Математика и информатика (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5

Математика и информатика

учебное пособие

для студентов факультета философии и психологии

и института истории и международных отношений

Саратов 2009

Содержание

Введение……………………………………….…………..………………..….… 3

Числовые функции……………………………….……..…………………..…….4

Предел функции…………………………..……………..…………………..……5

Непрерывность функции…………………………………..………………..……8

Производная………………………………………….….………………...………9

Дифференциал………………………………………….……………………..…10

Геометрический смысл производной……………………………………...……11

Производные и дифференциалы высших порядков…………….………..……11

Монотонность функции………………………………………………………....12

Локальные экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции..…..12

Выпуклость функции………………………………………………..………..…13

Асимптоты…………………………………………………………….………....13

Неопределённый интеграл…………………………………………...…………14

Основные методы интегрирования. …………………………….….………….15

Определённый интеграл. ……………………………………………………….16

Методы вычисления определённого интеграла.. …………………………..…17

Несобственный интеграл…………………………………….……………….…18

Дифференциальные уравнения.. …………………………………….…………18

Элементы комбинаторики…………………………………………………..……21

Случайные события. Основные определения……………………………………23

Классическое определение вероятности…………………………………………25

Геометрические вероятности……………………………………….…………….27

Условная вероятность…………………………………………………………….27

Формула полной вероятности и формула Байеса…………………..……………28

Схема Бернулли………………………………………………….……………….29

Случайные величины. Основные определения………………………………….30

Числовые характеристики дискретной случайной величины………………..….31

Законы распределения дискретной случайной величины. …………..………….33

Числовые характеристики непрерывной случайной величины…………………34

Законы распределения непрерывной случайной величины.. ……………………36

Основные определения математической статистики……………………….……37

Числовые характеристики вариационных рядов…………………………………41

Статистическое оценивание………………………………………………………43

Введение в информатику………………………………………….………………46

Развитие вычислительной техники……………………………………….………46

Введение

Настоящее учебное пособие содержит основные сведения из области математического анализа, теории вероятности, математической статистики и истории развития вычислительной техники. Его основная цель — ознакомить студентов, учащихся на гуманитарных специальностях, с математикой и информатикой.

В каждом из разделов приводится теория и примеры решения практических задач, способствующие более глубокому пониманию теоретического материала.

Пособие рекомендовано для студентов факультета философии и психологии и института истории и международных отношений.

Числовые функции.

Числовые величины, рассматриваемые в математическом анализе, могут быть переменными и постоянными. Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной величиной. Например, скорость света в вакууме, постоянная Планка, p = 3.14…, e = 2.…, любое конкретное число – всё это примеры постоянных величин.

Переменные величины мы будем обозначать буквами x, y, z, u, v, … постоянные величины – буквами a, b, c, …

Определение 1. Если каждому значению переменной x, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определённое значение другой переменной y, то y есть функция от x, или в символьной записи y = f(x), y = j(x) и т. д. Переменная x называется независимой переменной, или аргументом. Буква fфункциональный символ указывающий, что над значением x нужно произвести какие-то операции, чтобы получить значение y.

Определение 2. Совокупность значений x, для которых определяются значения y в силу правила f(x), называется областью определения функции, а соответствующие значения y образуют область значений (область изменения функции). Обозначения: D(х) – область определения, Е(f) – область значений. Например, y = , D (х) = {x | x£1}, Е() = {у | y ³ 0}.

Очень часто функция рассматривается на некотором:

интервале (a, b), представляющем собой множество чисел {x | a < x < b};

полуинтервалах (a, b] = {x | a < x £ b} или [a, b) = {x | a £ x < b};

отрезке (сегменте) [a, b] = {x | a £ x £ b}.

Интервал, полуинтервал и отрезок в дальнейшем мы будем называть промежутками, а числа, принадлежащие промежутку, – точками в силу взаимно однозначного соответствия между числами и точками числовой прямой. Если x0Î(a, b), то промежутки (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] называют окрестностями точки x0.

Способы задания функций: табличный, графический, аналитический и словесный.

Таблица 4.1

x

x1

x2

xn

y

y1

y2

yn

Табличный:

Как правило, такие таблицы составляются по данным экспериментального изучения связи между двумя величинами.

Аналитический способ состоит в записи в виде формулы (формальной записи), например, y = , y = x3 +2, y = sin2x.

Графический способ заключается в изображении точек (x, f(x)) в прямоугольной системе координат, при этом в силу определения функции никакие две точки не будут лежать на одной прямой, параллельной оси Oy[1]. Абсциссы точек являются значениями аргумента, ординаты – значениями функции.

Примером словесного описания функции является, например, следующее описание физического состояния человека: с 7 до 10 ч температура была равна 36.8°, с 10 до 15 ч температура увеличилась до 37.2°. После принятия лекарств она снизилась и с 15 до 22 ч равнялась 37 °.

Определение 3. Функция f, определённая на интервале (a, b), называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. из a<x1<x2<b следует f(x1)<f(x2). Функция называется убывающей, если из a<x1<x2<b следует f(x1)>f(x2). Функция называется неубывающей (невозрастающей), если f(x1)£f(x2) (f(x1)³f(x2)) при любых a<x1<x2<b. Такие функции называются монотонными, а в случае строго возрастающих или строго убывающих функций более конкретно – строго монотонными.

Например, функция S(a) = a2 площадь S квадрата, зависящая от его стороны a, является возрастающей функцией, а функция t = 180:v время t проезда от Твери до Москвы по железной дороге в зависимости от скорости движения поезда v, является функцией убывающей.

Определение 4. Функция f чётная, если f(–x) = f(x), и нечётная, если f(–x) = –f(x) для любого x из области определения функции. Например, y = cosx – чётная, y = sinx – нечётная, а y = 2x не является как чётной, так и нечётной (проверить самостоятельно). Функция f называется периодической с периодом T, если для любого значения аргумента f(x+T) = f(x). Например, функции y = cosx и y = sinx с периодом 2p.

Определение 5. Функция f называется ограниченной сверху, если существует действительное число M такое, что для любого значения x из области определения функции f(x) £ M. Функция f называется ограниченной снизу, если существует действительное число m такое, что для любого значения x из области определения функции f(x) ³ m. Функция f называется просто ограниченной, если существует действительное число M>0 такое, что для любого значения x из области определения функции |f(x)| £ M.

Например, y = cosx и y = sinx ограниченные функции, поскольку |sinx| £ 1 и |cosx| £ 1, а y = x2 ограничена снизу, поскольку x2 ³ 0. Нулями функции называются значения аргумента, обращающие её в нуль, например, нулями функции y = x2 – 4 являются x1 = 2 и x2 = –2.

УПРАЖНЕНИЕ. Оцените по определению 5 функцию, изображённую на рис. 1

Предел функции.

Не строго говоря, число А называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если при стремлении значения аргумента достаточно близко к x0, соответствующие значения функции y сколь угодно близко стремятся к А. Данное определение строго формализуется следующим образом.

Определение 1. Число А называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого положительного числа e найдется положительное d такое, что как только x удовлетворяет неравенству 0 < |xx0| < d следует, что |f(x) – А | < e.

Символическая запись:: 0 < |xx0| < d Þ |f(x) – А | < e.

Определение 2. Число А называется пределом функции f(x) в точке x0 слева, если для любого положительного числа e найдется положительное d такое, что как только x удовлетворяет неравенству 0 < x0 – x < d следует, что |f(x) – А | < e.

Символически: : 0 < x0 – x < d Þ |f(x) – А | < e.

Определение 3. Число А называется пределом функции f(x) в точке x0 справа, если для любого положительного числа e найдется положительное d та­кое, что как только x удовлетворяет неравенству 0 < xx0 < d следует, что |f(x) – А | < e.

Символически: : 0 < xx0 < d Þ |f(x) – А | < e.

Функция y = f(x), которая при x ® a стремится к 0, т. е. , называется бесконечно малой величиной при x ® a. В случае, когда при x ® a (x ® ¥, x ® + ¥, x ® –¥) значении функции неограниченно возрастают по абсолютной величине, говорят, что функция y = f(x) не имеет предела или является бесконечно большой величиной при x ® a и записывают так:

.

ТЕОРЕМА 1 (критерий существования предела). Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних пре­дела и они равны между собой.  

ТЕОРЕМ 2 (об арифметических операциях над пределами функций). Если существуют пределы и , то

1) предел суммы и разности функций равен сумме и разности преде­лов функций:

,

;

2) предел произведения функций равен произведению пределов функ­ций:

;

3) предел частного функций равен частному пределов функ­ций:

.  

ТЕОРЕМА 3 (о переходе к пределу в неравенствах). Пусть и и для всех x некоторой окрестности точки a справедливы неравенства f(x) £ g(y). Тогда l £ p.  

ТЕОРЕМА 4 (о пределе функции, ограниченной двумя другими функциями, имеющими одинаковые пределы). Пусть и для всех x некоторой окрестности точки a справедливы неравенства q(x) £ f(x) £ g(x). Тогда

ТЕОРЕМА 5 (Первый замечательный редел)

.

Доказательство. Рассмотрим круг радиуса R (см. рис. 1), полагая угол x, 0 < x < p/2. Площадь треугольника AOB равна R2sinx, площадь сектора AOB равна R2x, а площадь треугольника AOC равна R2tgx. По построению ясно, что R2sinx < R2x <R2tgx,

откуда

sinx < x < tgx,

следовательно,

1 < < ,

или, заменяя величины им обратными,

cosx < < 1.

Мы вывели это равенство в предположении, что x > 0. Замечая, что = и cos(–x) = cosx, заключаем, что оно верно и при x < 0. Но , , следовательно, по теореме 4, . €

ТЕОРЕМА 6 (второй замечательный предел). или . €

Число e является иррациональным числом, т. е. выражается бесконечной непериодической десятичной дробью: e » 2.7…

Второй замечательный предел используется при вычислении пределов вида в случае, если f(x) ® 1, g(x) ® ¥ при x ® x0. Для этого в функции следует выделить выражение: , где a ® 0 при x ® x0.

С этой целью основание f(x) представляется в виде f = 1+a, далее в выраже­нии искусственно выделяется требуемое выражение (1 + a)1/a путем деления и умножения показателя степени на a:

.

Тогда при x ® x0 выражение в квадратных скобках стремится к e, и остается найти предел степени a×g(x).

Пример. Вычислить предел функции: .

Решение. При x ® 1 основание стремится к 1, степень – к бесконечности, по­этому вычисляем данный предел с помощью второго замечательного пре­дела:

.

Непрерывность функции

Не строго говоря, непрерывность функции означает малое изменение функции при малом изменении аргумента. Перейдём к формальному математическому определению.

Определение 1. Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки x0, называется непрерывной в точке x0, если предел значения функции в точке равен значению функции в этой точке, т. е.

= f(x0).

Аналогично определяются непрерывность функции справа и слева.

Определение 2. Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если в ней нарушается условие непрерывности.

Выделяют три типа точек разрыва:

1) точки разрыва первого рода, в которых существуют конечные односто­ронние пределы, не равные между собой;

2) точки разрыва второго рода, в которых не существует хотя бы один ко­нечный односторонний предел;

3) точки устранимого разрыва, в которых предел функции в точке не ра­вен значению функции в этой точке.

Исследование функции на непрерывность проводится по следующей схеме:

1. Выделяются точки, подозрительные на разрыв – точки в которых произ­водится деление на ноль, точки разрыва элементарных функций и т. п.

2. Вычисляются односторонние пределы в этих точках.

3. По результатам вычислений делаются выводы о характере точек раз­рыва.

Определение 3. Функция, не имеющая точек разрыва, называется непрерывной.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Точки, подозрительные на разрыв, x = –1 и x = 1. Вычислим одно­сторонние пределы в этих точках.

, , , .

При x = –1 не существует конечных односторонних пределов, следова­тельно, x = –1 – точка разрыва второго рода.

При x = 1 односторонние пределы равны между собой и равны значению функции в точке x = 1, следовательно, в точке x = 1 функция непрерывна.

Производная.

Производная – одно из важнейших понятий современной математики. С помощью производной можно определить скорость изменения функции, скорость протекания некоторого явления, процесса.

Определение 1. Производной функции f в предельной точке x0 области определения функции называют предел

,

если он существует, и обозначают f ¢(x0), или .

