Обычно значение РD принимают следующее:

для поисковых работ

0.90 – 0.95

для исследования процессов и машин

0.95 – 0.98

для контроля качества продукции

0.95 – 0.99

18

В практике исследований параметров процессов и продуктов текстильной промышленности при доверительной вероятности (надежности)

РD=0.954 точность измерений считается, %:

высокой………………………………….

средней…………………………………..

2<

низкой……………………………………

5<

очень низкой…………………………….

10<

Ниже приводятся формулы для определения доверительных гарантийных) ошибок для основных числовых характеристик (параметров) нормального распределения случайных величин.

2.3.1 Доверительный интервал и ошибка среднего

Абсолютная доверительная ошибка, допущенная при оценке среднего значения h генеральной совокупности, при большом объеме выборки (m³100) и случайная величина Y распределена по нормальному закону, определяется по формуле (11).

(11)

где * - выборочное среднее квадратическое отклонение;

m – число измерений;

U - квантиль нормального распределения (U= 2).

Относительная доверительная (гарантийная) ошибка среднего значения определяется по формуле (12).

(12)

где С - квадратическая неровность параметра Y, %.

Таким образом, абсолютным доверительным интервалом среднего значения называется интервал следующего вида (13):

(13)

Анализируя точность оценки среднего значения, можно решить, достаточна она или нет. Если требуется увеличение точности (уменьшения абсолютного доверительного интервала), то необходимо увеличить число испытаний. Чтобы определить необходимое число испытаний образца, надо воспользоваться следующим выражением (14):

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

(14)

19

Задаваясь величиной относительной ошибки (в большинстве случаев – 5 %) и доверительной вероятностью РD (0,954) и приняв квадратическую неровноту, %, по данным других опытов или другой информации, можно рассчитать объем выборки.

При малом объеме выборки (m£30) используют приближенную формулу (15).

(15)

где - квантиль двустороннего распределения Стьюдента;

f – число степеней свободы f = m - 1.

2.3.2 Доверительный интервал и ошибка СКО

При большом объеме выборки абсолютная доверительная ошибка среднего квадратического отклонения (16).

(16)

Относительная ошибка среднего квадратического отклонения равна (17).

(17)

Доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью РD попадает среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности,

(18)

Преобразуя формулу (18), получим выражение для определения объема выборки для точного определения (19).

(19)

2.3.3 Доверительный интервал и ошибка коэффициента вариации

При большом объеме выборки (m>30) абсолютную и относительную доверительные ошибки коэффициента вариации случайной величины e из нормальной генеральной совокупности определяют по формулам (20), (21).

20

(20)

(21)

Преобразованием формулы (21), получим выражение для определения объема выборки при определении коэффициента вариации с необходимой точностью (22):

(22)

Пример. В результате взвешивания 100 метровых отрезков пряжи пневмомеханического способа прядения установлено, что среднее значение линейной плотности пряжи =24,88 текс, выборочное среднее квадратическое отклонение =1,44 текс, квадратическая неровнота =5,78 %.

Необходимо определить:

- абсолютную и относительную гарантийные ошибки среднего значения при РD=0,95.

Необходимое число проб для определения выхода пряжи при условии =5 %;

- абсолютную и относительную гарантийные ошибки коэффициента вариации;

- необходимое число проб для определения коэффициента вариации при условии =10 %;

- абсолютную и относительную гарантийные ошибки среднего квадратического отклонения. Необходимое число проб при условии =5 %.

Пользуясь формулами (11), (12) и (14), находим

Пользуясь формулами (16), (17), (19), находим

21

2.4 Сравнение числовых характеристик по данным выборок

Иногда требуется установить достоверность разницы средних показателей, измеренных двумя разными методами для одного материала, или выявить достоверность разницы исследуемого материала, изготовленного в двух вариантах, отличающихся условиями производства. Например, в технологический процесс для улучшения качества продукции внесено некоторое изменение. Для выявления того, что это изменение технологии оказывает существенное влияние на качество продукта, надо произвести выборочные испытания соответствующего признака продукта до и после изменения технологии, а затем сравнить средние полученных результатов. При этом следует учитывать, что разница в средних показателях двух вариантов может быть случайной и вызываться ошибками при испытаниях.

В более простом случае, предположим, Вы получили после испытания двух початков пряжи прочность соответственно 16 сН/Текс и 16,8 сН/Текс. Математически пряжа второго початка более прочная, ведь 16 < 16,8. Однако, прочность пряжи и первого и второго початков есть всего лишь средние значения случайных величин, определенные с некоторой достоверностью. Так, если РПР1 = 16 ± 1,5 сН / Текс, а РПР2 = 16,8 ± 1,2 сН/Текс, то это означает, что с высокой долей вероятности пряжа в початках имеет одинаковую прочность. Чтобы избежать подобных ошибок, необходимо выполнить сравнения числовых характеристик выборок. И после такого анализа дать достоверный ответ.

Кроме этого простого случая, сравнение проводят и в случаях:

- оценки влияния изменения уровня фактора (в каком-либо процессе) на выходной параметр. Например, будет ли значимая разница в прочности пряжи при изменении коэффициента крутки на 10 единиц (130 вместо 120) или в плотности ткани по утку при увеличении заправочного натяжения основы на 10 %;

- сравнения свойств двух партий сырья или готовой продукции, полученной из этого сырья. Например, будет ли значимая разница между двумя марками хлопка одного сорта, полученного фабрикой в разное время года;

- сравнения двух систем прядения, технологических процессов или объектов. Например, будет ли значимая разница по чистоте и степени разъединенности волокон в ватке-прочесе, полученной на двух различного типа кардочесальных машинах;

- сравнения разного состава или структуры продуктов производства;

- определения воспроизводимости и стационарности процесса;

- сравнения двух методов исследования свойств продукта или работы машины.

22

Такие задачи могут быть решены только на основе анализа статистических данных и проверки статистических гипотез.

Различают два вида статистических гипотез: предположение о числовых характеристиках (параметрах) генеральной совокупности (в том случае, если известен тип распределения генеральной совокупности) и предположение о типе распределения (в том случае, если об изучаемой переменной ничего неизвестно).

На практике чаще встречается первый вид статистических гипотез, т. е. так называемая нулевая гипотеза — Н0, например «О равенстве числовых характеристик Q1 и Q2» для рассматривае­мых двух выборок вместо конкурирующей (альтернативной) гипотезы Н1 «О неравенстве этих характеристик Q1 ≠ Q2». Поскольку при проверке гипотез речь идет об оценках генеральных совокупностей на основании случайных выборок, то выводы будут носить вероятностный характер.

Из математической статистики известны две группы критериев проверки нулевой гипотезы Н0 — параметрические и непараметрические.

Первая группа критериев в качестве необходимого условия их применимости требует, в частности, независимости рядов измерений выходного параметра и распределения этих рядов по нормальному закону. При выполнении этих условий мощность параметрических критериев достаточно высока; по мере отступления от них она снижается. Другими словами, невыполнение необходимых условий влечет за собой увеличение вероятности принятия нулевой гипотезы Н0 в качестве истинной, хотя в действительности она является ложной.

Вторая группа критериев, обладая меньшей мощностью по сравнению с первой, не налагает на ряды измерений никаких необходимых условий, их вычисления проще. Это объясняет предпочтительность практического применения критериев второй группы, а в некоторых случаях делает его единственно возможным.

Последовательность проверки гипотезы следующая:

- формулировка проверяемой, т. е. нуль-гипотезы Я0, и конкурирующей (альтернативной) hi гипотез;

- выбор критерия или статистической характеристики для проверки гипотезы Я0 и определение выборочного распределения критерия, когда допускается гипотеза Я0;

- выбор уровня значимости а;

- определение критической области для проверки гипотезы Я0;

- расчет критерия по данным выборки;

- сравнение расчетного критерия с табличным, который определяется критической областью.

23

Принятие гипотезы. Если проверяемая гипотеза принимается с 5%-м или более высоким уровнем значимости, то ее, безусловно, следует признать согласующейся с экспериментальными данными.

Отбрасывание гипотезы. Если гипотеза отвергается с 1%-м или более низким уровнем значимости, то ее, безусловно, следует признать несогласующейся с экспериментальными данными.

При выборе параметрического критерия для проверки гипотезы Н0 необходимо прежде всего сопоставить оба ряда измерений между собой с целью определить соизмеримость их числовых статистических характеристик. При этом возможны два случая: ряды равноточны и ряды неравноточны .

2.4.1 Сравнение двух выборочных дисперсий

Сравнение дисперсий исследователь проводит при сопоставлении различных технологических объектов по устойчивости (воспроизводимости) их работы, при выборе метода измерения параметров процесса или свойств продукта, обладающего меньшей ошибкой. Сравнение дисперсий проводится также при определении значимости разности средних двух рядов измерений.

Пусть и являются оценкой одной и той же нормальной генеральной дисперсии. Требуется проверить гипотезу Н0 : по отношению к трем конкурирующим гипотезам: Н1 : , Н2: , Н3: . Чаще всего встречается конкурирующая гипотеза Н2.

Так как случайные величины Y1 и Y2 распределены по нор­мальному закону, то в качестве критерия сравнения двух дис­персий принимается критерий Фишера - частное оценок дисперсии генеральной сово­купности (23).

(23)

В числителе должна располагаться большая из двух дисперсий.

Доказано, что отношение дисперсий как статистическая характеристика при верной гипотезе Н0 имеет распределение Фишера с f1=m1 – 1 и f2=m2 – 1 степенями свободы.

Расчетное значение критерия Фишера, определяемое по формуле (23), сравнивается с табличным критерием Фишера — FT, определяемым при

24

известных значениях a, f(), f(). Если FR <FT [1 — а; f1 = m1 - 1; f2 = m2 - 1], то гипотеза о равенстве дисперсий не отвергается, т. е. два ряда измерений являются равнозначными, т. е. . Если FR > FT [1 – а; f1=m1-1; f2=m2-1], то гипотеза Н0 отвергается и с доверительной вероятностью pD = 0,95 можно утверждать, что т. е. два полученных ряда измерений являются неравнозначными.

Таблицы значений критерия Фишера приведены ниже (табл. 2 и 3).

2.4.2 Сравнение нескольких выборочных дисперсий

Пусть получены N рядов измерений выходного параметра: одним и тем же методом при работе одного и того же объекта, но при N разных уровнях фактора; при измерении выходного параметра одним методом для N различных объектов; при одинаковых условиях работы одного объекта N разными методами измерения выходного параметра. Для оценки воспроизводимости (устойчивости) работы одного объекта, или однородности дисперсий выходного параметра на разных объектах, или воспроизводимости методик измерения сравнивают все N дисперсий. При этом проверяется гипотеза о равенстве генеральных дисперсий , выборочными оценками которых являются дисперсии с числом степеней свободы fu=mu – 1.

Если ти = const, то для проверки однородности применяют критерий Кочрена *, расчетное значение которого (24).

(24)

Задаваясь уровнем значимости a = 0,05 или pD = 0,95, опреде­ляют (табл.) табличное значение критерия Кочрена: GT [pD = 0,95; fu = mu - 1; N]. Если GR > GT, то гипотеза о равенстве генеральных дисперсий отбрасывается, т. е. диспер­сии в N рядах измерений неоднородны. После отбрасывания Su max(Y), описанную выше процедуру следует повторить для N — 1 рядов измерений (выборок). Если GR < GT, то дисперсии однородны и процесс воспроизводим.

25

Таблица 2. Значения Fт критерия Фишера Fт [Pд = 0.95, f2, f1]

(f2 – степень свободы для большей дисперсии,

f1 – степень свободы для меньшей дисперсии)

f1\f2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

161,4

199,5

215,7

224,6

230,2

234,0

236,8

238,9

240,5

2

18,51

19,00

19,16

19,25

19,30

19,33

19,35

19,37

19,38

3

10,13

9,55

9,28

9,12

9,01

8,94

8,89

8,85

8,81

4

7,71

6,94

6,59

6,39

6,26

6,16

6,09

6,04

6,00

5

6,61

5,79

5,41

5,19

5,05

4,95

4,88

4,82

4,77

6

5,99

5,14

4,76

4,53

4,39

4,28

4,21

4,15

4,10

7

5,59

4,74

4,35

4,12

3,97

3,87

3,79

3,73

3,68

8

5,32

4,46

4,07

3,84

3,69

3,58

3,5

3,44

3,39

9

5,12

4,26

3,38

3,63

3,48

3,37

3,29

3,23

3,18

10

4,96

4,1

3,71

3,48

3,33

3,22

3,14

3,07

3,02

11

4,84

3,98

3,59

3,36

3,2

3,09

3,01

2,95

2,9

12

4,75

3,89

3,49

3,26

3,11

3

2,91

2,85

2,8

13

4,67

3,81

3,41

3,18

3,03

2,92

3,83

2,77

2,71

14

4,6

3,74

3,34

3,11

2,96

2,85

2,76

2,7

2,65

15

4,54

3,68

3,29

3,06

2,9

2,79

2,71

2,64

2,59

16

4,49

3,63

3,24

3,01

2,85

2,74

2,66

2,59

2,54

17

4,45

3,59

3,2

2,96

2,81

2,7

2,61

2,55

2,49

18

4,41

3,55

3,16

2,93

2,77

2,66

2,58

2,51

2,46

19

4,38

3,52

3,13

2,9

2,74

2,63

2,54

2,48

2,42

20

4,35

3,49

3,1

2,87

2,71

2,6

2,51

2,45

2,39

21

4,32

3,47

3,07

2,84

2,68

2,57

2,49

2,42

2,37

22

4,3

3,44

3,05

2,82

2,66

2,55

2,46

2,4

2,34

23

4,28

3,42

3,03

2,8

2,64

2,53

2,44

2,37

2,32

24

4,26

3,4

3,01

2,78

2,62

2,51

2,42

2,36

2,3

25

4,24

3,39

2,99

2,76

2,6

2,49

2,4

2,34

2,28

26

4,23

3,37

2,98

2,74

2,59

2,74

2,39

2,32

2,27

27

4,21

3,35

2,96

2,73

2,57

2,46

2,37

2,31

2,25

28

4,2

3,34

2,95

2,71

2,56

2,45

2,36

2,29

2,24

29

4,18

3,33

2,93

2,7

2,55

2,43

2,35

2,28

2,22

30

4,17

3,32

2,92

2,69

2,53

2,42

2,33

2,27

2,21

40

4,08

3,23

2,84

2,61

2,45

2,34

2,25

2,18

2,12

60

4

3,45

2,76

2,53

2,37

2,25

2,17

2,1

2,04

120

3,922

3,07

2,68

2,45

2,29

2,17

2,09

2,02

1,96

>120

3,84

3

2,6

2,37

2,21

2,1

2,01

1,94

1,88

26

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6