Лабораторная работа № 1. Итерационные методы решения нелинейного уравнения (стр. 1 )

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 1

Итерационные методы решения нелинейного уравнения

Задание

Решить уравнение F(x)=0 c точностью e одним из методов:

·  половинного деления, e=10-3;

·  простой итерации, e=10-6;

·  Ньютона (касательных), e=10-9;

·  секущих, e=10-9;

·  хорд, e=10-9.

Вариант	Уравнение	Вариант	Уравнение
1 2 3 4 5 6 7 8	x2+ex = 2 3sin(x+0,7)-0,5x = 0 cos x – (x-1)2 = 0 5 sin x = x+ln(x) x2+cos (2+x) = 1 x ln(x+1) = 1 ln (x+1)-(x-2)2 = 0 2 ln x – 0,5 x +1 = 0	9 10 11 12 13 14 15 16	(x-2) ln(x) = 1 sin (x-0,5)-2x+0,5 = 0 cos (x+0,3) = x2 x2-3 sin x = 0 x ln(x+2) = 2 x3-0,5-sin x = 0 sin (x+1) = 0,2x 0,3 e0,6 x - x = 0

Примечание: для того, чтобы организовать в Excel’е итерационный процесс, необходимо:

1.  настроить Excel на выполнение итераций, для чего выполнить следующие действия Сервис – Параметры – Вычисления – вычисления производить вручную, итерации разрешить, предельное число итераций = 1;

2.  организовать в таблице циклическую ссылку, для чего в ячейке, где хранилось старое значение корня поставить ссылку на ячейку, где рассчитано новое, более точное значение корня;

3.  нажимать клавишу F9, наблюдая за поведением погрешности.

Алгоритмы методов

и примеры их реализации в электронной таблице

Метод деления отрезка пополам

1. Отделить интересующий нас корень уравнения – найти отрезок [a0,b0], на котором F(x) меняет знак: F(a0)* F(b0)<0.

2. Выбрать .

3. Вычислить значение функции F(x0).

4. В зависимости от знака F(x0) определить новые границы отрезка [ai, bi], i=1,2…. следующим образом:

если F(a0)* F(x0)<0, то ai= ai-1, bi=xi-1, i=1,2….;

если F(a0)* F(x0)>0, то ai= xi-1, bi= bi-1, i=1,2….

5. Вычислить .

6. Вычислить погрешность по формуле ri= bi - ai,

7. Итерационный процесс заканчивается как только ri<e.

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	Решение уравнения x2-2=0 методом деления отрезка пополам
2		x	F(x)		Определение новых границ отрезка
3	a	1	-1		1
4	(a+b)/2	1,5	0,25
5	b	2	2		1,5
6
7	Погрешность
8	r	1

Примечание: для определения новых границ отрезка целесообразно использовать логическую функцию ЕСЛИ; циклическими ссылками будут связаны ячейки, в которых хранятся старые и новые значения границ отрезков

Метод простой итерации

1.  Отделить интересующий нас корень уравнения – найти отрезок [a, b], на котором F(x) меняет знак: F(a)* F(b)<0.

2.  Исследовать первую производную F’(x) на отрезке [a, b] (найти ее минимум и максимум, константы m = min |F’ (x)| xÎ[a, b] и M = max |F’ (x)| xÎ[a, b]).

3.  Рассчитать t = 1/М, sign t = - sign F’(x).

4.  Выбрать x0 – любую точку из отрезка [a, b], для определенности можно взять .

5.  Следующие приближения к корню рассчитываются по итерационной формуле xi = xi-1 + t * F(xi), i=1,2…

6.  Погрешность найденного приближения к корню оценивается по формуле

7.  Итерационный процесс заканчивается как только ri<e.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L
1	Решение уравнения x2-2=0 методом простой итерации
2	Шаг
3	h.	0,1
4	Отрезок [a, b], разбитый c шагом h
5	x.	1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,.6	1,.7	1,8	1,9	2
6	Значения функции на отрезке [a, b]
7	F(x)	-1	-0,79	-0,56	-0,31	-0,04	0,25	0,56	0,89	1,24	1,61	2
8	Значения первой производной на отрезке [a, b]
9	F’(x)	2	2,2	2,4	2,6	2,8	3	3,2	3,4	3,6	3,8	4
10	m	2
11	M	4
12	t	-0,25
13	(i-1)-ое приближение к корню
14	X(i-1)	1,5
15	(i)-ое приближение к корню
16	X(i)	1,4
17	Погрешность
18	r(x)	-0,02

Метод Ньютона

1.  Отделить интересующий нас корень уравнения – найти отрезок [a, b], на котором F(x) меняет знак: F(a)* F(b)<0.