.
Заменяя значение 
, получим общее решение исходного уравнения:
.
Учитывая начальное условие 
, находим частное решение данного уравнения:
.
Если же 
, то из подстановки 
получим 
, (
) особое решение.
Ответ: , .
4.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
| (4.8) |
,в которое неизвестная функция и ее производная входят линейно (т. е. в первой степени).
Если 
, то уравнение (4.8) называется линейным неоднородным, если же 
- линейным однородным.
Пусть 
, . Решение уравнения (4.8) будем искать в виде произведения функций 
, 
, то есть
.
Так как одна функция выражается через две, то одной из двух функций мы можем управлять произвольно, как это удобно для решения, вторая функция будет зависеть от выбора первой.
Подставим , 
в ДУ (4.8).
Тогда
Или
| (4.9) |
.Выберем функцию 
так, чтобы в уравнении (4.9) обратился в нуль коэффициент при функции 
, то есть чтобы
| (4.10) |
.ДУ (4.10) - с разделяющимися переменными. Решая его, получим (при 
)
| (4.11) |
Мы берём какое-либо частное решение ДУ (4.10), а не общее, так как нам достаточно подобрать одну функцию 
. Подставляя найденное значение из (4.11) в (4.9), получаем ДУ с разделяющимися переменными для определения функции 
:
.
Откуда находим общее решение :
| (4.12) |
Окончательно общее решение линейного уравнения (4.8):
| (4.13) |
Пример 1. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Для решения можно было бы воспользоваться готовой формулой (4.13), но она сложна для запоминания, поэтому при решении кратко повторим все выкладки общего случая.
Полагаем , тогда . Подставляем значения 
и 
в данное уравнение, получим
или
| (*) |
.Выберем функцию так, чтобы коэффициент при обратился в нуль:
- это ДУ с разделяющимися переменными.
Разделяя переменные 
, интегрируем и берем какое-либо одно частное решение для , например, полагая 
.
Получим
.
Подставляя найденную функцию в уравнение (*), получим для определения следующее уравнение с разделяющимися переменными:
.
Окончательно
.
Ответ: 
.
4.5. Дифференциальные уравнения Бернулли
Могут встречаться такие уравнения, которые не являются линейными, но, однако, могут быть приведены к линейным с помощью некоторых преобразований. Одним из таких уравнений является уравнение Бернулли, которое имеет вид
| (4.14) |
,где 
- любое постоянное число, не равное 0 и 1 (если 
или 
, то уравнение (4.14) является линейным уравнением), и легко приводится к линейному. Разделим (при 
) все члены уравнения (4.14) на 
, получим
| (4.15) |
.Введём новую функцию
| (4.16) |
, (
).Продифференцировав (4.16) по 
(как сложную функцию), получим
,
то есть
.
Подставим 
и 
в уравнение (4.15):
| (4.17) |
.ДУ (4.17) является линейным относительно 
. Его решение можно найти методом, изложенным в п.4.4. Зная , легко найти : 
.
Заметим, что уравнение Бернулли можно, не преобразовывая предварительно к линейному уравнению, решить тем же способом, что и линейное уравнение, полагая сразу . Продемонстрируем это на примере.
Пример. Решить уравнение
.
Решение. Положим , тогда . Подставляем значения и в данное уравнение, получим
| (*) |
.Подберем так, чтобы коэффициент при в уравнении (*) обратился в нуль:
- это ДУ с разделяющимися переменными.
Разделяя переменные, имеем 
, откуда, интегрируя, получим
(берем одно частное решение , поэтому ), следовательно, 
.
Подставляя значение в уравнение (*), получим для определения следующее уравнение с разделяющимися переменными:
или
.
Интегрируя, имеем
,
откуда
.
Окончательно имеем решение исходного ДУ в виде
.
Ответ: 
.
4.6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида
| (4.18) |
,левая часть которого представляет собой полный дифференциал некоторой функции 
, Т. е.
| (4.19) |
.Его общий интеграл имеет вид
| (4.20) |
.Известно, что полный дифференциал функции выражается формулой
| (4.21) |
.Из равенств (4.19) и (4.21) следует, что
| (4.22) |
.Необходимым и достаточным условием того, что левая часть уравнения (4.18) является полным дифференциалом некоторой функции, является выполнение равенства
| (4.23) |
Функция , входящая в формулу (4.20), находится из уравнений (4.22).
Пример. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Для данного уравнения
,
.
Так как 
, то наше уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Следовательно, 
.
Интегрируя первое уравнение по ( при этом считается постоянным), находим
,
где 
- функция, подлежащая определению.
Дифференцируя по найденную функцию 
и принимая во внимание равенство
,
Получим 
.
Тогда общее решение данного уравнения будет иметь вид
.
Ответ: .
