Материя и мышление (стр. 9 )

2. КОДИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ФОРМ 143

группы. Для объяснения я мог бы перейти на уровень комбинаторики, но этот путь слишком труден. С тем же успехом я могу привести геометрическую картинку. Несмотря на то, что симпли-циальный комплекс представляет собой комбинаторный объект, он имеет и так называемую «геометрическую реализацию». Вершина симплициального комплекса помещается в пространство достаточно большой размерности, вершины, являющиеся крайними точками одного ребра, соединяются настоящим отрезком, три точки в вершинах треугольника образуют вместе с соединяющими их отрезками настоящий треугольник и т. д. Описанная фигура представляет собой пример геометрической реализации симплициального комплекса размерности 2 (см. рис. 29). В общем случае изобразить его достаточно сложно, так как симплициальный комплекс неизбежно попадает в пространство большей размерности. Вот почему невозможно непосредственно визуализировать его геометрически. Следовательно, мы вынуждены заменить здесь геометрию комбинаторикой. Однако на таком представлении — по крайней мере, в случае малых размерностей — можно легко объяснить, почему две траектории могут определять один и тот же элемент фундаментальной группы. Или, что равнозначно, каким образом траектория определяет ту или иную сущность как элемент фундаментальной группы. Это происходит, когда траекторию можно деформировать без разрыва так, что она становится тривиальной (см. рис. 30). С помощью этой конструкции можно уже получить все хоть сколько-нибудь интересные группы, начиная с симплициального комплекса размерности 2. Отсюда и происходит невероятное богатство комбинаторики, даже в случае сим-плициальных комплексов размерности 2. Удивительно то, что мозг потенциально скрывает в себе мириады возможностей для реализации этой комбинаторики и применения богатств топологии. Например, сосчитать количество отверстий в поверхности есть не что иное, как вычислить для этой поверхности характеристику Эйлера - Пуанкаре.

Ж.-H. LLL: Можно ли, исходя из этого, сконструировать машину? Это и в самом деле стало бы лучшим доказательством...

А. К.: Сосчитать количество отверстий в поверхности, т. е. характеристику Эйлера-Пуанкаре, очень просто. Чтобы извлечь инвариант, машина должна будет сосчитать количество вершин. Ей нужно будет вычесть число ребер и прибавить число треугольников. Все это не представляет абсолютно никакой слож-

144

ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

я

Δ1 - (А, В, С, D, E, F, (7, Я, /)

ЛЯ, ЯС, CD, /Ж EF, FG, AC, BE, CF, DF, EH, FI, Δ2 = (AD, BF, CH, DG. EI, GH, AE, BG, CI, DH, HI, GI, AG, BH, AI)

Δ3 - (AEB, AED, DEH, DGH, BGH, AB G, ACD, CDF, DFG, FIG, AIC, AIG, BCF, BEF, BGH, CHI, EIF, EIH)

Симплициальный комплекс

Геометрическая реализация

Рис. 29

ности. Вполне хватило бы самой обыкновенной электрической системы.

Ж.-П. Ш.: Мозг не функционирует таким образом. Не считает.

А. К.: А электрическая система считает. Представь систему, в которой вершины обладают равными и положительными электрическими зарядами. Каждое ребро заряжено отрицательно. Каждый треугольник добавляет к общей сумме один положительный заряд. Если в момент включения системы определить ее общий заряд, то мы получим топологический инвариант.

2. КОДИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ФОРМ

145

Рис. 30. Петля АС В представляет собой нетривиальный элемент фундаментальной группы симплициального комплекса, изображенного на рис. 29. Петля AED есть тривиальный элемент, поскольку она, как показано на рисунке (шаги 1, 2 и 3), поддается деформации.

Ж.-П. Ш.: Думаю, нужно все это реализовать.

А. К.: Естественно. И это вполне возможно. К тому же, ничто не мешает этому явлению оказаться не только электрическим, но и химическим.

Ж.-П. Ш.: Разумеется. Электрическое явление показалось мне привлекательнее, поскольку его легче измерить. Измерять выделение химических медиаторов гораздо сложнее, но это также можно реализовать — по крайней мере, опосредованно. Однако нам еще не скоро удастся сделать это. В случае центральной нервной системы сложность состоит еще и в установлении соответствия между малыми совокупностями нейронов и более глобальной, равно как и более неуловимой, размерностью. Впрочем, это возможно — например, в случае с распознаванием лица на уровне височной коры.

А. К.: Можно было бы предположить, например, что распознавание форм, не превышающих топологию размерности 2, производится системой, состоящей лишь из точек (нейронов), ребер и треугольников. Иначе говоря, системой, в которой нет необходимости возбуждать коррелированно совокупности, состоящие более чем из трех нейронов. Впрочем, все это, очевидно, является чистой спекуляцией.

Ж.-П. Ш.: Вовсе нет. Это простое предсказание, которое можно представить на рассмотрение физиологам! Измерение корреляции активности среди нейронов выполняется уже во многих лабораториях [44]. Мы обсудили вопрос об инвариантах и репрезентациях. Перейдем теперь ко второму вопросу: организации долго-

146 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

временной памяти, часто представляемой в виде деревьев... Если учесть твое, основанное на этой новой топологии, понимание феномена репрезентации, то что ты можешь сказать о доступе к долговременной памяти и об ее организации? И каким образом человек оказывается способен рассуждать по аналогии? Учитывая опять же, что рассуждение по аналогии можно очень просто свести к установлению соответствий между двумя разными деревьями.

3. Организация долговременной памяти

А. К.: Я знаю, что в рамках того, что касается проблем запоминания, распространена модель деревьев, о которой я только что говорил. Здесь не избежать объяснения одного понятия более общего порядка, более тонкого, нежели понятие дерева: я говорю о гиперболическом симплициальном комплексе, или о комплексе с отрицательной кривизной. У меня нет четкой идеи, как именно можно применить это понятие к процессам запоминания. Ясно одно: понятие дерева слишком ограниченно, слишком жестко, а в случае необходимости исправить ошибку оно предписывает двигаться задним ходом, в точности следуя проделанному пути. Понятие гиперболического симплициального комплекса является гораздо более гибким и не теряет при этом свойств деревьев, каковые свойства используются при моделировании запоминания. Понятие дерева одномерно и организует информацию в памяти линейно, тогда как гиперболические симплициальные комплексы делают это более тонким образом.

Что такое гиперболический симплициальный комплекс? Это свойство можно определить чисто комбинаторным путем — сказать, например, что для того, чтобы симплициальный комплекс с размерностью 2 был гиперболическим, достаточно, чтобы каждая вершина треугольника была общей, по меньшей мере, для семи различных треугольников. Но мы гораздо лучше поймем значение этого понятия, если обратимся к геометрии и геодезии. Для этого нам следует, прежде всего, вернуться к неевклидовым геометриям. В модели Пуанкаре — отображении внутренней части круга на плоскость — геодезические линии представляют собой перпендикулярные к краю круга дуги окружности. Возьмем такую геодезическую линию (см. рис. 31) и точку Р, не лежащую на этой линии.

3. ОРГАНИЗАЦИЯ ДОЛГОВРЕМЕННОЙ ПАМЯТИ 147

Можно легко построить бесконечное множество других геодезических линий, которые проходят через P и не пересекают первую линию. В такой геометрии прямые представляют собой геодезические линии, не подчиняющиеся аксиоме Евклида. Угол между двумя геодезическими линиями в описанной модели — это угол между соответствующими окружностями. Можно легко убедиться, что сумма углов треугольника здесь всегда меньше 180° — это свойство характерно для пространств отрицательной кривизны. Можно так же уточнить, как в этой геометрии Пуанкаре измеряется расстояние между двумя точками. Самый короткий путь между двумя точками А и В — это геодезическая линия (т. е. дуга окружности), пересекающая обод круга в двух точках и перпендикулярная ему в этих точках. У этой геометрии есть свойство, сближающее ее с деревом и совершенно не характерное для евклидовой геометрии. Этим свойством как раз и является гиперболичность. Есть простой способ его сформулировать. Пусть ВС — отрезок, а. А — точка вне этого отрезка; при перемещении от А к В потери окажутся невелики (во всяком случае, не более раз и навсегда заданной величины) по сравнению с оптимальным перемещением, обеспечиваемым геодезической линией, только в том случае, если сначала двинуться кратчайшим путем (по геодезической) от точки А до отрезка ВС, а затем переместиться вдоль отрезка ВС (см. рис. 32). Это свойство, по-видимому, истинно для деревьев, ложно для евклидова пространства, и опять истинно для гиперболического пространства Пуанкаре. Более того, и я настаиваю на этом, оно будет истинным и для универсального покрытия очень многих симплициальных комплексов — как раз тех, что являются гиперболическими симплициальными комплексами. Вернемся к организации памяти. Если мы строим модель, в которой объекты памяти локализуются в гиперболическом пространстве, то, согласно описанному свойству, для перемещения сознательного внимания А к объекту памяти X, расположенному внутри конечной выпуклой области P данного гиперболического пространства нет необходимости знать заранее точное расположение объекта X в P — даже если область P относительно велика. Достаточно сначала добраться по кратчайшей к границе области Р, а затем, достигнув ее, направиться к объекту X. Гиперболическое пространство в полной мере обладает свойством необходимой взаимосвязанности — так же, как и деревья, — не являясь при этом одномерной структурой со всеми вытекающими отсюда неудобствами.

