Современные методы теории функций (стр. 2 )

Раздел 1. Аналитические функции.

Тема 1.1. Понятие аналитической функции.

Понятие функции комплексной переменной. Действительная и мнимая части функции. Непрерывность функции комплексной переменной. Производная функции комплексной переменной. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексной переменной, конформные отображения, условия Коши-Римана. Аналитические функции. Гармонические функции.

Тема 1.2. Элементарные функции комплексной переменной и их свойства.

Показательная функция. Логарифмическая функция. Область определения, области однолистности, отображение областей этими функциями. Тригонометрические функции, их свойства.

Раздел 2. Интеграл от функции комплексной переменной.

Тема 2.1. Интегрирование функции комплексной переменной.

Интеграл от функции комплексной переменной по кусочно-гладкому пути. Теорема Коши для односвязной и многосвязной области. Первообразная и интеграл. Интегральное определение логарифмической функции.

Тема 2.2. Интегральная формула Коши.

Интегральная формула Коши. Разложение функции, представимой интегралом Коши, в ряд Тейлора. Неравенства для коэффициентов степенного ряда. Целые функции. Теорема Лиувилля. Нули аналитической функции. Изолированность нулей. Задача аналитического продолжения функций. Элементарные функции как аналитическое продолжение соответствующих функций с действительной оси. Сохранение функциональных соотношений при аналитическом продолжении.

Раздел 3. Вычеты и их приложения.

Тема 3.1. Изолированные особые точки аналитической функции.

Ряд Лорана. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Изолированные особые точки аналитической функции: их классификация, поведение аналитической функции вблизи особой точки.

Тема 3.2. Вычеты и их приложения.

Вычеты функции. Вычисление вычетов. Основная теорема о вычетах. Вычисление комплексных и действительных интегралов с помощью теории вычетов.

5. Образовательные технологии.

В ходе освоения дисциплины «Современные методы теории функций», при проведении аудиторных занятий, используются технологии традиционных и нетрадиционных учебных занятий.

Технология традиционного обучения предусматривает такие методы и формы изучения материала как лекция и практические занятия:

·  информационная лекция:

Тема 1.1. Понятие аналитической функции.

Тема 1.2. Элементарные функции комплексной переменной и их свойства.

Тема 2.1. Интегрирование функции комплексной переменной.

·  проблемная лекция:

Тема 2.2. Интегральная формула Коши.

Тема 3.1. Изолированные особые точки аналитической функции.

Тема 3.2. Вычеты и их приложения.

Практические занятия направлены на формирование у студентов умений и навыков решения задач, в том числе с практическим содержанием и исследовательских задач. В ходе проведения практических занятий используются задания учебно-тренировочного характера и задания творческого характера.

При изучении дисциплины «Современные методы теории функций» используются активные и интерактивные технологии обучения, такие как:

·  технология сотрудничества, включающая работу в малых группах (тема 2.1. Интегрирование функции комплексной переменной; тема 3.2. Вычеты и их приложения;

·  медиатехнология (подготовка и демонстрация презентаций);

·  кейс-технология (проблемный метод, работа в парах и группах).

Нетрадиционные учебные занятия проводятся в форме тренинга, занятий-соревнований (заключительные практические занятия по изучаемым темам).

Занятия, проводимые в интерактивной форме, в том числе с использованием интерактивных технологий составляют 25% от общего количества аудиторных занятий.

Самостоятельная работа студентов подразумевает работу под руководством преподавателя (консультации, собеседование, коллоквиум, реферат) и индивидуальную работу студента, выполняемую, в том числе, в компьютерном классе с выходом в сеть «Интернет» на физико-математическом факультете университета.

При реализации образовательных технологий используются следующие виды самостоятельной работы:

·  работа с конспектом лекции;

·  работа с учебником;

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка реферата по заданной теме с компьютерной презентацией;

·  поиск информации в сети «Интернет» и дополнительной и справочной литературе;

·  подготовка к собеседованию;

·  подготовка к коллоквиуму;

·  подготовка к сдаче экзамена.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.

Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,

промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

Самостоятельная работа студента.

Неделя	№ темы	Вид самостоятельной работы	Рекомендуемая литература	Часы
1	2	3	4	5
7 семестр	1	Аналитические функции		16
1-2	1.1.	Подготовка к аудиторному занятию: · работа с конспектом лекций: Усвоение основных понятий теории функций комплексной переменной: действительная и мнимая части функции; непрерывность функции комплексной переменной; производная функции комплексной переменной. Доказательство теоремы о дифференцировании функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Усвоение понятия «аналитические функции». · работа с учебником: Изучение вопросов: геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексной переменной; конформные отображения; гармонические функции; ·  решение задач и упражнений по образцу; ·  решение вариативных задач и упражнений; ·  подготовка к тесту.	1,2,3,4,5,6,7,8,9 (1, 2)	8
3-4	1.2.	Подготовка к аудиторному занятию: · работа с конспектом лекции: изучение элементарных функций комплексной переменной, их свойств и осуществляемых ими отображений областей; ·  работа с учебником: изучение вопроса об области однолистности логарифмической функции; ·  решение задач и упражнений по образцу; ·  решение вариативных задач и упражнений; ·  подготовка к собеседованию.	1,2,3,4,5,6,7,8,9 (1, 2)	8
	2	Интеграл от функции комплексной переменной.		22
5-6	2.1.	Подготовка к аудиторному занятию: · работа с конспектом лекции: Изучение понятия интеграла от функции комплексной переменной по кусочно-гладкому пути и методов его вычисления. Доказательство теоремы Коши для односвязной и многосвязной области, ее применение при вычислении интегралов. ·  работа с учебником: изучение вопроса «интегральное определение логарифмической функции»; ·  решение задач и упражнений по образцу; ·  решение вариативных задач и упражнений; ·  подготовка реферата по заданной теме.	1,2,3,4,5,6,7,8,9 (1, 2)	12
7-8	2.2.	Подготовка к аудиторному занятию: · работа с конспектом лекции: доказательство интегральной формулы Коши, ее применение. Изучение вопроса о разложении функции, представимой интегралом Коши, в ряд Тейлора. Неравенства для коэффициентов степенного ряда. Целые функции. Теорема Лиувилля. Нули аналитической функции. Изолированность нулей. ·  работа с учебником: изучение вопроса «Задача аналитического продолжения функций. Элементарные функции как аналитическое продолжение соответствующих функций с действительной оси. Сохранение функциональных соотношений при аналитическом продолжении»; ·  решение задач и упражнений по образцу; ·  решение вариативных задач и упражнений; ·  подготовка к тесту.	1,2,3,4,5,6,7,8,9 (1, 2)	10
	3	Вычеты и их приложения.		22
9-10	3.1.	Подготовка к аудиторному занятию: · работа с конспектом лекции: изучение ряда Лорана, его области сходимости; изучение вопроса о разложении аналитической функции в ряд Лорана. Усвоение классификации изолированных особых точек аналитической функции, изучение поведения аналитической функции вблизи особой точки. ·  работа с учебником: изучение вопроса о бесконечности, как особой точке аналитической функции; ·  решение задач и упражнений по образцу; ·  решение вариативных задач и упражнений; ·  подготовка к коллоквиуму.	1,2,3,4,5,6,7,8,9 (1, 2)	12
11-12	3.2	Подготовка к аудиторному занятию: · работа с конспектом лекции: изучение понятия «вычет функции» и методов его вычисления. Доказательство формул для вычисления вычетов в случае простого и кратного полюса. Доказательство основной теоремы о вычетах. Вычисление комплексных и действительных интегралов с помощью теории вычетов. ·  работа с учебником: знакомство с другими приложениями теории вычетов; ·  решение задач и упражнений по образцу; ·  решение вариативных задач и упражнений; ·  подготовка к контрольной работе.	1,2,3,4,5,6,7,8,9 (1, 2)	10

Вопросы и задания для контроля самостоятельной работы студентов

Тест № 1.

1.Какое из комплексных чисел является произведением чисел Z1=3-5i, Z2 =4-5i:

1) 7-25i; 2)12-35i;i;i;i.

2. Какое из комплексных чисел является частным от деления Z1= 4-6i на

Z2 =5-3i:

1) 3-26i; 2)12-14i;i;i; 5) .

3. Какое из комплексных чисел является значением выражения

:

1i; 2) 6 + 8i; 3) -9i;i;i.

4. Значениями являются комплексные числа:

1) -3+2i, 3-2i; 2) 1+2i; -1-2i; 3) 3+4i, 3-4i;i, 1+2i; 5) 2+i, -2-i.

5. Какое из чисел является одним из значений аргумента комплексного числа :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

6.Главное значение аргумента комплексного числа z равно. Какие из перечисленных чисел также являются значениями Arg z:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ?

7. Тригонометрической формой комплексного числа является:

1) ; 2); 3); 4) .

8.Точки, изображающие комплексные числа Z на координатной плоскости, у которых располагаются:

1) на оси Ох; 2) на оси Оу; 3) на прямой ; 4) на прямой .

9. Найти множество всех комплексных чисел Z, удовлетворяющих условию

.

10. Вычислить .

Тест № 2.

1. Указать действительную и мнимую части функции:

a) б)

2. Записать функцию как функции от переменной z=x+iy:

3. Найти значение функций:

а) ; б) .

4. Вычислить логарифмы следующих чисел и изобразить на чертеже несколько значений:

а) z=i; б) z=– 5; в) z= – 1 + i.

5. Найти все значения указанных степеней:

а) 1 – i; б) ii.

6. Вычислить и если:

а) γ – радиус-вектор точки z = 2 + i;

7. Пусть γ – окружность =5. Какие из интегралов заведомо равны нулю:

а) б) в)

г) д) ; е) .

Вопросы к собеседованию (темы 1.1 и 1.2).

1. Понятие функции комплексной переменной. Действительная и мнимая части функции. Непрерывность функции комплексной переменной.

2. Производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана.

3. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексной переменной.

4. Конформные отображения. Аналитические функции. Гармонические функции. Примеры.

5. Показательная функция комплексной переменной, ее периодичность.

6. Показательная функция комплексной переменной, множество ее значений.

7.Отображения, осуществляемые показательной функцией.

8. Логарифмическая функция. Ее свойства.

9. Логарифмическая функция. Отображения, осуществляемые логарифмической функцией.

10. Тригонометрические функции комплексной переменной.

Вопросы к коллоквиуму (темы 2.1, 2.2, 3.1).

1. Понятие интеграла от функции комплексной переменной по кусочно-гладкому пути. Его свойства.

2. Понятие интеграла от функции комплексной переменной по кусочно-гладкому пути. Его вычисление.

3. Теорема Коши для односвязной и многосвязной области.

4. Первообразная функции комплексной переменной. Формула Ньютона-Лейбница.

5. Интегральное определение логарифмической функции.

6. Интегральная формула Коши.

7. Разложение функции, представимой интегралом Коши, в ряд Тейлора. Неравенства для коэффициентов степенного ряда.

8. Целые функции. Теорема Лиувилля.

9. Нули аналитической функции. Изолированность нулей.

10. Задача аналитического продолжения функций. Элементарные функции как аналитическое продолжение соответствующих функций с действительной оси. Сохранение функциональных соотношений при аналитическом продолжении.

11. Ряд Лорана. Его область сходимости.

12. Ряд Лорана. Разложение аналитической функции в ряд Лорана.

13. Изолированные особые точки аналитической функции. Их классификация.

