Теория вероятностей (стр. 4 )

Случайная величина называется дискретной, если мы можем перечислить все ее возможные значения и указать вероятность каждого значения.

Возможных значений может быть бесконечно много. Обычная дискретная величина задается рядом распределения в виде следующей таблицы:

X				. . .
P				. . .

Здесь, – все возможные различные значения случайной величины, а – вероятности, с которой случайная величина принимает соответствующие значения,

Пример 1. Имеется 10 деталей, 6 из них стандартные. Опыт состоит в том, что мы случайным образом выбираем две детали. Составить ряд распределения числа выбранных стандартных деталей.

Решение: Очевидно, что при выборе двух деталей, число стандартных деталей может оказаться равным 0, 1, 2, то есть мы имеем дело с дискретной случайной величиной. Найдем вероятность, с которой принимается каждое значение, и составим ряд распределения. Считаем, что выбор каждой детали равновозможен, и применим для нахождения вероятностей классическое определение.

Число всех возможных исходов для выбора двух исправных деталей равно . Число благоприятных вариантов для выбора только нестандартных деталей равно Число благоприятных вариантов для выбора одной исправной детали равно . число благоприятных вариантов для выбора только стандартных деталей равно . Таким образом,

Составим ряд распределения

Х	0	1	2
Р

Для проверки убедимся, что сумма вероятностей равна 1.

Не всегда можно задать случайную величину указав вероятность каждого отдельного значения. В ряде случаев вероятность каждого отдельного значения равна 0. Любую случайную величину можно задать, указав ее функцию распределения.

Определение. Функция F(x)=P(X<x) называется интегральной функцией распределения случайной величины X или просто функцией распределения.

Функция распределения обладает следующими свойствами.

1.  Монотонностью, то есть, если то

2.  Для любых справедливо

3. 

С помощью функции распределения можно подсчитать вероятность попадания случайной величины Х в интервал [a, b].

Назовем случайную величину непрерывной, если непрерывна ее функция распределения F(x). Заметим, что в этом случае вероятность каждого значения случайной величины равна нулю. Будем считать, что существует функция такая, что

при всех .

В этом случае функцию назовем плотностью распределения случайной величины Х или дифференциальной функцией распределения. Справедливо равенство Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (а, b) можно посчитать по формуле

.

Пример 2. Найти функцию распределения случайной величины Х, заданной рядом распределения. Построить график.

Х	-1	0	2
Р	0,1	0,4	0,5

Решение. Чтобы найти вероятность события Х< x, разобьем числовую ось на интервалы точками – 1, 0 и 2. Если , то событие невозможно и в этом случае . Если то событие имеет место тогда и только тогда, когда , то есть

 

х

Если , то событие может произойти только в том случае, если Х = - 1 или Х = 0, то есть

И, наконец если , то событие достоверно и На координатной плоскости построим график.

F(x)

1

0,5

0,1

x

Рис. 4.

Пример 3. Найти функцию плотности непрерывной случайной величины, заданной функцией распределения

Построить графики функции распределения и плотности распределения. Найти вероятность попадания в интервал .

Решение. Найдем дифференциальную функцию распределения (функцию плотности):

Построим график функции распределения (рис. 5) и график плотности распределения (рис. 6)

F(x)

1

 

0 1 x

Рис. 5

Р(х)

 

2

 

1

0 1 х

Рис. 6

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал

Задачи

1.  Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	2	4	5	6
Р	0,3	0,1	Р3	0,4

Построить многоугольник распределения и функцию распределения F(x).

2.  Дан ряд распределения случайной величины

Х	-2	-1	0	1	2
Р	Р1	0,2	0,2	0,4	0,1

Требуется: а) построить многоугольник распределения;

б) построить F(x);

в) найти

3.  В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули 1 шар. Случайная величина Х – число вынутых белых шаров. Построить ряд распределения и функцию распределения F(x).

4.  Устройство состоит из 3-х работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

5.  Бросают 3 монеты. Требуются: построить ряд распределения и функцию распределения F(x) случайной величины Е, равную числу выпавших «решек».

6.  Построить ряд распределения и функцию распределения F(x) числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попадания равна 0,4.

7.  В партии из 25 изделий, среди которых имеются 6 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа бракованных изделий в выборке.

8.  Случайная величина Е задана функцией распределения

Найти: а) f(x); б) ; в) .

9. Дано:

Построитьи начертить ее график.

10. Дано:

а) Построить ; б) Найти: .

11. Дано:

Найти и построить ее график .

12. Дано:

Найти: построить графики и .

13. Дано:

Найти: построить графики и

14. Дано:

Найти: построить графики и

15. Дано:

Найти: построить графики и

16. Дано:

Найти: построить графики и

17. Дано:

Найти: построить графики и

18. Дано:

Найти: построить графики и

19. Дано:

Найти:

20. Дано:

Найти:

21. Дано:

Найти:

22. Дано:

Найти:

23. Дано:

Найти:

24. Дано:

Найти:

25. Дано: Найти:

26. Дано: . Найти:

Ответы:

1. 2. в) 0,8. 3.

4.

Х	0	1	2	3
Р	0,729	0,243	0,027	0,001

5. а)

Х	0	1	2	3
Р

б)