На правах рукописи
ОЦЕНКА И ПРИБЛИЖЕНИЕ СЕГМЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ
01.01.09 – дискретная математика и математическая кибернетика
Автореферат
диссертации на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
Саратов 2010
Работа выполнена на кафедре математической экономики механико-математического факультета Саратовского государственного университета
им. .
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор
кандидат физико-математических наук,
доцент
Ведущая организация: Институт математики и механики УрО РАН
Защита состоится «22» апреля 2010 года в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государственном университете им. 3, СГУ, механико-математический факультет.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета.
Автореферат разослан «_____» марта 2010 года.
Учёный секретарь диссертационного совета ДМ 212.243.15
кандидат физико-математических наук,
доцент
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Задачи по оценке и приближению сложных многозначных отображений многозначными отображениями простой структуры находят обширные приложения в естествознании, в том числе и в самой математике, и представляют один из разделов негладкого анализа.
Локальными аппроксимациями многозначных отображений занимались многие отечественные и зарубежные математики ( ([27] – [28]), ([15] – [18]), ([30] – [31]), ([25] – [26]), ([22]), ([24]), ([12]) и др.)
К задачам, имеющим нелокальный характер, относятся, в частности, внешнее и внутреннее эллипсоидальное оценивание многозначных отображений. Многие известные математики занимались эллипсоидальными оценками множеств достижимости динамических систем (см., например, ([33]), ([34])).
Относительно немного известно работ по равномерному приближению многозначных отображений на заданном множестве. Так в работе ([23]) рассматривается задача о равномерном приближении непрерывного многозначного отображения, заданного на отрезке, постоянным выпуклозначным отображением.
Простейшим примером многозначного отображения является сегментная функция. Диссертация посвящена исследованию некоторых задач по оценке и приближению сегментной функции таким объектом как полиномиальная полоса. Сформулируем эти задачи.
Будем считать, что сегментная функция 
задана на отрезке 
двумя непрерывными функциями 
и 
, причём 
при всех 
. Обозначим через 
полином фиксированной степени 
с вектором коэффициентов 
.
Задачу
(1)
будем называть задачей о внешней оценке сегментной функции 
полиномиальной полосой. Её геометрический смысл состоит в построении полиномиальной полосы наименьшей (по ординате) ширины, содержащей в себе график данной сегментной функции . Под полиномиальной полосой с осью, задаваемой полиномом 
, и шириной (по ординате) 
мы понимаем график сегментной функции 
.
Задача, отличающаяся от (1) перестановкой функций и ,
(2)
называется в диссертации задачей о псевдовнутренней оценке сегментной функции полиномиальной полосой. Если минимальное значение целевой функции 
меньше нуля, то её геометрический смысл заключается в построении полиномиальной полосы наибольшей ширины, которая содержится в графике сегментной функции .
Следующая рассматриваемая задача
(3)
называется задачей наилучшего равномерного хаусдорфова приближения сегментной функции полиномиальной полосой.
Последнюю задачу
, (4)
которая отличается от (3) тем, что минимизация осуществляется только по 
при фиксированном значении 
, будем называть задачей наилучшего равномерного приближения сегментной функции полиномиальной полосой фиксированной ширины .
Приведём сравнение с некоторыми известными задачами.
Нетрудно убедиться, что при 
для все задачи становятся эквивалентными задаче ёва о равномерном приближении непрерывной функции полиномом заданной степени
. (5)
Задача (1) даёт также повод для гипотезы: не является ли она эквивалентной задаче (5) для 
. Однако простые примеры говорят, что это не так.
В монографии Б. Сендова [32] рассматривалась задача о приближении графика сегментной функции графиком полинома в метрике Хаусдорфа двумерного пространства. Эта задача (в условиях специфики выбранной метрики Хаусдорфа ([32, c.37]), как следует из примера, приведённого самим автором ([32, c. 117 – 118]), не является задачей выпуклого программирования в отличие от задач
Уместно также вспомнить задачу об ужах (см. [19, c. 34]), в которой требуется найти полиномы заданной степени (верхний и нижний ужи), которые 
раз своим графиком касаются поочерёдно графиков заданных непрерывных функций 
и 
на отрезке при условии, что 
на всём отрезке, и при этом графики полиномов содержатся в графике сегментной функции 
. В диссертации показано, что при определённых условиях решение задачи (1) (или задачи (2)) будет давать решение задачи об ужах, но для такого ужа обязательно имеет место “избыточный” альтернанс, в том смысле, что этот уж, по крайней мере, 
раза поочерёдно касается графиков некоторых функций и .