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Если в дифференциальном уравнении (2.1) порядок 
, то ДУ называется дифференциальным уравнением высшего порядка. Часто решение ДУ высших порядков с помощью специальных подстановок можно свести к решению ДУ более низкого порядка. В этом случае говорят, что уравнение допускает понижение порядка. Рассмотрим три типа таких уравнений.
5.1. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной
Рассмотрим уравнение
| (5.1) |
.Общее решение ДУ (5.1) получается выполнением 
последовательных интегрирований, а именно:
,
где 
- произвольные постоянные.
Пример. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
.
Интегрируя это уравнение последовательно три раза, получим его общее решение:
,
,
.
Ответ: 
.
5.2. Дифференциальные уравнения, не содержащие явно искомой функции
Рассмотрим уравнения вида
| (5.2) |
или 
.Порядок этих уравнений можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую производную данных уравнений (5.2), т. е. 
, 
.
Тогда 
и ДУ (5.2) примут вид дифференциального уравнения первого порядка:
| (5.3) |
или 
.Пример. Решить задачу Коши для уравнения
, если 
, 
.
Решение. Обозначим 
, тогда 
; подставим значения 
, 
в данное уравнение, получим
это ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим :
.
Возвращаемся к функции :
,
интегрируя, получим 
- общее решение.
Используя начальные условия, находим 
, 
:
Подставляя значения и в общее решение, получим частное решение.
Ответ: 
.
5.3. Дифференциальные уравнения, не содержащие явно независимой переменной х
К этому типу ДУ относятся уравнения вида
| (5.4) |
или 
.Порядок этих уравнений можно понизить, если положить 
(за новый аргумент принять ).
По правилу дифференцирования сложной функции имеем
.
Подставим значения первой и второй производных
; 
в ДУ (5.4),
получим
или 
.
Эти уравнения уже имеют порядок на единицу ниже, чем исходные уравнения.
Пример. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Положим, ; .
Подставим значения 
и в данное уравнение:
.
Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим 
:
или
.
Возвращаясь к функции 
, получим
,
интегрируем:
.
Ответ: 
.
5.4. Составление дифференциальных уравнений
Решение задачи прикладного характера обычно состоит из трех частей:
1) составления дифференциального уравнения;
2) решения этого уравнения;
3) исследования решения.
При решении геометрических задач полезно пользоваться следующей последовательностью действий:
1) сделать чертеж и ввести обозначения. Например, 
- уравнение искомой линии и т. п.;
2) отделить условия, имеющие место в произвольной точке искомого геометрического места, от условий, имеющих место лишь в отдельных фиксированных точках. Другими словами, выделить начальные условия. Их в начале, при составлении дифференциального уравнения, не учитывать;
3) выразить все упомянутые в задаче величины через , и , учитывая при этом геометрический смысл производной;
4) на основании условия задачи составить дифференциальное уравнение семейства искомых кривых;
5) найти общее решение полученного дифференциального уравнения, а затем по начальным условиям найти конкретную интегральную кривую (см. пример 1.2 п. 1).
При решении задач с физическим содержанием, так же как и в случае решения геометрических задач, можно рекомендовать следующую последовательность действий:
1) установить, какому закону подчиняется рассматриваемый процесс;
2) решить, что выбрать за независимую переменную, например, время 
, и что - за искомую функцию, например, 
;
3) исходя из условий задачи, определить начальные условия, например, 
;
4) выразить все фигурирующие в задаче величины через , 
, 
, используя при этом физический смысл производной как скорость изменения переменной в изучаемом процессе;
5) исходя из условия задачи и на основании физического закона, которому подчиняется данный процесс, составить дифференциальное уравнение;
6) найти общий интеграл дифференциального уравнения;
7) по начальным условиям найти частное решение.
Пример. На вращающийся в жидкости диск действует замедляющая его движение сила трения, пропорциональная угловой скорости вращения. Найти зависимость угловой скорости от времени, если вначале диск вращался со скоростью 100 оборотов в минуту, а по истечении одной минуты - 60 оборотов в минуту.
Решение. Пусть 
- угловая скорость движения диска. Тогда, согласно закона изменения момента количества движения, имеем
| (*) |
,,
где 
- момент инерции диска; 
- момент сил, действующих на диск.
По условию 
(
), поэтому уравнение (*) принимает вид
, 
.
Его решение 
Пусть 
измеряется в оборотах за минуту, а время - в минутах.
Тогда 
, т. е. 
, откуда 
. Таким образом, требуемая зависимость имеет вид 
об/мин.
6. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами - наиболее изученный тип дифференциальных уравнений высших порядков. Многие задачи техники и естествознания приводят к линейным однородным дифференциальным уравнениям.
6.1. Основные теоремы о структуре общего решения уравнения.
Определитель Вронского
Линейное однородное уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
| (6.1) |
,где все коэффициенты 
- числа (в частности, некоторые могут быть нулями).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
