Программа курса «Паркеты» для 7-8 классов

Программа курса «Паркеты» для 7-8 классов

1.  Пробовали ли вы когда-нибудь выкладывать кафельную или паркетную плитку на полу, или на стене? Или может быть помогали родителям в этом деле? Я думаю, что после наших занятий вы обязательно попробуете придумать свою укладку и, может быть, даже осуществить ее на практике!

2.  Итак, с чего, как вы думаете, надо начать, если перед вами стоит задача – выложить красивый орнамент из плитки на полу комнаты? (Варианты – с измерения размеров комнаты, с покупки плитки, и т. д. – обсуждаем, выходим на то, что сначала надо сделать модель – продумать узор, понять, сколько и какой плитки надо покупать).

3.  Какой формы плитка вам чаще всего встречалась в помещениях, или на улице? (демонстрация фотографий с красивым паркетом). Итак, чаще всего встречается плитка в форме прямоугольника, квадрата, шестиугольника, равностороннего треугольника (на этом этапе раздаются вырезанные из картона правильные многоугольники). Конечно, понятно, что проще всего выложить плитку в форме прямоугольника, или квадрата, но такой паркет получится скучным, неинтересным. Обратите внимание, что многоугольники, которые даны вам, обладают одним общим свойством, кто заметил – каким? (подвести к выводу, что у них все стороны равны и углы равны). Такие многоугольники называются правильными (зафиксировали это). Как вы думаете, почему им дано такое название? Получается, что те многоугольники, которые не обладают этим свойством, мы можем назвать неправильными!

4.  Укладку многоугольников на плоскости без просветов и перекрытий называют паркетом, или мозаикой, а те паркеты, которые получаются из правильных многоугольников, называют правильными паркетами.

5.  Как вы думаете, почему плитка в форме, например, правильного пятиугольника встречается в паркетах гораздо реже? (обсуждаем, пробуем выложить на столе паркет из пятиугольников, приходим к выводу, что это связано с углами многоугольника).

6.  А как узнать – какой величины углы у правильного пятиугольника? (можно измерить) А как вы думаете, у правильного пятиугольника другого размера углы будут другие? (демонстрация двух правильных пятиугольников с разной длиной стороны, дать кому-нибудь измерить их углы; вспомнить, что у всех квадратов углы одинаковы независимо от длины их стороны, сделать вывод – скорее всего и у всех правильных пятиугольников углы одинаковы и не зависят от размеров).

7.  Для того чтобы вычислить (а не измерить!) угол правильного пятиугольника можно применить прием «разбиение», т. е. разобьем его на более простые фигуры – самым простым многоугольником является, конечно, треугольник (разбиваем диагоналями из одной вершины). Сколько треугольников получилось? Кто знает – чему равна сумма углов треугольника? Да, кто-то из вас уже учил это в школе, а кто нет – тот примет пока на веру, что сумма углов любого треугольника равна 180º. Значит, сумма углов в пятиугольнике получилась равной 3х180º = 540º. А тогда каждый угол чему будет равен? (почему можно разделить на 5, верно ли это будет для неправильных пятиугольников?).

8.  Итак, теперь вы можете понять, почему же нет паркетов из одних правильных пятиугольников – чтобы произошло покрытие плоскости, нужно чтобы многоугольники закрывали угол в 360º, а здесь три пятиугольника образуют угол в 324º, а четыре – уже в 432º.

9.  А из каких правильных многоугольников вообще можно выложить паркет, если брать многоугольники одного вида? (попробуют выложить). Сколько треугольников должно сходиться в одной вершине? (да, 6 штук, ведь каждый угол правильного треугольника равен 180º: 3 = 60º). А сколько шестиугольников? (про угол в шестиугольнике поговорить – как вычислить его).

10.  А как вы думаете, можно ли сложить паркет из правильных семиугольников? Какой угол будет в правильном семиугольнике? Да, получается, что чем больше сторон в многоугольнике – тем каждый угол больше! Значит, из правильных семиугольников уже не сложить паркет (два мало, а три много!), а что уж говорить про восьмиугольники и т. д.! Но мы же видели на фотографиях паркеты с использованием восьмиугольников (обратить внимание, что там они в комбинации с другими многоугольниками). Вывод: если использовать правильные многоугольники одного вида, то паркет можно выложить только из правильных треугольников, квадратов и шестиугольников.

11.  Задание: попробуйте выложить красивый паркет, используя только многоугольники одного вида. Особой красоты не получается! Конечно, более интересные паркеты будут получаться, когда мы сможем использовать многоугольники разных видов. А вот какие многоугольники можно использовать в одном паркете и сколько вариантов паркета будет при этом получаться – вы узнаете на следующем занятии.

2 занятие

1. Мы с вами начинали с практической задачи – как узнать, сколько и какого вида плитки нужно купить, чтобы выложить красивый пол. Приняли ограничения, что плитка у нас в форме правильных многоугольников и укладку этих многоугольников на плоскости без пробелов и перекрытий условились называть Паркетом. На сегодня нам предстоит выяснить – какие правильные многоугольники можно использовать вместе, в одном паркете и сколько вариантов паркета может быть при этом получено. Договоримся о еще одном ограничении – укладку плитку вот такого вида будем называть мозаикой (фото), а укладку плитки «симметричным» образом, чтобы наш узор можно было наложить на себя так, что любая вершина паркета совместиться с любой другой заданной вершиной (показать) будем называть именно паркетом (в культуре встречается еще название - правильный паркет).

2. Понятно, что в таком правильном паркете любая его вершина его устроена одинаково – в ней сходится одинаковое число одинаковых многоугольников. Сколько их может быть? Угол вокруг одной вершины равен 360 градусам, самый маленький угол из правильных многоугольников, как мы выяснили, имеют правильные треугольники (угол треугольника равен 60 градусам), значит, наибольшее количество многоугольников в одной вершине равно 6. А наименьшее количество? Два многоугольника в одной вершине достаточно? Будет покрываться угол 360 градусов? Понятно, что нет, ведь угол при вершине любого правильного многоугольника меньше 180 градусов. Значит, наименьшее количество многоугольников равно 3, например 3 шестиугольника.

3. Рассмотрим паркеты с 3 многоугольниками в вершине. Могут быть три случая:

А) три одинаковых многоугольника

Б) два одинаковых и один отличный от них

В) все три разных.

Понятно, что случай А – это три шестиугольника, т. к. 360 : 3 = 120 градусов, а это угол правильного шестиугольника.

Рассмотрим второй случай Б:

Число сторон многоугольника	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Величина угла	60	90	108	120	128 4/7	135	140	144	147 3/11	150

Проводим перебор для решения уравнения 2х + у = 360

Два треугольника дают угол 120, угла 240 градусов быть не может, значит, в этом варианте двух треугольников быть не может.

Два квадрата дают угол 180 градусов, угла 180 градусов также не может быть, значит и двух квадратов быть не может;

Два пятиугольника дают угол 216 градусов, значит, третий должен давать угол 144 градуса – это правильный 10 – угольник. Посмотрим на эту конфигурацию – является ли она правильным паркетом? Как видим, такая укладка не обладает нужной нам симметрией, и значит, нам не подходит.

Продолжим перебор: два шестиугольника дают нам угол 240 градусов, значит, третьей фигурой может быть только шестиугольник – это случай А.

Два семиугольника дают угол 257 1/7 градуса, остается угол 102 6/7 градусов, такого правильного многоугольника нет.

Два восьмиугольника дают угол 270 градусов, значит третьим, должен быть квадрат. Попробуйте выложить такой паркет – является ли он правильным? Итак, один такой паркет мы нашли!

Проверим еще: два 9-угольника – угол 280 градусов, угла в 80 градусов у правильных многоугольников нет.

Два 10-угольника - 288 градусов, угла в 72 градуса также нет; два 11-угольника – 294 6/11, угла в 64 5/11 также нет; два 12-угольника – 300 градусов, значит, третий – это шестиугольник! Попробуйте выложить… Итак, еще один такой паркет найден.

Кто может сказать – надо ли дальше продолжать перебор? Почему? (сумма углов 2 многоугольников станет больше 300 градусов, значит, оставшийся угол менее 60 градусов, а самый маленький угол у правильного многоугольника – 60 градусов).

Рассмотрим третий случай – в одной вершине сходятся три различных многоугольника.

Здесь заметим, что в одной вершине паркета не могут сходиться три таких различных многоугольника, у которых нечетное число сторон. Если бы такой паркет существовал, то вокруг нечетноугольника оставшиеся m и n-угольники должны были бы идти чередуясь, а значит, при его обходе рядом окажутся два одинаковых многоугольника, нарушится симметрия, паркет не будет правильным!

Значит, получается, мы рассматриваем паркеты, у которых в одной вершине сходится три разных многоугольника и у них у всех трех четное число сторон.

Проверяем: квадрат, шестиугольник и восьмиугольник – 90 + 120 + 135 не дают в сумме 360; с десятиугольником – очевидно, нет;

квадрат, шестиугольник и денадцатиугольник – 90 + 120 + 140 = 360. Попробуйте выложить такой паркет… Итак, еще один паркет найден.

Почему можно не проверять дальше? Квадрат, шестиугольник и четырнадцати угольник? (сумма углов будет больше 360), а почему мы не проверяем, например, шести-, восьми – и двенадцатиугольник? По той же причине – сумма углов будет больше 360.

Итак, вариант укладки паркета, когда в одной вершине сходятся 3 многоугольника, дал нам 4 вида паркета (показать еще раз).

На следующем занятии мы продолжим поиск вариантов паркета.

3 занятие

1. Итак, на прошлом занятии мы рассмотрели такие паркеты, когда в одной вершине сходится минимальное количество - три многоугольника. Получили четыре вида паркета (показать). А сколько еще многоугольников может сходиться в одной вершине (вспомнить, что максимум – 6, значит, может быть еще 4, 5, или 6).

2. Рассмотрим вариант, когда в одной вершине сходится 4 многоугольника.

А) 4 одинаковых – ясно, что это 4 квадрата;

Б) три одинаковых, 1 отличается;

В) 2 одинаковых.

Рассмотрим теперь вариант Б – 3х60 – четвертый должен быть с углом 180 градусов, но это невозможно. 3х90 – уже был, это вариант А; 3х108 = 324 градуса, остается 36 градусов – такого нет. А дальше искать бесполезно, угол многоугольника увеличивается – оставшийся угол будет меньше 60 градусов – а это минимально возможный угол.

Итак, рассмотрим вариант В – два одинаковых и два различных многоугольника. Делаем перебор для уравнения 2х + у + z = 360.

2х60 + 90 + 108 – нет; 2х60 + 90= 210, ясно, что четвертым многоугольником в этом случае может быть только 12-угольник. Попробуем выложить такой паркет. Как видим, есть два варианта, но условие симметрии в каждом из них нарушается, такой паркет не будет правильным.

Пробуем дальше: 2х90 + 60 + 120 = 360. Пробуем выложить. Тоже есть два варианта, будут ли они правильными паркетами? Один из них да! Итак, мы нашли шестой вариант правильного паркета – паркет из двух квадратов, треугольника и 12-угольника.

Пробуем найти еще – 2х120 + 60 + 60 = 360, это паркет из двух шестиугольников и двух треугольников в одной вершине. Попробуйте выложить! Как видим, у нас два варианта, но только один из них является правильным! Итак, седьмой вариант паркета найден.

Перебрав варианты понимаем, что случаев где два правильных пятиугольника, семи - и более угольников быть не может.

Остается рассмотреть случай, когда в одной вершине сходится пять многоугольников (потому что случай с 6 многоугольниками тривиален – это 6 треугольников).

Итак, для 5 многоугольников в одной вершине возможны варианты:

А) 5 одинаковых;

Б) 4 одинаковых;

В) 3 одинаковых;

Г) 2 одинаковых

А: 360 : 5 = 72 градуса – таких нет;

Б: 4х60 + 120 = 360, в одной вершине сходятся 4 треугольника и 1 шестиугольник. Пробуем выложить и видим, что мы нашли восьмой правильный паркет! Других случаев для этого варианта быть не может (почему?)

В: 3х60 + 2х90 = 360, пробуем выложить, как видим – есть два паркета – и оба правильные! Других наборов в случаях В и Г быть не может (почему?).

Итак, мы получили всего 11 видов правильного паркета. Какой вариант вам больше нравится? Теперь, когда вы выбрали рисунок для пола, какие должны быть действия, чтобы понять – сколько плитки какого вида нужно купить для конкретной комнаты?

Решите эту задачу, если размеры комнаты 3х4 метра, а длина стороны каждой плитки 20 см.

(выйти на то, что просчитать ширину «полосы», затем количество полос в комнате, умножить это количество на количество плитки каждого вида в этой «полосе»).

Занятие 4.

1. На предыдущих занятиях мы занимались паркетами из правильных многоугольников, а сегодня я бы хотела познакомить вас с такими красивыми объектами как правильные многогранники.

Если многоугольник – это плоская фигура, это часть плоскости, то что такое многогранник? (часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками). Какие многогранники вы знаете? (показать призму, пирамиду, конус, цилиндр – почему это не многогранники?)

Давайте попробуем выстроить определение правильного многогранника. Вспомните определение правильного многоугольника (такой многоугольник, у которого стороны равны и углы между собой равны). А тогда правильный многогранник – что это? (состоит из правильных многоугольников, причем одного вида – т. е. в каждой вершине сходится одинаковое число ребер; показать на кубе и пирамиде отличие).

2. Сколько есть видов правильных многоугольников? (бесконечно много). А как вы думаете – правильных многогранников тоже много? Или их конечное число видов? Давайте попробуем ответить на этот вопрос!

Итак, рассматриваем многогранник, который состоит из правильных треугольников. Чтобы образовался трехгранный угол – в одной вершине может сходиться сколько треугольников? (3, 4, 5 – и все!) Значит, есть всего три вида правильных многогранников, которые состоят из треугольников. Попробуем их сконструировать! (делаем тетраэдр, октаэдр, икосаэдр). Сколько граней получилось в каждом случае? Они и называются по числу граней – четырехгранник, восьмигранник, двадцатигранник.

3. Теперь будем рассматривать многогранники, которые состоят из квадратов. Сколько квадратов может сходиться в одной вершине, чтобы образовался угол? Верно, три, и получается знакомый нам с детства куб. Сколько граней у куба? И другое его название – шестигранник, гексаэдр.

На очереди правильный пятиугольник. Сколько может сходиться в одной вершине угла правильных пятиугольников? Только 3. Пробуем склеить такой многогранник! Отлично! Сколько граней у него? И мы увидели двенадцатигранник, или додекаэдр.

Может ли получиться многогранник из правильных шестиугольников? А из 7-, 8- и других многоугольников?

Значит, мы получили интересный результат – оказывается правильных многогранников всего 5 видов, а вовсе не бесконечное количество как правильных многоугольников!

4. С правильными многогранниками были связаны представления об устройстве мира в Древней Греции.

Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Учеными достаточно хорошо изучены правильные выпуклые многогранники, но сам ли человек их придумал? Скорее всего он «подсмотрел» их у природы.
Правильные многогранники встречаются и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий?  По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Итак, благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.