Аналогично определяются левая и правая производные:

, ,

Если x0 – внутренняя точка области определения функции f, то f ¢(x0) существует тогда и только тогда, когда fл¢(x0), = fп¢(x0), причем f ¢(x0) равна односторонним производным.

Определение 2. Функцию f называют дифференцируемой в точке x0, если имеет место представление

f(x) – f(x0) = A×(xx0) + e(x) (xx0) (1)

при любом x ÎDf, где A – некоторое число, а .

Заметим, что функция f дифференцируема в точке x0 тогда и только тогда, когда существует производная f ¢(x0), причем число A = f ¢(x0).

Из равенства (1) для дифференцируемой в точке x0 функции f вытекает непрерывность функции в точке x0 (т. е. непрерывность является необходимым условием существования производной). Из непрерывности, однако, дифференцируемость не следует.

ТЕОРЕМА 1 (Основные правила дифференцирования)
. Если функции f и g дифференцируемы в точке x0, то функции f + g, f×g, и при дополнительном условии g(x) ¹ 0 дифференцируемы в точке x0 и справедливы формулы

(f + g)¢(x0) = f ¢(x0) + g¢(x0),

(f × g)¢(x0) = f ¢(x0) g(x0) + f (x0) g¢(x0),

.

Частным случаем второго равенства является формула (C×f)¢(x0) = C×f ¢(x0), где C = const. ð

ТЕОРЕМА 2. Если функция g дифференцируема в точке x0, а функция f – в точке t0 = g(x0), то сложная функция fg дифференцируема в точке x0 и (fg)x¢(x0) = f t¢(t0)×gx¢(x0). ð

Таблица производных

(x a)¢ = a×x a –1, (C)¢ = 0, где C = const,

(sin x)¢ = cos x,

(cos x)¢ = – sin x,

,

,

(e x)¢ = e x,

,

(arcsin x)¢ = ,

(arccos x)¢ = – ,

(arctg x)¢ = ,

(arcctg x)¢ = –,

(ax)¢ = ax×lna,

.

Дифференциал

Определение. Пусть функция f дифференцируема в точке x0. Тогда дифференциалом функции f в точке x0 называют главную, линейную относительно приращения аргумента Dx = xx0 часть приращения функции, т. е. первое слагаемое из правой части равенства (1):

df(x0) = A×(xx0) = f ¢(x0)(xx0).

Поскольку функция f(x) = x дифференцируема в любой точке и f ¢(x) º 1, то df(x) = Dx или dx = Dx. Поэтому формула для дифференциала принимает вид

df(x) = f ¢(x)dx.

Формула (1) является источником приближенного равенства

f(x) » f(x0) + f ¢(x0)(xx0). (2)

Пример. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить . Это означает, что надо воспользоваться равенством (2).

Рассмотрим функцию f(x) = , x0 = 1. Тогда f(1) = 1, f ¢(x) = , f ¢(1) = . Тогда при x = 1.02, xx0 = 0.02 и

.

Геометрический смысл производной

Пусть функция f дифференцируема в точке x0. Прямая, проходящая через точку (x0, f(x0)),

yf(x0) = f ¢(x0) (xx0)

называется касательной к графику функции в точке (x0, f(x0)).

Обратим внимание на то, что f ¢(x0) является угловым коэффициентом этой касательной, т. е. f ¢(x0) = tga, где a – угол между касательной и положительным направлением оси Ох.

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой. Таким образом, уравнение нормали к графику функции f в точке (x0, f(x0)) имеет вид

xx0 = – f ¢(x0)(yf(x0)).

Пример. Написать уравнение касательной и нормали к кривой

y = x3 + 2x2 – 4x – 3 в точке (–2, 5).

Рассмотрим функцию f(x) = x3 + 2x2 – 4x – 3. Тогда f ¢(x) = 3x2 + 4x – 4, f ¢(–2) = 3×4 – 8 – 4 = 0, f (–2) = – 8 + 8 + 8 – 3 = 5. Таким образом, y = 5 уравнение касательной, x = –2 уравнение нормали.

Производные и дифференциалы высших порядков

Определение 1. Если функция f дифференцируема в некоторой окрестности | xx0| < e точки x0, а функция f ¢ имеет в точке x0 производную, то функция f называется 2-дифференцируемой в точке x0 и (f ¢)¢(x0) называется производной 2-го порядка и обозначается f ¢¢(x0) или f (2)(x0).

Если функция f (n–1)-дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, тогда (f(n–1))¢(x0), если она существует, называется n-производной f(n)(x0) и функция f называется n-дифференцируемой в точке x0.

Пример 1. Найти производную второго порядка функции y = .

Решение. y¢= ()×(–2x) = –2×x; y¢¢= –2(()×(–2x)x + ) = 2(2x2–1).

Определение 2. Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) d2y называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т. е.

d2y = d(dy).

Дифференциалом n-го порядка (или n-м дифференциалом) dny называется дифференциал от дифференциала (n –1)-го порядка, т. е. dny = d(dn –1y). Можно показать, что

dny = y(n)dxn.

Пример 2. y = 4x4 + 5x3 – 6x2 + x – 10.Найти дифференциалы от первого до третьего порядка включительно.

Решение.

y¢= 16x3 + 15x2 – 12x + 1;

y¢¢= 48x2 + 30x – 12x;

y¢¢¢= 96x + 30;

dy = (16x3 + 15x2 – 12x + 1) dx;

d2y = (48x2 + 30x – 12x) dx;

d3y = (96x + 30) dx;

Монотонность функции

Определение. Функция f, определенная на интервале (a, b), называется:

1) неубывающей [невозрастающей], если f(x1) £ f(x2) [f(x1) ³ f(x2)] при любых a < x1 < x2 < b;

2) возрастающей [убывающей], если f(x1) < f(x2) [f(x1) > f(x2)] при любых a < x1 < x2 < b.

Такие функции называют монотонными, а в случае 2) более конкретно – строго монотонными.

ТЕОРЕМА 1 (Лагранжа). Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то существует такая точка c Î (a, b), что

f(b) – f(a) = f ¢(c)(ba). ð

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем: если во всех точках дуги AB (Рис.2) существует касательная, то на этой дуге найдётся точка C между A и B, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A и B.

ТЕОРЕМА 2 (Достаточные условия монотонности).

Если при любом xÎ (a, b)

1) f ¢(x) ³ 0 (£ 0), то f не убывает (не возрастает) на (a, b);

2) f ¢(x) > 0 (< 0), то f возрастает (убывает) на (a, b). ð

Локальные экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции

Определение. Точка x0 называется точкой внутреннего локального экстремума (максимума или минимума) функции f, если в некоторой окрестности |xx0| < e точки x0 выполняется соответственно неравенство f(x) £ f(x0) или f(x) ³ f(x0).

ТЕОРЕМА 1 (Ферма или необходимое условие локального экстремума). Если точка x0 – точка внутреннего локального экстремума функции f и функция дифференцируема в точке x0, то

f ¢(x0) = 0. ð

Геометрический смысл данной теоремы в том, что касательная к графику дифференцируемой функции в точке экстремума параллельна оси Ox.

ЗАМЕЧАНИЕ. Условие f ¢(x0) = 0 не является достаточным условием экстремума. Точки, в которых f ¢(x0) = 0 или же производная не существует, называются критическими.

ТЕОРЕМА 2 (Достаточные условия экстремума).

I.  Если функция f непрерывна в некоторой окрестности |x – x0| < d точки x0, которая является критической точкой, f ¢(x0) > 0 при x0 –d < x < x0 и f ¢(x0) < 0 при x0 < x < x0 + d, то x0 – точка локального максимума функции f, если же f ¢(x0) < 0 при x0 –d < x < x0 и f ¢(x0) > 0 при x0 < x < x0 + d, то x0 – точка минимума функции f.

II.  Если f ¢(x0) =0 и f ¢¢(x0)<0, то x0 – точка максимума функции f; если f ¢(x0) =0 и f ¢¢(x0)>0, то x0 – точка минимума, если же f ¢(x0) = 0, f ¢¢(x0) = 0 и f (3)(x0) ¹ 0, то точка x0 не является точкой экстремума функции.

III.  Пусть функция f имеет в некоторой окрестности |x – x0| < d производные до порядка n–1 включительно и в точке x0 производную f(n)(x0), причем f(k)(x0) = 0 (k = 1, 2,…, n–1), f(n)(x0) ¹ 0. Тогда:

1) если n – четное, то в точке x0 функция f имеет максимум при f(n)(x0) < 0, и минимум при f(n)(x0) > 0;

2) если n – нечетное, то в точке x0 функция f экстремума не имеет. ð

ТЕОРЕМА 3 (Наибольшее и наименьшее значения функции). Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то наибольшее и наименьшее значения достигаются функцией или в критических точках или на концах отрезка. ð

Выпуклость функции

Говорят, что дифференцируемая функция f на интервале (a, b) является выпуклой или вогнутой, если при x Î (a, b) ее график расположен соответственно выше (рис. 3) или ниже (рис. 4) касательной, проведенной к нему в любой точке (x, f(x)).

Достаточным условием выпуклости (вогнутости) на интервале (a, b) 2-дифференцируемой функции является условие: f ¢¢(x) > 0 (f ¢¢(x) < 0) при x Î (a, b). Подробнее: если f ¢¢(x) > 0, то функция f выпуклая,

если f ¢¢(x) < 0, то функция f вогнутая.

В самом деле, если, например, f ¢¢(x) < 0, то f ¢(x) убывает в данном промежутке, а это означает, что тангенс угла наклона касательной убывает и, следовательно, убывает угол наклона. Так, парабола y = x2 выпукла на всей области определения, y¢¢ = 2 > 0.

Точки, в которых меняется характер выпуклости, называют точками перегиба. Точка x0, в которой f ¢¢(x0) = 0 или вторая производная не существует, является точкой перегиба функции f, если f ¢¢(x) меняет знак при переходе через точку x0.

Асимптоты

1. Вертикальные асимптоты.

Если существует точка a такая, что , то прямая x = a является вертикальной асимптотой.

2. Наклонные асимптоты.

Если и , то прямая y = kx + b является правой наклонной асимптотой (если k = 0, то – правой горизонтальной асимптотой).

Если вместо предела при, рассмотреть предел при x ® – ¥, то такая прямая является левой асимптотой.

Неопределённый интеграл

Одной из основных задач дифференциального исчисления было нахождение производной известной функции. В данном параграфе мы будем учиться решать обратную задачу нахождения функции по известной производной.

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство F ¢(x) = f(x).

Например, функция F(x) = x4 является первообразной для функции f(x) = 4x3.

Очевидно, что задача отыскания первообразной решается неоднозначно. Так, для функции f(x) = 4x3 первообразными являются также функции F(x) = x4 + 10 и F(x) = x4 – 20 (проверьте дифференцированием), и вообще функция F(x) = x4 + C, где C – любое число.

Теорема 1. Пусть F(x) – какая-либо первообразная для функции f(x) на некотором промежутке (a, b), то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x) + C, где C – произвольная постоянная.

Определение 2. Неопределённым интегралом от данной функции f(x) называется множество всех её первообразных в заданном промежутке (a, b). Неопределённый интеграл записывается в виде:

= F(x) + C,

где F ¢(x) = f(x). Знак ò называется знаком неопределённого интеграла; функция f(x) – подынтегральной функцией; выражение f(x)dxподынтегральным выражением. Операция нахождения первообразной данной функции называется интегрированием.

Основные свойства неопределённого интеграла

1.  = f(x), = f(x)dx, = j(x) + C.

2.  =.

3.  = +.

Эти свойства следуют из определения интеграла и соответствующих свойств дифференцирования. Свойства 2 и 3 означают линейность неопределённого интеграла.

Таблица интегралов от простейших функций.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Пример 1. == = – 3+3= –3–3×+3×+C = –(1++)+ C.

Пример 2. = + + = – 4cosx + 6x – 3× + ln|x| – 3arctgx + C = – 4cosx + 6xx3 + ln|x| – 3arctgx + C.

Основные методы интегрирования

1.  Интегрирование методом замены переменной

Рассмотрим . Сделаем замену t = ax + b, откуда dt = adx, и, следовательно, dx = (1/a)dt. Подставляем в интеграл:

= = × F(t) + C = × F(ax + b) + C.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5



Подпишитесь на рассылку:


Вычисление
это получение из входных данных нового знания

Информатика

Проекты по теме:

Математика
Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.