148

ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

Гиперболический треугольник

Геодезическая линия

Рис. 31. Гиперболическая геометрия. В рамках этой геометрии точками являются точки круга, а прямыми — дуги окружности, перпендикулярные ободу круга. Через точку Р, не принадлежащую прямой AB, проходит несколько прямых, «параллельных» прямой AB (т. е. не пересекающих ее).

Ж.-П, Ш.: Да, но между пониманием и применением... Недостаточно располагать общей формальной теоретической моделью. Необходимо каким-то образом добиться того, чтобы эти предположения можно было реализовать в лабораторных экспериментах.

А. К.: Вообще-то американский математик У. Терстон уже несколько лет исследует возможности гиперболической геометрии в области разработки более совершенных компьютеров.

4. РАССУЖДЕНИЕ по АНАЛОГИИ 4. Рассуждение по аналогии

149

А. К.: Впрочем, дело не в этом. Я еще не закончил отвечать на твой вопрос. Ты хотел знать мое мнение о рассуждении по аналогии.

Ж.-П. Ш.: Да. Рассуждение по аналогии будет здесь очень кстати.

А. К.: У меня сложилось впечатление, что рассуждение по аналогии включает в себя два этапа. Первый, опознание аналогии — по всей видимости, наиболее сложный для понимания этап, приближающийся, пожалуй, к распознаванию образов. Второй этап

\l/f9

Рис. 32. Дерево и геодезическая линия. Сплошная линия — геодезическая от точки С к точке В', пунктирная линия — геодезическая от А к В.

150 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

составной — репликация-перевод-доработка. Первый его шаг заключается в том, чтобы ухитриться выполнить репликацию конфигурации нейронов, или, говоря на языке математики, симпли-циального комплекса, подчиняющегося некоторой функции. Предположим, что мы разработали для этой цели некую аналоговую систему нейронов, тогда вторым шагом («перевод» в моей терминологии) будет «подключение» реплицированной системы посредством замены ассоциированных слов из первой системы их переводом, опираясь на ее аналогичность второй системе нейронов. Третья фаза (вступающая после завершения перевода) состоит в проверке функционирования новой системы нейронов с целью улучшения ее структуры. Способен ли мозг осуществить такую репликацию?

Ж.-П. Ш.: Не забывай, что наши два полушария связаны между собой. Возможно, что некоторые репрезентации присутствуют одновременно в обоих полушариях, а перенос происходит от одного полушария к другому...

А. К.: А значит, можно с той или иной целью создать репрезентацию и передать ее в другое полушарие.

Ж.-П. Ш.: От полушария к полушарию передаются весьма значительные объемы информации, однако трудно сказать, связана ли эта передача с рассуждением по аналогии. Оба полушария, как ты знаешь, не являются абсолютно симметричными. Можно представить, что производимая одним полушарием репрезентация как-то изменяется (усиливается или смягчается) в другом. Понимание отношений между правым и левым полушариями представляет собой очень важную задачу. У низших млекопитающих, не владеющих речью, эти отношения выражены очень слабо — у них отсутствует даже латерализация функций мозга. Она, очевидно, появляется с развитием речи, и позволяет, помимо прочего, использовать оба полушария независимо друг от друга. И обеспечивать таким образом «взрывное» увеличение полезной площади поверхности коры, причем без избыточности. Незначительные генетические изменения, создающие лишь легкую асимметрию, привели в итоге, в результате процесса эпигенеза, к очень быстрому устранению избыточности и к взаимному использованию способностей обоих полушарий. Возможно, именно такова природа «человеческого феномена», суть которого заключается в том, что из модификации малого количества генов и увеличения объема мозга (не такого уж и значительного) развивается эффективность нового порядка.

r

5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕПРЕЗЕНТАЦИЙ и РАМКИ МЫШЛЕНИЯ 151

5. Последовательность репрезентаций и рамки мышления

Ж.-П. Ш.: Не вернуться ли нам к исходной идее: дарвинизм в математике, построение последовательности рассуждений и «вызревание» математических объектов в противопоставлении их друг другу вплоть до наступления озарения в рамках определенной задачи. Для простоты будем различать два вопроса. Первый: построение временной последовательности ментальных репрезентаций дает «высказывание» в опровержимой форме, возможно, «истинное». Второй: определение так называемых «рамок мышления» или «интенции», на которых основывается математическое размышление и даже творчество. Как определить интенцию в математике?

А. К.: В теории вероятности имеется одно очень важное и вполне применимое к данному случаю понятие — я говорю об «обусловленности». .Для того, чтобы определить интенцию — например, намерение выиграть партию в шахматы, — мне представляется необходимым отождествить эту интенцию с функцией оценки, с помощью которой можно оценить, насколько далеки мы в данный момент от поставленной цели. Сначала, впрочем, следует понять, как именно мозг строит эту самую функцию оценки. К этому мы еще вернемся. А пока допустим, что такая функция оценки у нас уже есть, и будем использовать ее для задания условий для систем, как это делается в теории вероятности. Я предложил бы такой образ, вполне согласующийся с дарвинизмом, о котором ты говоришь: взяв в качестве аналогии механизмы внутренней эволюции, предположим, что мозг уже выработал тысячи этих совокупностей нейронов или нейронных симплициальных комплексов и теперь задействует их, обусловливая функцией оценки. Каждая система дает какой-то результат, и нужно, чтобы мозг мог отобрать из этих результатов тот, который оптимизирует функцию оценки. Я думаю, что физики с их принципом стационарной фазы наткнулись на очень хорошую идею, позволяющую если и не решить эту задачу, то хотя бы подсказать интересный возможный механизм для интересующего нас процесса. Предположим, что каждая из нейронных систем производит электрический ток, фаза которого пропорциональна значению функции оценки в этой системе. В тех системах, где эта функция не достигает максимума, существование сосед-

152 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

них (больших или меньших) значений функции в других системах приводит к тому, что сумма произведенных токов обращается в нуль. В тех же системах, где функция оценки максимальна, обращения суммы токов в нуль не происходит. Именно эти системы и вносят существенный вклад в результирующий ток. Такой тип систем не является экономичным; можно представить себе значительно более простые системы, в которых функция оценки определена раз и навсегда — как, например, в шахматных компьютерах. Впрочем, этот недостаток ничуть не мешает таким системам демонстрировать весьма значительную гибкость, которой регулярно пользуются физики с тех пор, как у них появился интеграл Фейнмана.

Ж.-П. Ш.: То есть у нас практически есть механизм отбора.

А. К.: Да, но, к сожалению, воспользоваться им мы сможем только после того, как построим функцию оценки. Как это сделать? Признаться, не имею ни малейшего понятия, даже самого смутного.

Ж.-П. Ш.: Тем не менее, необходимо что-то делать.

А. К.: Мне думается лишь, что эта функция должна быть связана с лимбической системой или с другими структурами в мозге, она не может быть исключительно внутренней.

Ж.-П. Ш.: А говорил, что понятия не имеешь. Вот и предположение: возможно, существует некий цикл...

А. К.: Думаю, должна существовать какая-то корреляция между собственно оценкой и ощущением фрустрации или удовлетворения, испытываемыми в тот момент, когда математик близок к решению задачи. Но я не знаю точно, как эту корреляцию определить. Каким образом в механизм деструктивных или конструктивных взаимовлияний можно встроить ту или иную конкретную цель — цель активной, существующей в данный момент мысли?

Ж.-П. Ш.: Можно предположить, что в момент достижения цели. ..

А. К.: Можно, но это не совсем удовлетворительно, поскольку, согласно теории, вероятность все-таки изначально обусловлена поставленной целью, еще* до проявления феномена деструктивных или конструктивных взаимовлияний.

Ж.-П. Ш.: Наконец-то. Вычисления таки осуществляются в каких-то рамках! Это очень важно. Ты, как и я, не способен отличить логическое рассуждение от...

5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕПРЕЗЕНТАЦИЙ и РАМКИ МЫШЛЕНИЯ 153

А. К.: Я говорю не о творчестве, я пока остаюсь на втором уровне.

Ж.-П. III.: Даже на втором уровне цель играет свою роль — цель фиксирована, ее даже можно рассматривать как некую внутреннюю «одержимость». Это означает, что длительное состояние активности нейронов...

А. К.: ... должно вызвать фрустрацию или чувство стеснения.

Ж.-П. Ш.: Постой. Можно также предположить, что сеть, замкнутая сама на себя, вводит в действие лимбическую систему, поскольку имеется желание. Мозг производит гипотезу удовольствия, выступающую в роли проводника. И открывает доступ к решению, являющемуся или не являющемуся источником удовольствия.

А. К.: Или наоборот, так как случаются и разочарования. У математиков это весьма частое явление. Когда что-то не ладится, на первое место выходит уже не желание, а чувство неудовлетворенности.

Ж.-П. Ш.: Из-за опасения не достичь цели. Лимбическая система поддерживает «активной» некую репрезентацию, которая создает контекст, куда, в свою очередь, включаются другие ментальные репрезентации, входящие в конечном счете в резонанс с поставленной целью. При этом мы испытываем удовлетворение, ощущение завершения исходной репрезентации. Это всего лишь метафора, однако опираясь на похожее предположение, мы со Станисласом Деэном [19] построили недавно модель обучения «правилам», которая вроде бы функционирует.

А. К.: Согласен, но твой образ не предусматривает явно возможности измерять близость цели. Пока цель не достигнута, необходимо, чтобы образ оставался активен и чтобы можно было определить близость цели. Еще до того, как мы ее достигнем. Это главное условие возникновения обусловленности. Я вполне допускаю возможность узнавания момента достижения цели. Гораздо сложнее, как мне кажется, ввести «расстояние до цели», т. е. возможность обусловить весь процесс...

Ж.-П. Ш.: Может быть, прогресс в реализации интенции постепенно, с накоплением опыта, модифицирует эту самую интенцию.

А. К.: Мы затрагиваем здесь очень важный в математической практике момент. Часто в процессе решения задачи возникают ситуации, когда оценка расстояния до цели облегчает собственно

154 ДАРВИН и МАТЕМАТИКИ

решение. Такая вот грубая интуитивная оценка расстояния, которое еще предстоит пройти, помогает решить задачу, даже если рассматриваемые при этом вопросы могут показаться весьма странными.

6. Естественный отбор среди математических объектов

Ж.-П. Ш.: Хочешь ли ты сказать что-нибудь еще о дарвинизме в математике?

А. К.: Я считаю, что дарвинизм функционирования мозга опирается на механизмы конструктивных резонансных взаимовлияний групп, а не на феномен естественного отбора или вытеснения.

Ж.-П. Ш.: Я думаю, что это тоже форма естественного отбора. Только «естественный отбор» понимается здесь в точном смысле, в соответствии с тем, что нам известно о структуре и развитии мозга. Это понятие, даже в динамике популяций, уточнить непросто. Оно определяется в терминах популяций, воспроизводящихся в соответствии с определенным географическим распределением. Традиционный дарвинизм в применении к эволюции видов использует понятия временной динамики, популяции и географического распределения. К нервной системе компонент размножения не применим. Нейроны не размножаются. Имеет смысл лишь дифференциальная и «состязательная» оккупация территорий. Твоя формулировка в точности согласуется с этим смыслом. Механизмы конструктивных и резонансных взаимовлияний групп могут рассматриваться как присущие мозгу механизмы отбора.

Перейдем к третьему уровню. Что есть интенция, с твоей точки зрения?

А. К.: Фундаментальным характерным признаком этого уровня является то, что в момент озарения, помимо ощущаемого удовольствия, возникает неожиданное впечатление мгновенного всеобщего прояснения. Сознательная часть мышления получает прямой доступ к миру, потерявшему для нее всякую странность. Больше нет необходимости тщательно все проверять. И несомненно, что это ощущение характерно именно для третьего уровня, который возбуждает лимбическую систему.

Ж.-П. Ш.: Твои слова напомнили мне о мистическом экстазе святой Терезы Авильской.

6. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ОТБОР СРЕДИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ 155

А. К.: Мистический экстаз, естественно, должен возбуждать те же области мозга. Но по другим причинам. Равно как и эстетическая гармония.

Ж.-П. III.: Здесь мы затрагиваем вопрос, который меня очень волнует — вопрос отношений между наукой и искусством. Какова разница между математическим объектом и произведением искусства?

А. К.: Вполне возможно, что художники, поэты или музыканты могут, используя собственные ресурсы, выражать какие-то экспериментально полученные данные, свидетельствующие о гармонии, которую эти люди испытали, возможно, один-единственный раз в жизни в момент озарения. Более того, произведение искусства (например, музыкальная пьеса) и математический объект возбуждают лимбическую систему практически одинаково. Однако вернемся к озарению и математике — так как единственным в нашем распоряжении способом передачи результата является логическая цепочка рассуждений, нам необходимо быстро вернуться с третьего уровня на первый. Необходимо приступать к пошаговой проверке доказательства, полученного благодаря озарению. Иначе говоря, состояние возбуждения крайне кратковременно. Разложив доказательство на последовательность действий, мы можем в дальнейшем проверить их все, одно за другим. Но та чисто «мистическая», в каком-то смысле, фаза исчезла. Ее больше нет.

Ж.-П. Ш.: И где здесь дарвинизм?

А. К.: Думаю, на первом из трех этапов, о которых говорит Адамар, т. е. на этапе подготовки, когда определяется функция оценки, которая и должна, в принципе, обусловить дарвинизм.

Ж.-П. Ш.: Дарвинизм в эволюции приводит от амебы к человеку. В этом его выгода. Самое же интересное его применение к математике состоит в «сотворении» нового математического объекта посредством комбинаторики отдельных элементов, являющихся частью уже установившейся математики. Иначе говоря, порождение «монстра», «химеры». Пусть полученный объект и нов, но он отобран случайно, в силу своего резонанса с уже существующим контекстом.

А. К.: Этот объект очень просто предсказать.

Ж.-П. Ш.: В качестве подтверждения напомню еще, что, по твоим же словам, решение задачи в рамках творческого акта начинается с ее «расширения». А что значит расширять? Это значит вводить в область действия кратковременной памяти математи-

156 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

ческие объекты, лишенные прямой связи с поставленной целью. Вмешательство посторонних объектов, «аутсайдеров», порождает новый математический объект. Оно позволяет сломать рамки, в которых до этого находился математик, и открывает ему доступ к новому уровню познания. Таким образом, этот новый уровень является результатом некой комбинаторной деятельности в период созревания, иногда очень длительной. Похоже, что дарвинизм в математике особенно адекватно объясняет «творчество». Теперь твой ход. Какие условия отбора дают озарение? Является ли оно интеграцией всего того, что уже существовало ранее?

А. К.: Я не знаю, можем ли мы по-прежнему полагать образ конструктивного взаимовлияния таким, каким я его принял ранее. Когда приходит озарение, оно касается не только исследуемого объекта во всей его новизне, но также и его взаимосвязанности с теми объектами, что мозг уже понял и хорошо знает.

Ж.-П. IIL: А как же различия? Мы ведь имеем дело не с неизвестной прежде структурой. Следовательно, речь идет не просто о соответствии. Объект нов, и все же он вполне вписывается во все то, что уже хорошо известно.

А. К.: Не знаю, как сказать. Нам больше не нужен механизм оценки как функция от некой определенной цели, нам нужен, скорее, способ непосредственного измерения этого соответствия, еще до того, как в игру вступает мысль. Некий сложный для понимания механизм, позволяющий без обдумывания ощутить резонанс между новым мысленным объектом и теми вещами, какими мы давно и привычно манипулируем. Повторюсь, все это очень сложно понять.

Ж.-П. Ш.: Да, но такие механизмы просто необходимы машине, обладающей творческими способностями в математике.

А. К.: Именно так. Иначе это будет самый обычный компьютер. Замечательно, что мозг может с равной легкостью воспринимать и эту взаимосвязанность между различными объектами, и гармоничность объекта, прежде неизвестного. Впрочем, полной тождественности здесь нет. В этом, по-моему, и заключается исток логичности и непротиворечивости мира математики.

Ж.-П. Ш.: В соответствии новых математических объектов другим математическим объектам, хранящимся в долговременной памяти.

А. К.: Мне кажется, что это лишь доказывает логичность мира математики, не зависящую ни от какого отдельного человека.

6. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ОТБОР СРЕДИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ 157

Ж.-П. Ш.: К этому я и хотел тебя подвести. Эта логичность влияет на процесс отбора, в первую очередь, требованием непротиворечивости, в результате чего возникает новая логичность.

А. К.: Я не совсем уверен в этом. Мне кажется, что она лишь проявляется посредством этого процесса отбора...

Ж.-П. Ш.: Не будем возвращаться к этому спору! Мне кажется, что добавление к существующему ансамблю нового объекта открывает новое пространство для познания... Озарение, в каком-то смысле, приводит в гармоничное состояние несколько уровней организации мозга, как при созерцании произведения искусства. Но как определить ту форму эстетического наслаждения, которое нам доставляют те или иные картины [11, с. 158]? Вероятно, объяснить ее можно многочисленными резонансами между различными уровнями, связанными одновременно с рациональностью, пониманием и лимбической системой. Вхождение в резонанс происходит, когда зритель оказывается перед какой-либо «сингулярной» структурой. Иначе говоря, такое озарение можно рассматривать, как род межуровневого мысленного объекта, нового по отношению ко всему, что могло существовать ранее, объекта, устанавливающего связи между мысленными объектами, прежде не пересекавшимися.

А. К.: Полностью согласен с твоей интерпретацией. И все же мне хотелось бы, чтобы ты ее уточнил.

Ж.-П. Ш.: Эту метафору можно применить как к произведению искусства, так и, в какой-то мере, к математическому озарению. Озарение оказывается тем более сильным, поскольку возникающий объект — это новый объект, и он захватывает область, уже занятую какими-то скрытыми структурами. А ты думаешь, что эти структуры находятся там для того, чтобы возник новый объект...

А. К.: Да, но они же не являются частью мозга. Они принадлежат миру математики.

Ж.-П. Ш.: Вне зависимости от того, существует математика во внешнем мире или нет, в момент озарения она все равно находится в мозге.

А. К.: Совершенно верно. Я лишь хотел сказать, возвращаясь к самому первому нашему спору, что однажды испытав озарение, сложно не верить в существование гармонии, независимой от мозга и никак не связанной с индивидуальным творчеством.

158 ДАРВИН и МАТЕМАТИКИ

Ж.-П. ILL: Это субъективно. Думаю, нельзя сказать, что «Пье-та» Микеланджело существовала где-то до того, как он ее создал. Воспользуемся еще раз художественной метафорой. Увидев впервые «Страшный суд», мы испытываем «озарение». Однако абсурдно полагать, что эта картина существовала прежде того, как Микеланджело ее написал. Так же и в математике...

А. К.: В твоих словах есть доля истины. И все же я думаю, что существует фундаментальное различие между гармонией, испытываемой нами перед «Пьетой» Микеланджело, и той, что снисходит на нас безоблачной летней ночью, когда с помощью телескопа и калькулятора мы убеждаемся в том, что четыре спутника Юпитера неизменно подчиняются законам Кеплера. Мне очень сложно принять, что такого рода космическая гармония есть всего лишь произведение человеческого мозга. Напротив, я бы даже сказал, что эта предустановленная задолго до появления человека гармония в «таинственных глубинах звездных ночей», по всей вероятности, и способствовала зарождению в этом самом человеке метафизического любопытства. Однако вернемся к озарению.

Ж.-П. Ш.: Еще раз напомню, не следует смешивать существование закономерностей в материальном мире с существованием их выражения в приблизительных терминах или в виде математических уравнений, произведенных мозгом человека. Для того, чтобы продвинуться дальше в теоретическом плане, было бы интересно определить (возможно, это одно из самых больших преимуществ дарвиновской схемы) свойства генератора разнообразия и способ его функционирования в процессе фиксации интенций, а также выяснить, как происходит отбор объектов памяти для сохранения в области долговременной памяти и, в особенности, каковы критерии этого отбора. Что такое, по-твоему, функция отбора? Не совпадает ли она с функцией оценки, о которой мы говорили раньше? Происходит же оценка взаимосвязанности, которую нужно затем проверять, признавать действительной... Разве не так же оценивается правдоподобность той или иной гипотезы?

А. К.: Удивительно, что это оценка математической взаимосвязанности производится практически мгновенно. За долю секунды проявляется не только правдоподобность, но также и уверенность в том, что найденное адекватно тому, что искали. Это не рефлекс, но происходит все с той же скоростью.

Ж.-П. Ш.: Так происходит, например, распознавание лиц. Не знакомых лиц. Просто лиц прохожих.

г

6. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ОТБОР СРЕДИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ 159

А. К.: Именно это, на мой взгляд, и отличает второй уровень от третьего. На втором уровне можно распознать, как решать поставленную ранее задачу с помощью стратегически выработанных средств. На третьем уровне уже возможно понимание гармонии и мощи нового объекта, который вовсе не обязательно отвечает той или иной конкретной задаче.

Мыслящие машины

1. Разумные машины?

ЖАН-ПЬЕР ШАНЖЁ: Само название этой беседы задает основную проблему отношений, существующих между мозгом и машиной, и, в более общем виде, отношений между точными науками и функционированием мозга. В области создания мыслящих машин различается, по крайней мере, три подхода.

Первый подход — это искусственный интеллект. Своей целью он ставит имитацию высших функций мозга, человеческого интеллекта, с помощью компьютера. В какой-то мере, речь идет о замене человеческого мозга машиной. Можно отметить значительные успехи работ по искусственному интеллекту: роботы для окраски машин, компьютеры, управляющие космическими кораблями до Марса и дальше, экспертные системы, которые объединяют в себе последние достижения медицины и т. д. Однако исследования в области искусственного интеллекта не ставят целью понять, как функционирует человеческий мозг, они лишь пытаются «имитировать» некоторые из его функций. Таким образом, этот подход изначально очень ограничен.

Целью второго подхода является моделирование человеческого мозга и его функций. Речь идет о более глубокой исследовательской работе, предполагающей вклад различных дисциплин: математики, физики, нейробиологии и психологии. Моделирование осуществляется с опорой на данные анатомии и физиологии, на результаты молекулярной биологии и, конечно, на наблюдение за поведением, а это уже психология и этология. Эти исследования еще не достигли больших успехов. Однако мы располагаем достаточно хорошими моделями некоторых элементарных механизмов (таких, например, как распространение нервного импульса (модель Ходжкина-Хаксли) или аллостерические переходы пост-синаптических рецепторов), а также сложных систем из небольшого количества нервных клеток (например, систем, отвечающих

J

2. ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ 161

за плавание миноги, за получение визуальной информации искусственной сетчаткой или, наконец, за обучение птиц пению [20, 46]. Думаю, этот подход значительно перспективнее всех остальных, а мы с тобой обсуждаем эту тему только потому, что можем внести в эту область свой вклад.

Теперь о третьем подходе. Основой его являются так называемые нейромиметические машины. Суть проекта в следующем: как только будут разработаны теоретические модели церебральных функций на примере такого естественного объекта, как мозг со всеми его нейронами, можно будет сконструировать машины, способные на базе реальных нейронных структур продемонстрировать подлинно разумное поведение.

Три подхода, но очень мало результатов. Используемые структуры все еще очень упрощены: несколько слоев нервных клеток, рудиментарные элементарные механизмы и тому подобное.

А. К.: Возможен ли второй подход без третьего?

Ж.-П. Ш.: Ты прав. Третий подход представляет собой в какой-то степени верификацию второго. Для того, чтобы показать, что теоретическая модель адекватна, необходимо провести эксперимент, построив машину, характеристики которой будут подобны характеристикам человеческого мозга. Можно считать, что третий подход дополняет второй.

Однако я хотел бы, чтобы мы с тобой обсудили три вопроса. Первый касается теоремы Гёделя, второй — машины Тьюринга, а последний обусловлен различиями и сходством между человеческим мозгом и машинами, которые этот мозг способен создать.

2. Теорема Гёделя

Ж.-П. Ш.: В биологических исследованиях теорема Гёделя часто используется для того, чтобы сдержать амбиции нейробиоло-гов или даже усомниться в здравости их подхода. Она служит также для оправдания идеи, согласно которой «человеческий разум» всегда будет сопротивляться научному анализу. Франсуа Жа-коб, например, пишет: «Можно быть уверенным, что характерные для деятельности мозга реакции биохимики будут полагать столь же банальными, как и реакции пищеварения, однако описывать в терминах физики и химии движения сознания, чувства, устремления, воспоминания — это совсем другое дело. Ничто не говорит за