Пример (стр. 7 )

Таблица A.2

Значения	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Вероятность	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

Совокупность всех возможных значений случайной переменной описывается генеральной совокупностью, из которой извлекаются эти значения. В нашем случае генеральная совокупность – это набор чисел от 2 до 12.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины – это взвешенное среднее всех ее возможных значений, причем в качестве весового коэффициента берется вероятность соответствующего исхода. Вы можете рассчитать его, перемножив все возможные значения случайной величины на их вероятности и просуммировав полученные произведения. Математически если случайная величина обозначена как , то ее математическое ожидание обозначается как или .

Предположим, что может принимать конкретных значений и что вероятность получения равна . Тогда

. (A.1)

В случае с двумя костями величинами от до были числа от 2 до 12. Математическое ожидание рассчитывается так:

.

Прежде чем пойти дальше, рассмотрим еще более простой пример случайной переменной – число очков, выпадающее при бросании лишь одной игральной кости.

В данном случае возможны шесть исходов: , , …, . Каждый исход имеет вероятность 1/6, поэтому здесь

. (A.2)

В данном случае математическим ожиданием случайной переменной является число, которое само по себе не может быть получено при бросании кости.

Математическое ожидание случайной величины часто называют ее средним по генеральной совокупности. Для случайной величины это значение часто обозначается как .

Математические ожидания функций дискретных случайных переменных

Пусть – некоторая функция от . Тогда – математическое ожидание записывается как

, (A.3)

где суммирование производится по всем возможным значениям . В табл. A.3 показана последовательность практического расчета математического ожидания функции от .

Таблица A.3

	Вероятность	Функция от	Функция, взвешенная по вероятности
1	2	3	4
…	…	…	…
Всего

Предположим, что может принимать различных значений от до с соответствующими вероятностями от до . В первой колонке записываются все возможные значения . Во второй – записываются соответствующие вероятности. В третьей колонке рассчитываются значения функции для соответствующих величин . В четвертой колонке перемножаются числа из колонок 2 и 3. Ответ приводится в суммирующей строке колонки 4.

Рассчитаем математическое ожидание величины . Для этого рассмотрим пример с числами, выпадающими при бросании одной кости. Использовав схему, приведенную в табл. A.3, заполним табл. A.4.

Таблица A.4

1	2	3	4
1	1/6	1	0,167
2	1/6	4	0,667
3	1/6	9	1,500
4	1/6	16	2,667
5	1/6	25	4,167
6	1/6	36	6,000
Всего	15,167

В четвертой ее колонке даны шесть значений , взвешенных по соответствующим вероятностям, которые в данном примере все равняются 1/6. По определению, величина равна , она приведена как сумма в четвертой колонке и равна 15,167.

Математическое ожидание , как уже было показано, равно 3,5, и 3,5 в квадрате равно 12,25. Таким образом, величина не равна , и, следовательно, нужно аккуратно проводить различия между и .

Правила расчета математического ожидания

Существуют три правила, которые часто используются. Эти правила практически самоочевидны, и они одинаково применимы для дискретных и непрерывных случайных переменных.

Правило 1. Математическое ожидание суммы нескольких переменных равно сумме их математических ожиданий. Например, если имеются три случайные переменные , и , то

. (A.4)

Правило 2. Если случайная переменная умножается на константу, то ее математическое ожидание умножается на ту же константу. Если – случайная переменная и – константа, то

. (A.5)

Правило 3. Математическое ожидание константы есть она сама. Например, если – константа, то

. (A.6)

Следствие из трех правил:

.

Независимость случайных переменных

Две случайные переменные и называются независимыми, если

(A.7)

для любых функций и . Из независимости следует как важный частный случай, что .

Теоретическая дисперсия дискретной случайной переменной

Теоретическая дисперсия является мерой разброса для вероятностного распределения. Она определяется как математическое ожидание квадрата разности между величиной и ее средним, т. е. величины , где – математическое ожидание . Дисперсия обычно обозначается как или , и если ясно, о какой переменной идет речь, то нижний индекс может быть опущен:

. (A.8)

Из можно получить – среднее квадратическое отклонение – столь же распространенную меру разброса для распределения вероятностей; среднее квадратическое отклонение случайной переменной есть квадратный корень из ее дисперсии.

Мы проиллюстрируем расчет дисперсии на примере с одной игральной костью. Поскольку , то в этом случае равно . Мы рассчитаем математическое ожидание величины , используя схему, представленную в табл. A.5. Дополнительный столбец представляет определенный этап расчета . Суммируя последний столбец в табл. I.5, получим значение дисперсии , равное 2,92. Следовательно, стандартное отклонение () равно , то есть 1,71.

Таблица A.5

1	2	3	4	5
1	1/6	–2,5	6,25	1,042
2	1/6	–1,5	2,25	0,375
3	1/6	–0,5	0,25	0,042
4	1/6	0,5	0,25	0,042
5	1/6	1,5	2,25	0,375
6	1/6	2,5	6,25	1,042
Всего	2,92

Одним из важных приложений правил расчета математического ожидания является формула расчета теоретической дисперсии случайной переменной, которая может быть записана как

. (A.9)