Наконец, отметим, что в дискретной постановке задача (1) рассматривалась ([13] – [14]), то есть когда в (1) отрезок заменяется конечным набором точек.
Более подробно и с примерами эти сравнения делаются по мере изложения текста диссертации.
Цель работы заключалась в
· исследовании взаимосвязи задач ,
· получении необходимых и достаточных условий их решения,
· получении достаточных условий единственности их решения.
Методика исследования.
Целевые функции всех экстремальных задач являются выпуклыми конечными функциями. При исследовании в основном применялись методы выпуклого анализа, теории минимаксных задач, а также некоторые факты из теории полиномиальных приближений и многозначного анализа.
Научная новизна.
Результаты данной работы являются новыми и состоят в следующем:
1. Доказано существование решений всех поставленных задач.
2. Дано их сравнение с известными из теории полиномиального приближения задачами.
3. Установлена параметрическая связь всех задач через задачу (4), где r использовалось в качестве параметра.
4. Получены необходимые и достаточные условия решения задач в форме, сравнимой с чебышевским альтернансом.
5. Получены достаточные условия единственности решения задач. Показано, что на вопрос о едиственности решения задач о внешней и псевдовнутренней оценке могут влиять дифференциальные свойства сегментной функции, даны примеры условий единственности решения через дифференциальные свойства сегментной функции.
Теоретическое значение и практическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании задач по оценке и равномерному приближению многозначных отображений. Они могут найти применение в теории приближений, теории минимаксных задач, при исследовании прикладных задач естествознания, в техническом анализе ценных бумаг, а также могут быть использованы в учебном процессе.
Апробация работы.
Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинаре по негладкому анализу и математической экономики кафедры математической экономики Саратовского государственного университета (руководитель – проф. ) ( г.); на научных конференциях сотрудников механико-математического факультета Саратовского государственного университета ( г.); на 13-ой, 14-ой и 15-ой Саратовских зимних школах «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2006 г., 2008г., 2010г.); на 8-ой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2007 г.); на международной конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения «Дифференциальные уравнения и топология» (Москва, 2008 г.); на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные вопросы» (Воронеж, 2009 г.); на объединенном научном семинаре механико-математического факультета и факультета КНИТ СГУ по дискретной математике и математической кибернетике (декабрь 2009г.).
Публикации.
Результаты исследований опубликованы в работах [1] – [11]. Работа [10] входит в список изданий, рекомендуемых ВАК РФ при защите кандидатских диссертаций.
Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, трёх глав, содержащих 12 параграфов, списка использованной литературы и приложения. Работа занимает 124 страницы.
Содержание работы
Во Введении даётся обоснование актуальности темы, приводятся постановки рассматриваемых задач, их сравнение с некоторыми известными задачами и кратко излагаются основные результаты.
В Главе 1 устанавливается взаимосвязь рассматриваемых задач.
В методическом плане проводимое здесь исследование опирается на работу [20], где выявлена взаимосвязь некоторых задач по оценке и приближению выпуклого компакта шаром некоторой нормы. Задачи можно рассматривать как некоторые аналоги рассматриваемых в [20] задач.
В §§ 1-2 даются постановки задач , обсуждается их сравнение с известными задачами, вводятся обозначения для оптимальных значений целевых функций и множества решений:
, 
,
, 
,
, 
,
.
Отметим, что из-за некоторых соображений, связанных с удобством изложения, существование решений задач , то есть непустота множеств 
, 
, 
и 
, а также их выпуклость и компактность, доказываются позже в § 6 главы 2.
Кроме того, в § 2 фиксируется важная связь целевых функций поставленных задач.
Теорема 2.1. При любых и 
справедливо равенство
.
Главные результаты главы получены в § 3. Здесь устанавливается параметрическая связь задачи (4) с задачами (1) и (2).
Для этого вводятся обозначения
, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
,
, 
.
Показывается (леммы 3.1 – 3.2), что справедливы соотношения
,
.
Конкретную связь решений задач (1) и (2) с решениями задачи (4) выражает
Теорема 3.1 1) Справедлива формула
2) Если 
, то 
и при этом
.
3) Если 
, то
, 
,
то есть на интервале 
среди решений задачи (4) нет решений задач (1) и (2).
Также в § 3 доказано, что как многозначное отображение 
на отрезке 
непрерывно по Какутани и строго монотонно убывает по включению (теорема 3.2), а на отрезке 
оно также непрерывно по Какутани, но строго монотонно возрастает по включению (теорема 3.3).
В § 4 для функции 
показано (теорема 4.1), что она является выпуклой и конечной при , причём
Принимая обозначение
,
устанавливается связь задачи (3) с задачей (4).
Теорема 4.2. Для того, чтобы пара доставляла минимальное значение функции в задаче (3) необходимо и достаточно, чтобы и :
.
Эту связь можно выразить в виде
.
Устанавливаются также важные свойства решения задачи (4) на интервале 
.
Теорема 4.3. Если , то справедливы соотношения
, 
, 
,
, .
В § 5 показывается, как заменив метрику, используемую Б. Сендовым в [32, c. 37], и наложив некоторые дополнительные условия, можно говорить об эквивалентности задачи о внешней оценке (1) и задачи, рассматриваемой в [32].
В Главе 2 дана характеризация решений рассматриваемых задач в форме, сравнимой с чебышевским альтернансом.
В § 6 показано, что решения всех задач существуют и ограничены. Поэтому из выпуклости и конечности (а следовательно, и непрерывности (см. [17, c. 43])) целевых функций в целом получаем, что множества , , и являются выпуклыми компактами.
В § 7 средствами выпуклого анализа на основе полученных формул субдифференциалов функций и установлены критерии решения задач о внешней и псевдовнутренней оценках (1) – (2).
Введём обозначения
, 
, 
,
.
Критерий решения задачи (1) устанавливает
Теорема 7.1 Для того, чтобы функция принимала в точке минимальное на значение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:
1) ,
2)существует упорядоченная последовательность точек из такая, что если , то , .
Формулировка критерия решения задачи (2) имеет аналогичный вид (теорема 7.2). В ней множества , 
, заменяются на множества 
, где
,
,
.
Также в § 7 устанавливается связь задачи (1) с задачей об ужах (следствия 7.1 – 7.2).
В § 8 даётся характеризация решения задачи (4). По теореме 3.1 при 
и 
её решения выражают соответственно решения задачи (1) и (2). Поэтому принципиально важным является случай , то есть когда задача (4) имеет самостоятельное от задач (1) и (2) значение. Этот случай отражён ниже в теореме 8.3, где
, 
.
Теорема 8.3. Пусть . Для того, чтобы функция принимала в точке минимальное на значение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1) ,
2) существует упорядоченная последовательность точек
такая, что если , то , .
Получить в общем случае критерий решения задачи (3) в форме, близкой к чебышевскому альтернансу не удалось. В § 9 приводятся необходимые и отдельно достаточные условия решения задачи (3).
Обозначим через 
. Необходимые условия даёт
Теорема 9.3. Если пара доставляет минимальное значение в задаче (3), то
1) ,
2) выполняется хотя бы одно из условий:
a) ,
б) существует последовательность такая, что если , то , .
Введём дополнительные обозначения
, 
, .
Достаточные условия решения даёт
Теорема 9.5. Пусть вектор коэффициентов таков, что существует последовательность из пар точек , удовлетворяющая условиям:
1) если , то соответственно
,
2) если , то и
,
3) , ,
Тогда пара , где , доставляет минимальное значение функции в задаче (3).
Приводятся также относительно вырожденные ситуации, когда достаточные условия решения являются одновременно и необходимыми.
Примером такой ситуации является
Теорема 9.6. Пусть вектор таков, что
1) ,
2) либо , либо .
Тогда для того, чтобы пара , где , была одним из
решений задачи (3), необходимо и достаточно, чтобы существовала упорядоченная последовательность :
такая, что если , то , .
