Численные методы (стр. 6 )

.

При вычислении положим

.

Оценим погрешности формул Ньютона вперед и назад:

где и

где .

Формулы приближенного дифференцирования основаны на первой интерполяционной формуле Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид

,

где

Производя перемножение биномов, получим

так как , то

.

Аналогично можно вычислять производные функции любого порядка.

В некоторых случаях требуется находить производные функций в основных табличных точках . Так как табличное значение можно считать за начальное, то положив , имеем

,

Для производной многочлена Ньютона первого порядка погрешность может быть вычислена по формуле ,

где – число конечных разностей в многочлене Ньютона.

Пример. Найти функции , заданной таблично.

Решение.

х	у
50	1,6990
		0,0414
55	1,7404		-0,0036
		0,0378		0,0005
60	1,7782		-0,0031
		0,0347
65	1,8129

Здесь ; .

Вычисляя погрешность, получим:

.

Действительно, .

Таким образом, результаты совпадают до четвертого знака.

5. Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского

Сущность метода Данилевского заключается в том, что исходная матрица А:

после преобразования подобия приводится к матрице Фробениуса Р:

,

то есть , где – неособенная матрица. Так как подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими полиномами, то имеем:

.

Вначале нужно строку привести в строку . Предполагая, что , разделим все элементы – го столбца матрицы А на . Тогда её -ая строка примет вид

.

Затем вычтем - й столбец преобразованной матрицы, умноженный соответственно на числа , из всех остальных ее столбцов.

В результате получим матрицу, последняя строка которой имеет желаемый вид 0 0 … 1 0.

Произведя те же операции над единичной матрицей, получим матрицу

,

где при . (1)

. (1')

Эти операции равносильны умножению справа матрицы на матрицу А.

, (2)

где при ,

при . (2')

Для подобия матриц нужно умножить полученную матрицу на слева: .

Очевидно, обратная матрица имеет вид

.

Обозначим , то есть

,

где (3)

при , (3')

то есть полученная матрица С подобна матрице А.

Продолжая этот процесс, получим матрицу Фробениуса.

,

если все промежуточных преобразований возможны.

Пример. Привести к виду Фробениуса матрицу:

.

Решение. Вычисления будем располагать в таблице 4. В строках 1–4 помещаем элементы данной матрицы и контрольные суммы в . Элемент . В строке I записываем элементы третьей строки матрицы , вычисляемые по формулам (1), (1'):

, ,

, .

Сюда же помещаем элемент . Число -3,375 должно совпасть с элементами строки I, не входящими в контрольный столбец (после замены элемента на -1).

В строках 5–8 в графе выписываем третью строку матрицы , которая совпадает с четвертой строкой исходной матрицы А. В строках 5–8 в соответствующих столбцах выписываем элементы матрицы , вычисляемые по формулам (2), (2'):

Преобразованные элементы третьего столбца получаются с помощью умножения исходных элементов на . Например,

Таблица 4

Номер строки		Столбцы матрицы	Σ	Σ/
1	2	3	4
1		1	3	2	4	10
2		5	9	4	1	19
3		7	3	2	6	18
4		8	7	8	4	27
I		-1	-0,875	0,125 -1	-0,5	-3,375
5	8	-1	1,25	0,25	3	3,5	3,25
6	7	1	5,5	0,5	-1	6,0	5,5 11,25
7	8	5	1,25	0,25	5	11,5
8	4	0	0	1	0	1	0
7/		39	58,5	11,5	57	166
II		-0,67	0,017 -1	-0,127	-0,97	-2,83
9	39	-1,8333	0,021	0,004	1,782	-0,026	-0,047
10	58,5	-2,666	0,094	-0,5811	-6,3589	-9,512	-9,606
11	11,5	0	1	0	0	1	0
12	57	0	0	1	0	1	1
10/		-227,4597	17,818	23,16165	-302,4	-488,966
III		0,0044 1	0,0783	0,1	-1,3298	-2,14
13	-227,45	0,008	-0,1226	-0,1827	4,22	3,9228	3,91148
17,818	1	0	0	0	1	0
23,16165	0	1	0	0	1	1
-302,497	0	0	1	0	1	1
		16	51	-261	-960

Соответственно, последняя строка матрицы В имеет видДля контроля пополним матрицу В преобразованными по аналогии элементами: