Нестандартные приёмы решения уравнений и неравенств (стр. 2 )

1. Модуль.

Уравнения и неравенства, содержащие неизвестные под знаком модуля (8 ч)

Модуль действительного числа. Геометрическая интерпретация. Линейное уравнение, содержащее абсолютную величину. Уравнение и неравенства вида |х|= а, |ах+в|=0, |ах+в|≤0.

График функции у=|х|, у=| ах+в |. Построение графиков функций, связанных с модулем.

Методы решения уравнений вида: |ах+в|=с, где с - любое действительное число, |ах+в|=|сх+д|.

Графическое решение неравенства |ах+в|≤с, где с – любое действительное число.

Методы решения уравнений вида: |ах+в|+|сх+д|=т, |ах+в|+|сх+д|+пх=т. Методы решения неравенств вида: |ах+в|+|сх+д|<т,|ах+в|+| сх+д|+ пх>т.

Методы решения неравенств вида: |ах+в|≤| сх+д|, |ах+в|≥| сх+д|, |ах+в|≤ сх+д, |ах+в|≥ сх+д. Графическая интерпретация.

Квадратное уравнение, содержащее абсолютную величину. Метод замены переменной. Решение уравнений.

Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само число а, если оно неотрицательно или противоположное ему число, если оно отрицательно.

Обозначение модуля числа: | а | .

Можно записать и так: | а | =

Примеры: ‌‌ |

Противоположные числа имеют равные модули, т. е.

Расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число, рассматривается всегда как величина неотрицательная.

Это можно считать геометрической интерпретацией модуля числа а.

Если | а | = 3, то а = 3.

Уравнения и неравенства, содержащие модуль, решаются с использованием аналитического определения модуля, а так же и с использованием его геометрического смысла.

Уравнения вида | f(x)| = b, bR

При b<0 решений нет,

При b=0 имеем f(x)=0,

При b>0 уравнение | f(x)| =b равносильно совокупности двух уравнений

Пример: | х-5 | =2

откуда х = 7 и х = 3.

Второй способ. Пользуясь тем, что модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа, можно это уравнение решить так:

| х – 5 |= 2

Прочитаем это соотношение так: расстояние от точки х до точки 2 равно 5. Откладываем на числовой прямой от точки 2 отрезок длиной 5 (в обе стороны)

Получим ответ: 7 и 3.

Упражнения.

Решить уравнения: 1). | 8х+5|=10 3). | х2 -5х +3|=1

2). | 3х+2|=4 4). |х2-7х+9 |=3

Уравнение вида f(| x| )=g(x), где f(x) и g(x) некоторые рациональные выражения

Пример: решить уравнение х2 + | х | -6 =0

Данное уравнение равносильно совокупности систем:

и

Уравнение имеет два решения: -3 и 2.

Решением уравнения являются числа 3 и –2.

Решением первой системы совокупности является неотрицательное число х=2.

Решением второй системы совокупности есть число –2.

Следовательно, решением данного уравнения являются два числа: 2 и –2.

Замечание:

Данное уравнение можно решать, используя метод замены неизвестного.

Пусть | х| =t, тогда и уравнение можно записать так:

Решая его, находим корни. Это числа -3 и 2.

Берем только 2. Имеем | х| =2, т. е. х=.

Уравнение вида | f(x)| =g(x)

Уравнение равносильно совокупности систем: и g(х)≥0

Пример: | 2х-5| =х-1

и

и

и

Числа х=4 и х=2 удовлетворяют данному уравнению.

Пример: | х3+3х2 +х|=-х+х3

Решение. Решим уравнения х3+3х2 +х=-х+х3 и х3+3х2 +х=х –х3. Первое из них имеет корни - 2/3 и 0, а второе 0 и -3/2. Легко видеть, что условие х3 – х ≥ 0выолняется только при х = 0 и при х = -2/3. Следовательно, -2/3 и 0 корни исходного уравнения.

Упражнения.

Решить уравнения: 1). | 8х+5|+2х=4х 3). | х2 -3х|= х 2 -2х

2). | 3х+2|=4х|3х2 -5х - 8| =3х +8

Уравнение вида ׀ƒ1(х)׀+ ׀ƒ2(х)׀ + ׀ƒn(х)׀… + =g(х)

Такие уравнения проще решать методом интервалов. Для этого находят сначала все точки, в которых хотя бы одна из функций | f1(x)| +| f2(x)| +…| fn(x)| меняет знак. Эти точки делят область допустимых значений уравнения на промежутки, на каждом из которых эти функции сохраняют знак. Затем, используя определение модуля, переходят от данного уравнения к совокупности систем, не содержащих знак модуля.

Пример: | 2х-3| +| х-3| =| 4х-1|

2х-3=0, х=1,5, х – 3 = 0 х = 3

х-3=0, х=3,

4х-1=0, х=0,25

Вся числовая прямая разбивается на четыре промежутка.

х = -5

2) х = 1

3) Нет решений

4) Нет решений

Ответ: -5 и 1.

Пример: | | х-1| +2| =1

Можно при решении данного уравнения ввести вспомогательную переменную | х-1| = у. Тогда будем иметь простейшее уравнение | у+2| =1. Это уравнение решаем так:

Получаем:

Данные уравнения решения не имеют, т. к. модуль числа неотрицателен.

Ответ: решений нет.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решить уравнения: 1). | х+2| + |х - 2| =6 3). | х+3| - | х -3| =6

2). | х+ 1| -|х - 3| =2 4). |х2 -9| +|х - 2| = 5

5). |х - 2|+2 |х-4|=3х-10

Решение неравенств, содержащих знак модуля

Примеры:

1) | 2х-5| <7

-7 < 2x-5 < 7

-2 < 2x < 12

-1 < x < 6

Ответ: (-1;6).

2) | x-3| >1

x-3 >1  и  x-3 < -1

x > 4  и  x < 2

Ответ: 

4).2х+1| >7

2x+1>7 и 2x+1<-7

2x>6 и 2x<-8

x>3 и x<-4

Ответ:

Упражнения.

Решить уравнения: 1). | х+2| ≤3 2) |х - 2|≥2 3).|х2 -5|>4

4. Неравенство вида | f(x)| <g(x), где f(x) и g(x) - некоторые функции

Данное неравенство равносильно системе:
Для тех х, при которых , эта система,
(а значит и данное неравенство), решений не имеет.

Решить неравенство:

Данное неравенство равносильно системе:

  2 < x < 5

Ответ: (2; 5)

Ответ:

Упражнения:

Решить неравенства: 1) |3х-2| +х >1 2). |х - 1|≤ 2х +1

2). | х+ 1| <-|х - 3| 4). |х2 -9| >|х - 2|

Защита рефератов.

2. Решение алгебраических уравнений (6 ч)

Теорема Безу. Метод неопределенных коэффициентов. Метод введения параметра.. Замена переменных в уравнениях и системах уравнений. Комбинирование различных методов.

Целое уравнение и его корни. Приемы решения уравнений. Разложение многочлена на множители. Метод ведения новой переменной.

Ищем целые корни среди делителей свободного члена по теореме Безу:

1) х3 – 3х2 - 3х + 1 = 0

2) 3х3 – 7х2 -7х + 3 = 0

3) х4 +х3 – 4х2 +х + 1 = 0

4) 6х4 + 5х3 – 38х2 + 5х + 6 = 0

5) 5х4 - 12х3 + 14х2 -12х + 5 = 0

3. Симметрические и возвратные уравнения (8 ч)

Биквадратное уравнение. Возвратное уравнение. Метод неопределенных коэффициентов. Решение дробно-рациональных уравнений.

Возвратные уравнения решаются посредством введения нового неизвестного

1) Известно, что . Найдите .

2).

Возведём обе стороны в квадрат:

.

3)

Возведём обе стороны в квадрат:

.

4)

Ответ:

t2 + 2 +7t +10 =0

t2 + 7t + 12 =0 …

5) х4 - 7х3 + 14х2 - 7х + 1 = 0 Ответ:

Делим на х2:

6) х4 - 5х3 + 10х2 - 10х + 4 = 0 Ответ: х1 = 1 х2 = 4

7) х4 +2х3 – 18х2 -10х + 25 = 0

Объединим первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и разделим обе части уравнения на х2.

х4 + 25 +2х3 -10х – 18х2 = 0

Ответ:

Использование монотонности при решении уравнений.

Решить уравнение:

1) 2х + 3х = 2 * 5х Ответ: х = 0

2) Ответ: х = 2

3) Ответ: х = 1

4. Способы решения уравнений(8 ч)

Дидактические материалы по разделу:

Решение иррациональных уравнений

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными.

А сейчас самостоятельно изучаем теорию, решения иррациональных уравнений используя различную литературу и учебник. Для большей заинтересованности учащихся при наличии компьютерного класса можно использовать электронный учебник.

Метод решения:

При решении иррациональных уравнений почти всегда необходимо избавиться от радикалов.

Один из возможных методов состоит в том, что корень из выражения с переменой переносится в одну из частей равенства, а все остальные выражения в другую (уединение радикала).

После уединения выполняется возведение в квадрат, в куб или в другую степень.

Иррациональные уравнения-следствия.

Метод:

При решении уравнения переходим к уравнению-следствию, проверка должна входить в решение. как обязательная часть.

Проверка может осуществляться различными способами:

Каждый из найденных корней уравнения-следствия подставить в исходное уравнение и проверить, является ли он корнем исходного уравнения.

“Вспомнить” все неравенства, которые надо было включать в систему, чтобы переходы были равносильными, и проверить выполняются ли для найденных “корней” эти неравенства.

(Проверить выполнение неравенства иногда бывает значительно проще, чем выполнение точного равенства).

Решить уравнения:

Остальные самостоятельно решают уравнение (на доске и в тетрадях объясняет решение учитель):

Уравнения:

8) Решить уравнение:

= 10,

| х - 6 | = 10,

х – 6 = 10, или х – 6 = - 10,

х = 16. х = - 4.

Ответ: 16; - 4.

III. Устная работа.

1. Решите уравнения:

2. Какие из данных уравнений не имеют корней:

Обобщить:

5.. Решение неравенств (6 ч)

Решение целых неравенств с одной переменной. Метод интервалов. Решение дробно - рациональных неравенств с одной переменной. Обобщённый метод интервалов

Дидактические материалы по разделу в учебном пособии: «Обобщённый метод интервалов», г. Чебоксары.

6. Решение заданий с параметром (9 ч)

Определение уравнения с параметром. Решение уравнения с параметром. Целое уравнение с параметрами. Дробно - рациональные уравнения с параметрами.

Понятие параметра. Что значит - решить уравнение или неравенство с параметрами. Что значит - исследовать уравнение (определить количество решений, найти положительные решения и т. д.), содержащее параметры.

Линейное уравнение с параметрами. Общий метод решения уравнения вида ах= в, решение линейных уравнений с параметрами, сводящихся к виду ах=в. Линейные уравнения с параметрами, содержащие дополнительные условия (корень равен данному числу, прямая проходит через точку с заданными координатами, уравнение имеет отрицательное решение и т. д.).

Линейные неравенства с параметрами вида ах≤в, ах≥в.

Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.

Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром. Исследование квадратного трехчлена.

Дидактические материалы по разделу:

7. Показательная и логарифмическая функции (16 ч)

Нахождение абсцисс и ординат общих точек графика, нахождение нулей функции типа

. Решение показательных уравнений типа

Нахождение расстояний между точками графиков функций.

Уравнения и неравенства с параметром типа: найдите все значения параметра а, для которых при каждом х из промежутка значение выражения не равно значению выражения . Решение уравнений типа

8. Различные приёмы при решении уравнений ( 7 ч)

Дидактические материалы:

Результаты на выходе

В результате изучения курса учащиеся должны

- научиться решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности,

- овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования.

Литература

Для преподавателя:

1. , Сильвестров и неравенства с параметрами: Учебное пособие. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2005.

2. . Элективные курсы. – Канаш : Учитель,2008

3. Журнал. Математика в школе. ( Ежегодные выпуски)

Газета «Математика» (приложение к 1 сентября)

4. Единый государственный экзамен: Математика: .Контр. измерит. матер./ , и др.;. М-во образования и науки РФ. Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки. М.: Интеллект-центр

5. , . Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. Разноуровневые дидактические материалы. – М.: Илекса, 2007г.

6. «Математика. ЕГЭ,2008.2009,2010. Учебно-тренировочные тесты». Ростов-на-Дону, издательство «Легион-М» 2010г.

7. Электронный учебник. Сдаем Единый экзамен 2008. Серия «1С: Репетитор.» Центр тестирования.

Образовательные ресурсы сети Интернет

http://ege. *****

http://eqworld. *****

http://graphfunk. *****

http://www. *****

http://www. *****

http://www. ed. *****

http://*****

Для обучающихся:

1. и др. «Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике», Москва, Центр тестирования, 2006 г.

2. «Математика. ЕГЭ 2010. Тематические тесты» (В1-В12, С1-С6). Ростов-на-Дону, 2009г.

3. , . Уравнения и неравенства с параметрами. Учебное пособие.

Чебоксары. 2004 г.

4. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. Под редакцией , 9-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и образование, 2005г.

5. Современный учебно-методический комплекс. Алгебра 10-11. Версия для школьника. Просвещение –МЕДИА.(все задачи школьной математики).

Образовательные ресурсы сети Интернет

http://ege. *****

http://eqworld. *****

http://graphfunk. *****

http://www. *****