Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 3 )

Рассмотрим основные свойства линейных однородных дифференциальных уравнений (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами на примере уравнения второго порядка

,

(6.2)

Теорема 1. Если и - два решения уравнения (6.2), то функция также является решением этого уравнения.

Доказательство. По определению решения ЛОДУ имеем

;

.

Выполнив операцию сложения этих тождеств, получим

,

Откуда и следует, что является решением ЛОДУ (6.2).

Теорема 2. Если , - решение уравнения (6.2), то функция , где - произвольная постоянная, также является решением этого уравнения.

Доказательство. По определению решения ЛОДУ имеем

,

умножая обе части тождества на , получим

,

откуда и следует, что является решением ЛОДУ (6.1.2).

Следствие 1: Если м - два решения ЛОДУ (6.2), то функция

,

(6.3)

где , - произвольные постоянные, также является решением этого уравнения.

Выясним, при каких и формула (6.3) определяет общее решение ЛОДУ (6.2).

Рассмотрим определитель

,

(6.4)

который называется определителем Вронского этих функций или вронскианом (И. Вронский () - польский математик, который впервые ввел определитель в рассмотрение).

Теорема 3. Если и являются решениями уравнения (6.2), то для определителя Вронского этих решений справедлива формула

.

(6.5)

Доказательство. Найдем от производную по :

Так как и являются решениями уравнения (6.1.2), то

;

.

Умножим первое уравнение на (), а второе на и, сложив их, получим

или

.

Теорема 4. Пусть - определитель Вронского решений и ЛОДУ (6.2). Если при некотором , то обращается в нуль при любом : .

Доказательство: Пусть , а так как функция удовлетворяет уравнению (6.5) и условию , то из теоремы существования и единственности следует, что других решений уравнения (6.5) не существует, что и нужно было доказать.

Следствие 2. Если при некотором , то отлично от нуля при любом .

Доказательство: Предположим противное: при некотором . Тогда согласно теоремы 4, , что противоречит условию .

Терема 5. (Формула Лиувилля). Пусть - определитель Вронского решений и ЛОДУ (6.1.2), тогда

.

(6.6)

Доказательство. Если , то по теореме 4 и формула (6.6) верна. Если же , то, в силу следствия 2, ни при каком . Тогда, разделив (6.5) на , получим

.

Интегрируем обе части в пределах от до :

Потенцируя, получим

.

Определение. Систему и решений ЛОДУ (6.2) назовем фундаментальной системой, если ни при одном значении .

Как показывает следствие 2, для этого достаточно про верить, что при каком-нибудь одном значении .

Теорема 6 (об общем виде решения ЛОДУ). Если и образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ (6.2), то общее решение этого уравнения будет иметь вид

,

(6.7)

где , - произвольные постоянные.

Результаты исследований для ЛОДУ второго порядка могут быть перенесены и на линейные однородные уравнения -го порядка (6.1).

Система решений уравнения (6.1) называется фундаментальной, если ее определитель Вронского:

.

Если образуют фундаментальную систему решений уравнения (6.1), то

,

где - произвольные постоянные, есть общее решение уравнения (6.1).

Пример. Найти общее решение уравнения

,

если известно, что функции , , являются его решениями.

Решение: Это ЛОДУ третьего порядка. Покажем, что , , образуют фундаментальную систему функций:

.

Тогда общее решение будет

.

Ответ: .

6.2. Нахождение фундаментальной системы решений и общего решения ЛОДУ

Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) -ого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

,

(6.8)

где все коэффициенты - числа (в частности, некоторые могут быть и нулями).

Рассмотрим уравнение второго порядка

.

(6.9)

Заметим, что в силу свойств однородных линейных уравнений нам достаточно найти два частных решений, составляющих фундаментальную систему решений уравнения (6.9), чтобы затем найти общее.

Будем искать частное решение уравнения (6.9) в виде

,

(6.10)

где - число, которое подберем так, чтобы функция (6.10) удовлетворяла уравнению (6.9).

Дифференцируя дважды , найдем , ; подставляя в (6.9), получим

,

сокращая на , имеем

.

(6.11)

Это алгебраическое квадратное уравнение относительно , оно будет называться характеристическим уравнением уравнения (6.9).

Итак, чтобы функция была частным решением уравнения (6.9), нужно, чтобы удовлетворяло уравнению (6.11).

Пусть и - корни характеристического уравнения(6.11), т. е.

.

Возможны случаи:

1. Корни и уравнения (6.2.4) действительные и различные, т. е. (в этом случае дискриминант ).

Тогда формула (6.10) даст два частных решения:

.

Эти частные решения образуют фундаментальную систему решений уравнения (6.9), так как

(т. к. ).

Следовательно, общее решение уравнения (6.9) будет иметь вид

.

(6.12)

Пример. Решить уравнение .

Решение. ЭТО ЛОДУ второго порядка. Составим характеристическое уравнение

.

Находим его корни: , .

Частные решения имеют вид , . .

Тогда будет общим решением.

Ответ: .

2. Корни характеристического уравнении (6.11) действительные и равные, т. е. .

В этом случае и .

В данном случае формула (6.10) дает нам одно частное решение . Остается найти другое частное решение , образующее вместе с решением фундаментальную систему решений уравнения (6.9).

Покажем, что таким решением будет функция вида .

Найдем ,

.

Подставим , , в уравнение (6.9) и воспользуемся формулой (6.12):

,

,

.

Так как , то и образуют фундаментальную систему решений. Таким образом, при функция

.

(6.13)

есть общее решение уравнения (6.9).

Пример. Решить уравнение .

Решение. Это ЛОДУ второго порядка. Составим характеристическое уравнение.

.

Находим его корни: .

Частные решения имеют вид , .

Тогда будет общим решением данного уравнения.

Ответ: .

3. Корни характеристического уравнении (6.11) комплексно-сопряженные, т. е. , , (в этом случае ).

Можно показать (подставляя в уравнение (6.9» , что

и

являются частными решениями уравнения (6.11).

Так как (), то и образуют фундаментальную систему решений, следовательно,

(6.14)

есть общее решение уравнения (6.9).

Пример. Решить уравнение .

Решение. Это ЛОДУ второго порядка. Составим характеристическое уравнение

Его корни: , .

В данном примере , .

Пользуясь формулой (6.14), получим общее решение:

.

Ответ: .

4. Рассмотрим уравнение (6.8):

.

Составим для него характеристическое уравнение

.

(6.15)

Пусть уравнение (6.2.8) имеет различных корней . Если, кроме того, все корней - действительные, то

.

(6.16)

есть общее решение уравнения (6.8).

Если же среди корней есть комплексный корень , , то уравнение (6.15) имеет также сопряженный комплексный корень . Этой паре комплексных корней соответствуют два частных решения:

и .

в этом случае (в предположении, что корни действительные и различные) общее решение уравнения (6.8) имеет вид

.

Пусть теперь корни - действительные, но , а числа различны между собой и не совпадают с . В этом случае, говорят, что - корень кратности 3.

Общее решение имеет вид

.

Рассмотрим ещё случай, когда есть кратные комплексно-сопряженные корни , , , а остальные корни действительные и различные. Общее решение в этом случае имеет вид

.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Это ЛОДУ четвертого порядка. Составим характеристическое уравнение

.

Находим корни этого уравнения: , , , .

Частные решения будут иметь вид

, , , .

Тогда будет общим решением уравнения.

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Это ЛОДУ третьего порядка. Составим характеристическое уравнение

.

Его корни: , .

Следовательно, частные решения будут иметь вид:

, ,

Тогда будет общим решением уравнения.

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Это ЛОДУ четвертого порядка.

Составим характеристическое уравнение или

.

Найдем его корни: , . То есть в нашем примере , , а кратность корня равна двум.

Тогда общее решение

.

Ответ: .

7. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) ­-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,

(7.1)

где - действительные числа; - данная функция.

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка

(7.2)

и соответствующее ему однородное уравнение (ЛОДУ)

.

(7.3)

Пусть и - фундаментальная система решений уравнения (7.3), тогда

(7.4)

есть общее решение уравнения (7.3).

Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ). Общее решение неоднородного уравнения (7.2) равно сумме общего решения соответствующего однородного (7.3) и частного решения неоднородного уравнения (7.2):

.

Доказательство. Так как - общее решение уравнения (7.3), то по определению решения эта функция обращает уравнение (7.3) в верное равенство. Так как - частное решение уравнения (7.2), то функция также обращает это уравнение в тождество. Имеем два тождества: