«Утверждено»

на заседании кафедры

математического анализа

«___»___________2012

Зав. каф._____________

Вопросы и задачи

к экзамену по УМФ для студентов 3 курса

(спец. Информатика, гр И31, 2012-13 уч. год)

Сост.

Вопросы

Дифференциальные уравнения в частных производных (ДУ в ЧП). Основные понятия и определения. Основные уравнения математической физики. Линейные однородные ДУ в ЧП первого порядка. Задача Коши для линейного однородного ДУ в ЧП первого порядка. Квазилинейные ДУ в ЧП первого порядка. Вывод уравнения колебаний струны. Постановка основных начально-граничных задач для уравнения колебаний струны. Уравнение теплопроводности. Постановка основных начально-граничных задач. Постановка основных граничных задач для уравнений Пуассона и Лапласа. Понятие о корректно поставленной задаче для ДУ. Примеры некорректных краевых задач. Типы линейных ДУ в ЧП второго порядка. Примеры. Приведение к каноническому виду ДУ второго порядка (дифференциальное уравнение характеристик, понятие характеристики). Канонический вид ДУ второго порядка (случаи D>0, D<0, D=0). Первая начально-граничная задача для уравнения колебаний струны. Постановка задачи, единственность решения. Существование решения первой начально-граничной задачи для уравнения колебаний струны (метод Фурье). Построение решения задачи Коши для уравнения колебания струны. Формула Даламбера. Задачи Гурса и Дарбу для уравнения струны. Решение. Гармонические функции. Примеры. Внутренний принцип экстремума гармонических функций. Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом разделения переменных. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кольце. Свойства гармонических функций. Первая начально-граничная задача для уравнения теплопроводности. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Постановка задачи, единственность решения. Гамма - функция и ее свойства. Бета – функция, свойства, вычисление интегралов при помощи бета – функции. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя.

Задачи

1.  Доказать, что функция где - непрерывно дифференцируемая функция, является решением уравнения

2. Найти общее решение д. у. в ч. п. первого порядка и сделать проверку:

а) б)

в) г) .

3. Найти решение задачи Коши для д. у. в ч. п. первого порядка:

а)

б)

4. Определить тип уравнения и привести к каноническому виду:

а) б)

в) г) .

д) . е)

5. Найти методом характеристик общее решение д. у. в ч. п. второго порядка и сделать проверку:

а) б)

в) г)

6. Найти решение задачи для уравнения:

с условиями:

а) ,

б) ,

в) .

7. Найти решение задачи для уравнения:

с условиями:

а) ,

б) ,

в) .

8. Найти форму струны, определяемой уравнением в момент ,

если

9. Решить задачу Коши для волнового уравнения с начальными условиями:

а)

б)

10. Решить первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности , с условиями