Теория вероятностей (стр. 5 )

6.

Х	0	1	2	3
Р	0,729	0,243	0,027	0,001

7.

Х	0	1	2
Р	0,36	0,48	0,16

8. а) б) 0,25; в) 0,75.

9. 10.

11. 12. 20. 1; 26. с = 1; 27. .

ГЛАВА 5

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности. Обозначается математическое ожидание через М(Х). . Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины, заданной рядом распределения:

Х	-2	1	3
Р	0,3	0,5	0,2

М(Х) = -2 0,3 + 1 0,5 + 3 0,2 = 0,5

Свойства математического ожидания:

1)  М(С) = С, где С – константа;

2)  М(С Х) = С  М(Х);

3)  М(Х ± У) = М(Х) ± М(У);

4)  М (Х У) = М(Х)   М(У), если Х и У независимые случайные величины.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания и обозначается D(X).

Дисперсия характеризует разброс случайной величины, её отклонение от среднего значения. Для практических целей более удобно пользоваться следующей формулой:

Пример 2. Найти дисперсию случайной величины, заданной в примере 1.

Решение.

1 способ. Пользуясь определением, найдём D(X).

D(X) = (- 2 – 0,5)2   0,3 + (1 – 0,5)2   0,5 + (3 – 0,5)2   0,2 = 6,25   0,3 + 0,25    0,5 + 6,25   0,2 = 3,25.

2 способ. Составим ряд распределения для случайной величины Х2.

Х2	4	1	9
Р	0,3	0,5	0,2

М(Х2) = 4 0,3 + 1 0,5 + 9 0,2 = 3,5.

М2(Х) = 0,25.

D(X) = 3.5 – 0.25 =3.25.

Свойства дисперсии:

1)  D(C) = 0, где С – константа;

2)  D(C X) = C2 D(X);

3)  D (X ± У) = D(X) + D (У), если Х и У независимые случайные величины.

Среднее квадратическое отклонение (стандарт) случайной величины – это

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам:

Обычно дисперсию вычисляют по формуле:

здесь

Пример 3. Пусть

Найти математическое ожидание, дисперсию.

Так как то найдём математическое ожидание.

Задачи

1.  Производится беспроигрышная лотерея на 200 выигрышей, из которых 1 выигрыш на 100 рублей, 5 на 20 рублей, 10 на 5 рублей, 184 на 2 рубля. Определить справедливую цену билета (сумма выигрышей равна сумме проигрышей).

Ответ: М(Х) = 3,09 рубля

2.  Строительная площадка имеет форму квадрата. Данные теодолитной съёмки измерений занесены в таблицу:

Х	335	340	345	350	355	360	365
Р	0,05	0,08	0,16	0,42	0,16	0,08	0,05

Х – сторона квадрата. Найти М(Х).

Ответ: М(Х) = 350

3.  Случайная величина задана законом распределения:

Х	1	2	3	4
Р	0,1	0,1	0,3	0,5

Найти М(Х), D(Х), σ(Х).

Ответ: М(Х) = 3,2; D(Х) = 0,96; σ(Х) = 0,979

4.  Найти математической ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения F(Х):

а)

х	-3	-2	1	5
Р	0,1	0,2	Р3	0,3

Ответ: Р3 = 0,4; М(Х) = 1,2; D(Х) = 8,16; σ(Х) = 2,86.

б)

Х	-4	6	10
Р	0,2	0,3	0,5

Ответ: М(Х) = 6; D(Х) = 25,12; σ(Х) = 5,09.

в)

Х	1	3	4	6
Р	Р1	0,3	0,2	0,1

Ответ: Р1 = 0,4; М(Х) = 2,7; D(Х) = 2,61; σ(Х) » 1,6.

г)

Х	0	1	2	3
Р	0,064	0,096	0,240	0,600

Ответ: М(Х) = 2,376; D(Х) » 0,892; σ(Х) » 0,94.

д)

Х	1	3	5
Р	0,3	0,4	0,3

Ответ: М(Х) = 3; D(Х) = 2,4; σ(Х) = 1,55.

е)

Х	-2	4	7
Р	0,5	Р2	0,3

Ответ: М(Х) = 1,9; D(Х) = 16,29; σ(Х) » 4,04.

ж)

Х	-2,1	1,2
Р	0,7	0,3

Ответ: М(Х) = -1,11; D(Х) = 2,2869; σ(Х) » 1,51.

з)

Х	1	2	5
Р	0,3	0,5	0,2

Ответ: М(Х) = 2,3; D(Х) = 2,01; σ(Х) » 1,41.

и)

Х	-2	0	1	3
Р	0,1	Р2	0,3	0,2

Ответ: М(Х) = 0,7; D(Х) = 2,01; σ(Х) » 1,41.

к)

Х	-1,2	2,1
Р	0,7	0,3

Ответ: М(Х) = 0,21; D(Х) = 2,287; σ(Х) » 1,13.

5.  Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения Х1 = 4 с Р1 = 0,5, Х2 = 7 с вероятностью Р2 = 0,3 и Х3 с вероятностью Р3. М(Х) = 8,3. Найти: Х3 и Р3.

Ответ: Х3 = 21; Р3 = 0,2.

6.  Дано Х – дискретная случайная величина:

Х	2	5
Р	Р1	Р2

М(Х) = 4,1

Найти: Р1 и Р2

Ответ: Р1 = 0,3; Р2 = 0,7.

7.  Дано:

Найти: М(Х), D(Х), σ(Х)

Ответ:

8.  Дано:

Найти: М(Х), D(Х), σ(Х)

Ответ:

9.  Дано:

Найти: М(Х), D(Х), σ(Х)

Ответ:

10.  Дано:

Найти: М(Х), D(Х), σ(Х)

Ответ:

11.  Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на отлично, наугад извлекли 3 работы. Найдите закон распределения числа отличных работ в выборке, математическое ожидание и дисперсию.

12.  В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наугад взято 2 детали. Найдите закон распределения числа стандартных деталей в выборке, математическое ожидание и дисперсию.

13.  Рабочий обслуживает 4 независимо работающих станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,7; для второго 0,75; для третьего 0,8; для четвёртого 0,9. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа станков, которые не потребуют внимания рабочего.

14.  Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х равны соответственно 2 и 9. Найти математическое ожидание и дисперсию величины: а) Х + 3, б) 2Х – 5, в) –3Х + 9. Чему равно математическое ожидание величины Х2 – Х?