Численные методы (стр. 4 )

Окончательный ответ: и .

3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений

Пусть требуется найти действительные решения системы двух уравнений с заданной точностью

.

Для этого перепишем исходную систему в приведенном (итерационном) виде: . Пусть и – начальные приближения корней, полученные графическим или каким-либо дру­гим способом. Подставив эти значения в правые части приведенной системы уравнений, мож­но получить

Аналогично можно получить второе приближение

В общем случае Если функции и

непрерывны и последовательности и сходятся, то пределы их дают решение приведенной, следовательно, и исходной системы.

Сходимость метода

Теорема. Пусть в некоторой замкнутой окрестности имеется одно и толь­ко одно решение и приведенной системы.

Тогда если:

1) функции и определены и непрерывно дифференцируемы в ;

2) начальные приближения , и все последующие приближения , при­над­лежат ;

3) в выполнены неравенства или

неравенства , то процесс последовательных приближений сходится к решению , .

Оценка погрешности -го приближения определяется неравенством:

,

где – наибольшее из чисел и , входящих в эти неравенства.

Сходимость метода считается хорошей, если ; при этом . Поэтому если в двух последовательных приближениях совпадают, например, три десятичных знака после запятой, то ошибка последнего приближения не превосходит 0,001.

Пример. Методом итерации решить систему с точностью до .

Решение.

1) Приведем систему к форме:

2) Для нахождения начального приближения отделим корни. Построив два графика и и най­дя их точку пересечения, можно увидеть, что система имеет единственное решение, заключенное в об­ласти и .

3) Проверим приведенную систему на сходимость итерационного процесса:

Следовательно,

и т. е. условия сходимости выполняются.

4) Для поиска последовательных приближений используют формулы:

Выберем следующие начальные значения: .

	0,15	0,1616	0,1508	0,1539	0,1510	0,1519	0,1510
	-2	-2,035	-2,0245	-0,0342	-2,0313	-2,0341	-2,0333

Поскольку , то и .

3.4. Метод скорейшего спуска решения нелинейных систем

Сущность метода скорейшего спуска заключается в том, что искомое решение системы рассматривается как минимум некоторой функции в -мерном пространстве , и этот минимум ищется в направлении, противоположном направлению градиента функции , то есть в направлении скорейшего убывания этой функции. Фунция связана с функциями исходной системы соотношениями:

.

Пусть точка является начальным приближением к искомому решению. Через эту точку проводится поверхность уровня , а также нормаль к данной поверхности, которая указывает направление скорейшего убывания функции . Точка, в которой нормаль касается новой поверхности уровня , будет следующим приближением к исходному решению. Нормаль, проведенная к этой поверхности через точку , даёт возможность дойти до точки , в которой нормаль касается какой-то другой поверхности , и т. д.

Так как , где то последовательность точек , , … приведет к минимальному значению функции , т. е. к искомому решению исходной системы.

Последовательные приближения определяются из матричного равенства , где через обозначен вектор в -мерном пространстве, указывающий координаты точки , т. е. значение -го приближения; – параметр, характеризующий изменение функции вдоль соответствующей нормали, – градиент функции в точке .

В общем случае параметр может быть найден из уравнения:

, (1)

где – скалярная функция, определяющая изменение функции . При этом берется наименьший положительный корень уравнения (1).

Если считают малой величиной и не учитывают членов, содержащих во второй и высших степенях, то приближенно искомое решение можно найти из матричных равенств , , , где

,

,

.

Важным достоинством метода скорейшего спуска является его неизбежная сходимость. Поэтому его рекомендуется применять для уточнения решения в тех случаях, когда другие итерационные методы расходятся.

Пример. Методом скорейшего спуска приближенно вычислить корни системы:

Решение. Пусть .

Здесь и .

Подставляя нулевое приближение, будем иметь

, , , ,,

.

Вычислим .

Аналогично найдем второе приближение

.

Тогда .

Для контроля вычислим невязку: и так далее.

Получаем решение системы:

3.5. Метод скорейшего спуска для случая линейной системы

Рассмотрим систему линейных уравнений:

с действительной матрицей и столбцом свободных членов . Тогда и . И исходная система имеет вид: , где – невязка вектора и .

Соответственно, окончательно имеем:

.

Пример. Методом скорейшего случая решить систему уравнений:

Решение. В качестве начального приближения выберем .

Тогда ,

,

.

Вычисляя коэффициент , получим: .

Отсюда , причем невязка . Аналогично вычисляя, получим: ;

;

;

.

Процесс скорейшего случая для линейных систем сходится медленно. Так, здесь точное решение: ; ; ;.

4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

4. 1. Метод наименьших квадратов

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами , где – общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности.

Рис. 12

При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, многочлен), которая позволила бы «сгладить» экспериментальные погрешности, вычислить значения функции в точках, не содержащихся в исходной таблице.

Эта функциональная зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. В качестве критерия точности чаще всего используют критерий наименьших квадратов, т. е. определяют такую функциональную зависимость , при которой обращается в минимум. Погрешность приближения оценивается величиной . В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен . Формула минимизируемой функции примет вид . Условия минимума можно записать, приравнивая нулю частные производные по всем переменным, .

Получим систему уравнений

или

, .

Эту систему уравнений перепишем в следующем виде:

, .

Введем обозначения: . Последняя система может быть записана так: , .

Её можно переписать в развернутом виде:

.

Матричная запись системы имеет следующий вид: . Для определения коэффициентов , и, следовательно, искомого многочлена, необходимо вычислить суммы и решить последнюю систему уравнений. Матрица этой системы является симметричной и положительно определенной.

Погрешность приближения в соответствии с исходной формулой составит

. Рассмотрим частные случаи и .

Линейная аппроксимация .

.

;

, .

Отсюда система для нахождения коэффициентов имеет вид:

.

Её можно решить методом Крамера.

Квадратичная аппроксимация.

.

.

.

, .

Или в развёрнутом виде

Решение системы уравнений находится по правилу Крамера.

Пример. Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения в точках , приведены в следующей таблице.

	1	2	3	4	5
	1	2	3	4	5
	-1	1	2	4	6

Вычислим коэффициенты по формулам для линейной и квадратичной аппроксимация ; .

Для линейной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов и многочлена первой степени имеет вид:

.

Решая эту систему, получим:

.

.

Для квадратичной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов и многочлена второй степени имеет вид:

.

И коэффициенты равны:

. Тогда

.

Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с исходными данными. Результаты приведены в табл. 3.

Таблица 3

	0	1	2	3	4
	1	2	3	4	5
	-1	1	2	4	6
	-1	0,7	2,4	4,1	5,8
	-1	0,62	2,24	4	6,9

Погрешность приближения в соответствии с исходными формулами составит: