Вариант 1.
1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды А1, В1, С1, D1. Найдите:
а) длину ребра А1В1;
б) косинус угла между векторами 
и 
;
в) уравнение ребра А1В1;
г) уравнение грани А1В1С1;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань А1В1С1;
е) координаты векторов 
= , 
= , 
= 
и докажите, что они образуют линейно независимую систему;
ж) координаты вектора 
, где М и N – середины ребер А1D1 и B1C1 соответственно;
з) разложите вектора по базису (,,),
если А1 (2, 0, -3), В1 (1, 1, 1), С1 (4, 6, 6), D1 (-1, 2, 3).
Решение.
а) Найдем координаты вектора 
по формуле
= 
, где 
- координаты точки 
- координаты точки 
.
Итак, = 
. Тогда 
Итак, длина отрезка (или длина вектора ) равна 
. Это и есть искомая длина ребра.
б) Координаты вектора = , осталось определить координаты вектора 
.
Угол между векторами и 
вычислим по формуле 
, где скалярное произведение векторов и равно 
, 
=, 
.
Итак, 
.
в) Координаты точки А1 (2, 0, -3) обозначим соответственно 
, а координаты точки В1 (1, 1, 1) через 
и воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки: 
.
Следовательно, уравнение ребра имеет вид 
.
г) Обозначим координаты векторов и через 
и 
соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой
так как данный вектор перпендикулярен грани 
то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору 
, которое имеет вид 
.
Подставим координаты точки А1 (2, 0, -3) и координаты перпендикулярного вектора 
в это уравнение:
. Раскроем скобки и приведем подобные члены 
.
д) Вектор является направляющим вектором высоты, опущенной из вершины 
на грань . Воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку 
с заданным направляющим вектором: 
, где 
- координаты точки D1 (-1, 2, 3).
Отсюда искомое уравнение 
е) Координаты вектора 
.
Обозначим 
, 
, 
.
Чтобы доказать, что векторы 
образуют линейно независимую систему векторов необходимо убедится, что определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов, 
отличен от 0. определитель третьего порядка равен
Вычислим определитель
Так как данный определитель отличен от 0, то вектора образуют линейно независимую систему.
ж) Сначала найдем координаты точек M и N соответственно. Координаты точки
,
.
Получаем вектор 
.
з) Обозначим через 
координаты вектора 
в базе .
Тогда 
.
Так как 
Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера
-1 | 2 | -3 | |||||||||||||||||||
Δ= | det(A) | = | 1 | 6 | 2 | = | -36 | + | 16 | - 27 | - | ( | - 72 | + | 12 | - 18 | )= | 31 | ≠0 | ||
4 | 9 | 6 | |||||||||||||||||||
значит, система имеет единственное решение | |||||||||||||||||||||
2 | 2 | -3 | |||||||||||||||||||
Δx | = | 2,5 | 6 | 2 | = | 72 | + | 14 | - 68 | - | ( | - 63 | + | 30 | + | 36 | )= | 15,5 | |||
3,5 | 9 | 6 | |||||||||||||||||||
-1 | 2 | -3 | |||||||||||||||||||
Δy | = | 1 | 2,5 | 2 | = | -15 | + | 16 | - 11 | - | ( | - 30 | + | 12 | - 7 | )= | 15,5 | ||||
4 | 3,5 | 6 | |||||||||||||||||||
-1 | 2 | 2 | |||||||||||||||||||
Δz | = | 1 | 6 | 2,5 | = | -21 | + | 20 | + | 18 | - | ( | 48 | + | 7 | - 23 | )= | -15,5 | |||
4 | 9 | 3,5 | |||||||||||||||||||
Находим неизвестные нам | |||||||||||||||||||||
x= | Δx | = | 15,5 | = | 1 | ||||||||||||||||
Δ | 31 | ||||||||||||||||||||
y= | Δy | = | 15,5 | = | 1 | ||||||||||||||||
Δ | 31 | ||||||||||||||||||||
z= | Δz | = | -15,5 | = | -1 | ||||||||||||||||
Δ | 31 | ||||||||||||||||||||
Итак, разложение вектора по базису имеет вид
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