Если чебышевская задача о равномерном приближении непрерывной функции полиномом заданной степени всегда имеет единственное решение, то в задачах (1) – (4) вопрос о единственности решения может зависеть от свойств оцениваемой или приближаемой сегментной функции .
В Главе 3 получены достаточные условия единственности решения данных задач.
В § 10 приводятся достаточные условия единственности решения задачи (1). Нижеследующая теорема даёт условия единственности, в которых не используются дифференциальные свойства функций и .
Теорема 10.1. Если вектор коэффициентов удовлетворяет хотя бы одному из условий:
1) множество содержит не менее точек,
2) существует упорядоченный набор точек
таких, что если , то , ,
то является, причём единственным, решением задачи (1).
Введём следующее
Определение 10.1. Будем говорить, что точка обладает -кратностью, если выполняется хотя бы одно из условий:
а) функции и дифференцируемы в этой точке справа (или слева) раз, причём
, ,
(или соответственно , ),
б) в случае чётного значения достаточно, чтобы одна из функций была в этой точке дифференцируема , а вторая раза, причём
, .
Следующая теорема даёт достаточные условия единственности решения. учитывающие дифференциальные свойства сегментной функции:
Теорема 10.2. Пусть , , где точки обладают кратностью , , и выполняется хотя бы одно из условий
а) ,
б) и существует пар точек :
таких, что и если , то . Тогда - единственное решение задачи (1).
В § 11 для задачи (4) получено следующее условие единственности решения.
Теорема 11.3. Если для вектора существует последовательность :
такая, что если , то , , то является единственным решением задачи (4) при .
Из теоремы 11.3 вытекает важный вывод для случая 
.
Теорема 11.4. Если , то для значений решение задачи (4) всегда единственно.
В последнем § 12 получены достаточные условия единственности решения задачи (3).
Теорема 12.1. Пусть вектор коэффициентов 
таков, что существует последовательность из пар точек 
, 
, удовлетворяющих условиям:
1) если 
, то соответственно
,
2) если 
, то и
,
3) 
, 
, 
,
а, кроме того,
4) либо 
и 
, либо 
,
5) либо 
и 
, либо 
.
Тогда пара 
, где 
, является единственным решением задачи (3).
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору за постоянное внимание, ценные советы и большую помощь в работе над диссертацией.
Список работ автора по теме диссертации
1. О приближении многозначного отображения полиномиальной полосой фиксированной ширины [Текст] / // Математика. Механика: Сб. научн. тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-таВып. 7. - С. 114-117.
2. О наилучшем приближении многозначного отображения полиномиальной полосой [Текст] / // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 13-й Сарат. зимней школы. - Саратов: -во Научная книгаС. 164-165.
3. Сорина решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения полиномиальной полосой фиксированной ширины [Текст] / // Математика. Механика: Сб. научн. тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-таВып. 8. - С. 127-130.
4. О некоторых задачах по оценке и приближению сегментной функции [Текст] / , // Материалы восьмой междунар. Казанской летней научной школы-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы». - Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва, Изд-во Казан. гос. ун-таС. 107-109. ( принадлежат постановки рассматриваемых задач и метод, использованный при исследовании их параметрической взаимосвязи; формулировки теорем и их доказательства принадлежат )
5. Сорина единственности решения задачи о внешней оценке сегментной функции полиномиальной полосой [Текст] / // Математика. Механика: Сб. научн. тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-таВып. 10. - С. 76-78.
6. Дудов решения задачи наилучшего приближения сегментной функции полиномиальной полосой [Текст] / , // Математика. Механика: Сб. научн. тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-таВып. 10. - С. 20-23. ( принадлежит постановка задачи, основные результаты принадлежат )
7. О приближении сегментной функции полиномиальной полосой [Текст] / , // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 14-й Сарат. зимней школы, посвящ. памяти акад. . - Саратов: Изд-во Сарат. ун-таС. 67-68. ( принадлежит постановка задачи, основные результаты принадлежат )
8. Дудов и приближение сегментной функции полиномиальной полосой [Текст] / , // Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвящённая 100-летию со дня рождения : Тезисы докладов. – М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ
им. ; МАКС Пресс. – 2008. – С. 338-339. ( принадлежат постановки рассматриваемых задач и метод, использованный при исследовании их параметрической взаимосвязи; основные результаты принадлежат )
9. О наилучшем равномерном приближении сегментной функции полиномиальной полосой [Текст] / , // Современные методы теории функций и смежные вопросы: материалы конференции Воронежской зимней математической школы / Воронежский государственный университет [и др.]. - Воронеж: Издательско-полиграф. центр Воронежского государственного университетаС. 62-63. ( принадлежит постановка задачи, основные результаты принадлежат )
10. Выгодчикова оценка сегментной функции полиномиальной полосой [Текст] / , , // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2009. – Т. 49. - № 7. – С. . ( принадлежит постановка задачи, определение 1 и комментарии к нему. и принадлежат комментарии к теоремам 3 и 4, примеры 1 и 2. Основные результаты принадлежат )
11. О наилучшем приближении сегментной функции полиномиальной полосой [Текст] / , // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 15-й Сарат. зимней школы, посвящ. 125-летию со дня рождения и 100-летию СГУ. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-таС. 71-72. ( принадлежит постановка задачи, основные результаты принадлежат )
Список литературы
12. Гороховик мультиотображений в смысле Фреше [Текст] / , // Труды института математики НАН Беларуси – 1998 - Т.1. - С.
13. О наилучшем приближении дискретного мультиотбражения алгебраическим полиномом [Текст] / // Математика. Механика: Сб. научн. тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-таВып. 3. - С. 25-27.
14. О единственности решения задачи наилучшего приближении многозначного отображения алгебраическим полиномом [Текст] / // Известия Сарат. ун-таВып. 1/2. - С. 11-19.
15. Демьянов : дифференцируемость по направлениям [Текст] / . - Л.: Изд-во ЛГУ, 1974.
16. , Малоземов в минимакс [Текст] / , . - М.: Наука, 1972.
17. Демьянов оптимизация [Текст] / , . - М.: Наука, 1981.
18. , Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление [Текст] / , . - М.: Наука, 1990.
19. Дзядык в теорию равномерного приближения функций полиномами [Текст] / . - М.: Наука, 1977.
20. Дудов некоторых задач по оценке выпуклого компакта шаром [Текст] / // Матем. сборник. – 2007. - Т. 198. - № 1. - С. 43-58.
21. Выпуклые множества [Текст] / К. Лейхтвейс - М.: Наука, 1985.
22. , Многозначный анализ и возмущённые задачи нелинейного программирования [Текст] / , , . - Минск: Наука и техника, 1993.
23. Об аппроксимации непрерывногоОб аппроксимации непрерывного многозначного отображения постоянными многозначными отображениями [Текст] / // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. Матем. и кибернетика. – 1990. - № 1. - С.
24. -П. Прикладной нелинейный анализ [Текст] / Ж.-П. Обен, И. Экланд. - М.: Мир, 1988.
25. Половинкин теории многозначных отображений [Текст] / . - М.: Изд-во МФТИ, 1982.
26. Половинкин многозначных отображений [Текст] / . - М.: Изд-во МФТИ, 1983.
27. Пшеничный анализ и экстремальные задачи [Текст] / . - М.: Наука, 1980.
28. О дифференцируемости функции минимума со связанными ограничениями [Текст] / // Кибернетика. – 1985. - № 1. - С.
29. Выпуклый анализ [Текст] / Р. Рокафеллар. - М.: Мир, 1973.
30. Рубинов ённая производная многозначного отображения и дифференцируемость максимума при связанных ограничениях [Текст] / // Сиб. матем. жТ. 26. - № 3. - С. 1
31. Рубинов многозначных отображений и дифференцируемость маргинальных функций [Текст] / // ДАН СССР. – 1987. - Т. 292. - № 2. - С.
32. Хаусдорфовые приближения [Текст] / Б. Сендов. - София, 1979.
33. Черноусько фазового состояния динамических систем: метод эллипсоидов / . - М.: Наука, 1988.
34. Kurzhanski A. B., Valui I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston: Burkhauser, 1977.
