким образом, я четко различаю реальность материальную и то, что ты называешь «реальностью математической». Существование этой последней, как мне представляется, связано с мышлением человека, которое, в свою очередь, является продуктом эволюции живых организмов.

Окончательная реальность (лат.) — Прим. перев.

Материалист ли Платон?

1. Интеллектуальная аскеза материалиста

ЖАН-ПЬЕР ШАНЖЁ: Твои тезисы о природе математических объектов кажутся несколько парадоксальными: ты защищаешь точку зрения платониста, убеждая меня в то же время в наличии у твоих воззрений материалистического фундамента. Может быть, нам прежде следует отказаться от всего того, что можно назвать материализмом или, скорее, материалистическим методом, материалистической, иначе говоря, программой? Речь идет, как показывает в своей «Безмолвной философии» [24], о попытке объяснения, требующей минимального количества материала и ограничивающейся, по возможности, законами физики и химии. Таким образом, материализм предполагает, употребляя термин Спинозы, emendatio intellectus, усовершенствование разума, в форме интеллектуальной «аскезы», с помощью которой мы пытаемся избавиться от преследующих нас мифических пережитков, в частности, от платонизма. Материалистическое объяснение способствует реинтеграции человека с природой. В упомянутой работе, которую я нахожу превосходной, Дезанти показывает, что эта задача предполагает построение моделей реальности, которые всегда содержат в себе, следуя его терминам, «субмодель», к построению которой мы подходим с особой тщательностью. Он полагает, что «знание производится именно моделью множества процессов, и ее важно построить так, чтобы 1) она была соотносима с моделью реальности, и 2) из нее была бы явно устранена любая апелляция к трансцендентности в какой угодно форме. Чтобы закрепить предложенные идеи, назовем такую субмодель аппаратом познания, потребовав тем самым его создания» [24, с. 139]. Для нейробиолога таким аппаратом познания, который позволяет охватить реальность и построить ее модели, является, естественно, мозг. Дезанти, философ математики, четко формулирует проблему природы математики в нейробиологических терминах, однако счи-

34 МАТЕРИАЛИСТ ли ПЛАТОН?

тает, что разрешить эту проблему невозможно. Он далее писал однажды, что «построение адекватной модели аппарата познания может быть только химерическим... остается, следовательно, полагаться лишь на слабую материалистическую эпистемологию» [24, с. 145]. Такое мнение философа является следствием недостаточного развития нейронаук — что, увы, не редкость; следует, кроме того, отметить, что в то время недостаточно развиты были не только нейронауки, но и когнитивные науки вообще.

Я, напротив, являюсь сторонником сильной материалистической эпистемологии, она одна кажется мне приемлемой для опытного ученого, который честен сам с собой. Эта точка зрения не нова. Она была сформулирована еще Демокритом, философом-досократиком, который, если верить легенде, всегда улыбался (см. рис. 5). Вообще, история помнит многих ученых, имевших мужество придерживаться именно такого взгляда на мир, невзирая на преследования: Ванини, сожженный инквизицией в Тулузе в 1619 году, анатом Везалий и, конечно же, Галилей — это лишь некоторые из жертв нетерпимости, все еще встречающейся даже в наши дни.

Итак, необходимо определить составляющие того, что Дезан-ти называет аппаратом познания, и попытаться описать результаты работы этого аппарата, в частности, в области математики. Аппарат познания есть «механизм абстракции или конструкции, производящий типы и классы объектов, исходя из осязаемой материи, которую в оригинальном виде поставляет разуму окружающий мир». Это отличное определение функционирования мозга. Задача нейробиолога, желающего реализовать сильную материалистическую эпистемологию, состоит, таким образом, в том, чтобы описать, в частности, то, как человеческий мозг порождает объекты, включая, помимо прочего, и математические объекты. На какие мысли наводит тебя такой материалистический подход?

АЛЕН Конн: С одной стороны — независимо от человека существует математическая реальность, необработанная и незыблемая; с другой стороны — мы воспринимаем ее посредством нашего мозга, расплачиваясь, как говорил Валери, редким слиянием сосредоточенности и желания. Что до меня, то я провожу различие между математической реальностью и инструментами, с помощью которых мы ее изучаем, и допускаю, что мозг — это материальный инструмент исследования, не содержащий ничего божественного и не имеющий ничего общего с трансцендентностью в какой

1. ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНАЯ АСКЕЗА МАТЕРИАЛИСТА

35

Рис. 5. Портрет Демокрита кисти Антуана Койпеля (1692). Демокрит родился где-то между 500 и 457 г. до н. э. в Абдере, одной из ионийских колоний, где соприкасались греческая и восточная культуры. Демокрит прожил очень долгую жизнь — по разным источникам, от 100 до 109 лет. Он был современником Сократа и, считается, вместе с Левкиппом, основателем философии атомизма; по утверждению Ницше, Демокрит стал первым мыслителем-рационалистом, исключившим из процесса мышления какие бы то ни было мифические элементы. Демокрита традиционно изображают улыбающимся, что как бы символизирует его триумфальную победу над иррациональными страхами и предрассудками. (Лувр)

36 МАТЕРИАЛИСТ ли ПЛАТОН?

угодно форме. Чем лучше мы поймем, как он функционирует, тем лучше мы сможем его использовать. Однако математическая реальность от этого все равно не изменится. Она просто не может измениться — не более, чем может измениться последовательность простых чисел. Изменится лишь сумма наших познаний. Если бы я был лишен ощущений, с материалистической точки зрения, то я вполне мог бы утверждать, что «человеческий разум» только тем и занят, что совершенствует свои познания о физическом и биологическом функционировании мозга. Я далек от этой мысли. Следовательно, моя позиция разумна.

Ж.-П. Ш.: «Независимость» нуждается в определении. В рамках платоновского реализма она означает «нематериальность». Однако мне очень хотелось бы узнать о физических носителях математических объектов, независимое существование от человеческого мозга которых ты постулируешь, провозглашая себя при этом материалистом. С трудом могу представить себе существование в природе, скажем, целых чисел. Было бы весьма занимательно наблюдать число π = 3,1416, начертанное золотом в небесах, или же постоянную 6,02 χ ΙΟ23 в бликах хрустального шара! Атомы в природе существуют. Безусловно. А атом Бора? Его нигде нет. Курица может, в случае необходимости, определить на глаз количество снесенных ею яиц, в лучшем случае, отдать себе отчет в том, какое пространство яйца занимают в гнезде. Но она наверняка не сможет ни сосчитать до десяти, ни определить те или иные свойства целых чисел. Мне кажется, что математика представляет собой, скорее, некий формальный язык, максимально упрощенный и свойственный лишь человеческому роду.

А. К.: Я полагаю, не следует смешивать математическую реальность с ее возможным воплощением в природных феноменах. Когда я говорю о независимом существовании математической реальности, я вовсе не локализую ее в реальности физической. Некоторые из физических моделей действительно используют математику для описания природных явлений, но мы совершили бы серьезную ошибку, сведя всю математику к этим явлениям. Я думаю, что математик раскрывает «смысл», несводимый к зрению, слуху, осязанию, — смысл, позволяющий ему воспринимать реальность, столь же ограниченную, как и физическая реальность, но намного более стабильную, поскольку она не локализована в пространстве и времени. Когда исследователь постигает географию математики, он постепенно начинает чувствовать контуры и структуру матема-

1. ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНАЯ АСКЕЗА МАТЕРИАЛИСТА 37

тического мира, необычайное богатство этой структуры. В нем постепенно развивается чувствительность к понятию простоты, которое дает ему возможность проникать во все новые области математического ландшафта.

Ж.-П. Ш.: То есть твоим главным аргументом является простота. А нельзя ли точно так же сказать, что, к примеру, тема Седьмой симфонии Бетховена тоже чрезвычайно проста?

А. К.: Да, но она не настолько необходима. В этом разница.

Ж.-П. Ш.: Но ведь эту необходимость создает твой собственный мозг. Эту простоту порождаешь ты сам, сравнивая свои мысленные представления друг с другом или с природными объектами, констатируя их адекватность или неадекватность с помощью упомянутого тобой чувства, которое, как мне кажется, является продуктом соответствующей способности нашего мозга. Еще раз спрошу, не доказывает ли это, что такая простота имеет нематериальное происхождение?

А. К.: Разница с симфонией Бетховена заключается в следующем: в математике мы можем раз и навсегда доказать, действительно доказать, поставленную перед нами задачу — возьмем для примера все те же конечные группы, полным списком которых для исследуемых объектов мы располагаем. Однако нет ни одной теоремы, которая позволила бы нам вывести из первой темы всю остальную симфонию Бетховена.

Ж.-П. Ш.: Важное различие. Однако это «генеративное» свойство математики мы обнаруживаем и в другой форме — в записи музыки, в частности, у Баха, Булеза, современных композиторов. Что составляет одну из черт, характерных для человеческого языка, самым простым способом выражения которого является синтаксис. Определенной генеративностью могут при этом обладать сами понятия. Рассмотрим, к примеру, понятие свободы. Несмотря на то, что это понятие не является математическим, оно обрело во времена Французской Революции немалые генеративные способности, которые сохраняет и в наши дни. Сколько новых понятий, сколько законов основываются на определении свободы! В нем — источник целого ряда социальных реорганизаций, новых прав человека и прочих потрясений государственных структур (см. рис. 6). Тем не менее, никто же не говорит, что свобода существует в природе независимо от человека. Естественно, предложенное тобой математическое доказательство имеет вид намного более строгий, завершенный, полный, связный и прочая и прочая,

38 МАТЕРИАЛИСТ ли ПЛАТОН?

чем то, что история смогла вывести из понятия «свобода». Однако не сравнимо ли в этом смысле такое абстрактное понятие, как свобода, с понятием целого числа — если, разумеется, не принимать в расчет смысловой нагрузки каждом из этих понятий? Почему различие в их природе представляется нам столь глубоким?