14. Устранимая особая точка аналитической функции. Поведение аналитической функции вблизи устранимой особой точки.

15. Полюс (простой и кратный). Поведение аналитической функции вблизи полюса.

16. Существенно особая точка. Примеры. Теорема Сохоцкого.

Контрольная работа

1. Найти изолированные особые точки функции и выяснить их характер.

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

а) б)

а) б)

а) б)

2. Вычислить вычеты указанной функции относительно каждой из ее конечных особых точек:

3. Вычислить интегралы:

4. Вычислить определенные интегралы:

5. Вычислить несобственные интегралы:

Темы рефератов.

1.  Вычеты и их приложения.

2.  Геометрическая интерпретация поля С комплексных чисел.

3.  Расширенная комплексная плоскость и стереографическая проекция.

4.  Гармонические функции.

5.  Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

6.  Конформные отображения.

7.  Области однолистности аналитической функции.

8.  Элементарные функции и задаваемые ими конформные отображения.

9.  Линейная и дробно-линейная функции.

10.  Степенная функция и радикал.

11.  Понятие римановой поверхности.

12.  Функции Жуковского.

13.  Круговые и обратные круговые функции.

14.  Интегральное определение логарифмической функции.

15.  Степенные ряды в комплексной плоскости.

16.  Теорема Лиувилля.

17.  Нули аналитической функции. Изолированность нулей.

18.  Аналитическое продолжение функций.

Вопросы к экзамену

1.  Функции комплексного переменного.

2.  Предел и непрерывность функции комплексного переменного.

3.  Дифференцирование функции комплексного переменного.

4.  Понятие аналитической функции.

5.  Интегрирование функции комплексного переменного.

6.  Теорема Коши. Ряды Тейлора и Лорана.

7.  Вычеты и их приложения.

8.  Геометрическая интерпретация поля С комплексных чисел.

9.  Расширенная комплексная плоскость и стереографическая проекция.

10.  Последовательности и ряды функции комплексного переменного.

11.  Равномерная сходимость.

12.  Непрерывность суммы степенного ряда.

13.  Производная функции комплексного переменного.

14.  Условия дифференцируемости.

15.  Дифференцирование степенных рядов.

16.  Понятие аналитической функции.

17.  Гармоническая функция.

18.  Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

19.  Конформные отображения.

20.  Области однолистности аналитической функции.

21.  Элементарные функции и задаваемые ими конформные отображения.

22.  Линейная и дробно-линейная функции.

23.  Степенная функция и радикал.

24.  Понятие римановой поверхности.

25.  Показательная и логарифмическая функции.

26.  Степень с произвольным показателем.

27.  Функции Жуковского.

28.  Круговые и обратные круговые функции.

29.  Интегрирование функции комплексного переменного.

30.  Интеграл функции комплексного переменного по кусочно-гладкому пути.

31.  Теорема Коши.

32.  Первообразная и интеграл.

33.  Интегральное определение логарифмической функции.

34.  Интеграл Коши и ряд Тейлора.

35.  Интегральная формула Коши.

36.  Разложение функции представимой интегралом Коши в ряд Тейлора.

37.  Неравенства для коэффициентов степенного ряда.

38.  Целые функции.

39.  Теорема Лиувилля.

40.  Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.

41.  Нули аналитической функции. Изолированность нулей.

42.  Аналитическое продолжение.

43.  Теоремы единственности.

44.  Задача аналитического продолжения.

45.  Элементарные функции как аналитическое продолжение с действительной оси.

46.  Сохранение функциональных соотношений при аналитическом продолжении.

47.  Изолированные особые точки.

48.  Разложение аналитической функции в ряд Лорана.

49.  Неравенства Коши для коэффициентов ряда Лорана.

50.  Классификация изолированных особых точек однозначной аналитической функции.

51.  Теорема Сохоцкого.

52.  Разложение рациональной функции на целую часть.

53.  Простые дроби. Мероморфные функции.