А. К.: Не будем путать инструмент и исследуемую реальность. Понятие свободы было выработано человеческим разумом постепенно с тем, чтобы объяснить те или иные поступки живых существ. В их реальности я ничуть не сомневаюсь! Так же и математик разрабатывает те инструменты (например, аксиоматический метод) или понятия (например, понятие общей топология или вероятности), которые позволили бы ему лучше понять, скажем, последовательность простых чисел. Однако то, что с течением времени разрабатываются различные понятия и методы исследования, вовсе не искажает реальность этой последовательности. Это лишь позволяет лучше ее понять. Твой отказ допустить существование математической реальности происходит, с одной стороны, из смешения понятийного аппарата с реальностью, а с другой — из того, что существующая физическая иллюстрация математики весьма неполна.

Ж.-П. Ш.: Я ни в коем случае не смешиваю понятийный аппарат и реальность в том смысле, в котором я употребляю это слово. Поскольку для меня этот «аппарат» служит для изучения свойств объектов, производимых мозгом математика и имеющих аутентичную физическую реальность. И наоборот, я не считаю, что аксиоматический метод является понятием. Это церебральная процедура. Тогда как целое число — это понятие, упрощенное «мысленное представление», изначальные свойства которого легко определить. По-моему, «свобода» представляет собой аутентичное понятие, и ее никоим образом нельзя сравнивать с аксиоматическим методом.

2. Математический психоанализ

А. К.: Одна из важных черт работы математика — это способность распознавать внутреннюю связь и свойственный некоторым понятиям генеративный характер. Некоторые весьма простые понятия могут порождать другие идеи или модели самого разного рода. Постепенно начинаешь испытывать ощущение, будто иссле-

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПСИХОАНАЛИЗ

39

Рис. 6. Статуя Свободы, площадь Тяньаньмень, Пекин, 29-30 мая 1989 года. (© Agence Vu: Manuel Vimenet)

40 МАТЕРИАЛИСТ ли ПЛАТОН?

дуешь новый мир... и достигаешь той связности, которая ясно показывает тебе, что вот еще одна из областей этого мира исследована полностью. Ты чувствуешь, что этот мир существует и существует независимо от тебя.

Ж.-П. LLL: Ты говоришь «чувствуешь»? Означает ли это, что твое отношение к математике является скорее чувственным, чем аналитическим?

А. К.: Скорее, здесь можно говорить об интуиции — об интуиции, выработанной кропотливым трудом. Моя позиция основывается, с одной стороны, на фрустрации, которую я часто испытываю от неполного или противоречивого решения задачи, а с другой стороны — на прямом контакте с математическими объектами, контакте, который и порождает интуицию, естественно отличную от интуиции, порождаемой природными явлениями. Реализм и материализм вовсе не кажутся мне несовместимыми. Чем приходится поступиться ради того, чтобы принять в качестве рабочей гипотезы независимость существования математической реальности? Мне кажется ничем. Напротив, такая гипотеза дает нам уверенность в том, что мы всегда сможем отыскать способ сообщения этих понятий от одной цивилизации к другой.

Ж.-П. Ш.: Поступаться ничем не нужно, нужно лишь понять, как наш «аппарат познания» производит такого рода объекты! И мне чрезвычайно интересно, не является ли независимость, о которой ты говоришь, в какой-то степени следствием того простого факта, что существуют некие особые культурные объекты, которые можно передавать от индивида к индивиду независимо от культурной принадлежности последних — своего рода ограниченная универсальная семантика человеческой вселенной, имеющая хождение до получения более полной информации во всей ее объективности. То, что эти объекты могут существовать и в письменном виде, будучи, например, начертанными на песке, как делали древние греки, или записанными на компьютерных магнитных носителях, позволяет сделать вывод, что объекты эти независимы от человеческого мозга. Однако это совершенно не так. Здесь речь идет, скорее, о «культурных репрезентациях», способных размножаться, процветать и распространяться, передаваясь из мозга в мозг. Они обладают специфическими свойствами — например, для них характерна та самая взаимосвязанность, та «внутренняя необходимость», которую тебе так нравится подчеркивать и которая придает им «видимость» автономии. И эта «видимость» те-

3. ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ ТИПИЧНЫМИ

бя зачаровывает, т. е. здесь имеет место та же фасцинация, что возникает — постфактум — у творца при взгляде на созданный им объект. Ее можно объяснить как самой научной практикой, так и неразрывно связанной с этой практикой субъективностью. Можно ли утверждать, что человек, проходящий курс психоанализа, продвигается в понимании глубинной природы своего собственного мозга с помощью приобретаемых опытным путем сведений о себе или о людях, с которыми он поддерживает отношения? К сожалению, нет. Психоанализ не приводит к сколько-нибудь значимому прогрессу в познании мозга, его строения, его физико-химической природы. Я боюсь, что возникающее у тебя «чувство открытия» этой совершенно платоновской «реальности» есть результат исключительно интроспективного — а потому субъективного — видения проблемы. Тем не менее, я допускаю, что математика представляет некий особого рода продукт деятельности мозга. И я думаю, мы могли бы сойтись на таком определении. Математические объекты — это столь же абстрактные понятия, как и понятие свободы. Они обладают специфическими свойствами. Но это ни в коем случае не доказывает их нематериальности — не более, чем реализм Платона.