54.  Вычеты. Вычет аналитической функции. Вычисление вычетов.

55.  Теорема о вычетах. Применение теории вычетов к вычислению интегралов.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение

дисциплины “Современные методы теории функций”

а) основная литература:

Учебники и учебные пособия.

1. , Шабат теории функции комплексного переменного. М.: Наука. 2003.

2. Маркушевич курс теории аналитических функций. М.: Наука. 2008.

3. Привалов в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука. 2001.

4. , Тихонов функций комплексной переменной. М.: Наука. 1970.

5. Соломенцев комплексного переменного, М.: Наука. 2008.

6. , Шабат комплексного переменного и некоторые их приложения. М.: Наука. 1964.

7. Шабат в комплексный анализ. Ч.1. М.: Наука. 2006.

 

Задачники

8. , Петров в. А., Полухин -практикум по теории аналитических функций. М.: Просвещение. 1986.

9. Никитина теории аналитических функций. Пенза: ПГПУ.2010.

б) дополнительная литература:

Учебники и учебные пособия.

1. Маркушевич аналитических функций. Т. 1, 2. М.: Наука. 1967.

2. Пчелин разделы высшей математики. М.: Высшая школа. 1990.

3. Шабат в комплексный анализ. Ч.2. М.: Наука. 2006.

Задачники

4. , , Араманович задач по теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1970.

в) Программное обеспечение и Интернет-ресурсы.

№	Название	Электронный адрес	Содержание
1.	*****	www. *****	Сайт посвящён математике (и математикам. Этот сайт — для школьников, студентов, учителей и для всех, кто интересуется математикой. Тех, кого интересует зона роста современной науки математика.
2.	Exponenta.ru	www. *****	Студентам: - запустить установленный у Вас математический пакет, выбрать в списке примеров, решенных в среде этого пакета, подходящий и решить свою задачу по аналогии; Преподавателям: - использовать математические пакеты для поддержки курса лекций. Всем заинтересованным пользователям: – можно ознакомиться с примерами применения математических пакетов в образовательном процессе. – найти демо-версии популярных математических пакетов, электронные книги и свободно распространяемые программы.
3.	Математика	www. *****	учебный материал по различным разделам математики – алгебра, планиметрия, стереометрия, функции, графики и другие.
4.	Truba. nnov	www. truba. *****	Сайт о математическом анализе.
5.	fismat	www. *****	Высшая математика для студентов – интегралы и производные, ряды; лекции, задачи, учебники.
4.	Российское образование.	www. *****	федеральный образовательный портал: учреждения, программы, стандарты, ВУЗы, тесты ЕГЭ.
6.	Математика для студентов и прочее.	www. xplusy. *****	содержит большое количество видеолекций для школьников, абитуриентов и студентов по математике и физике.

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины

«Современные методы теории функций»

Для освоения данной дисциплины необходимы:

– мультимедийные средства обучения (компьютер и проектор; интерактивная доска; Интернет - ресурсы).

Рабочая программа дисциплины «Современные методы теории функций» составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций примерной ООП ВПО по направлению подготовки _050100 Педагогическое образование

и профилю подготовки Математика.

Программу составила:

1._, кандидат физ.- мат. наук, _доцент_______________________

2.___________________________________________________________________

Настоящая программа не может быть воспроизведена ни в какой форме без предварительного письменного разрешения кафедры-разработчика программы.

Программа одобрена на заседании кафедры _математического анализа

Протокол № ___ от «____» _________ 2011 года

Зав. кафедрой математического

анализа ___________________________

(подпись)

Программа одобрена учебно-методическим советом физико-математического факультета

Протокол № ___ от «____» ______________ 2011 года

Председатель учебно-методического совета

физико-математического факультета ___________________________

(подпись)

Программа одобрена учебно-методическим управлением университета

«_____» _____________ 2011 года

Начальник учебно-методического

управления университета ___________________________

(подпись)