УДК 530.145.1

ДИНАМИКА МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ КВАНТОВОЙ ЗАПУТАННОСТИ В ОПТОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С ДИССИПАЦИЕЙ ПРИ НАЛИЧИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Московский государственный университет имени ,

Физический факультет, Москва, Ленинские горы 1–2.
*****@

Одной из наиболее интересных экспериментальных задач, имеющей фундаментальное научное значение является проверка парадокса Эйнштейна–Подольского–Розена в его исходной трактовке, то есть для координат и импульсов макроскопических механических объектов [1]. В настоящей работе моделируется экспериментальная схема, в которой возможно приготовить два макроскопических механических объекта в запутанном состоянии при наличии непрерывных измерений.

Ключевые слова: квантовая запутанность, оптомеханическая система, логарифмическая отрицательность, парадокс ЭПР.

Введение

Множество научных групп по всему миру пытаются подтвердить универсальный характер квантовой механики, экспериментально проверить ее применимость для описания макроскопических механических объектов. Если успех будет достигнут, то это будет иметь значение не только для понимания фундаментальной физической картины мира, но также откроет новые технологические горизонты для разработки квантового компьютера, квантовых коммуникаций, квантовой криптографии и квантовых вычислений.

Оптомеханические системы, в которых свет взаимодействует с механическими объектами посредством радиационного давления, стали идеальным средством для изучения макроскопических механических объектов в квантовом состоянии [2].

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В действительности проводить подобные эксперименты очень сложно, поскольку неклассические квантовые состояния очень чувствительны ко внешним воздействиям и вследствие взаимодействия с окружением распадаются на классическую некогерентную суперпозицию. Поэтому крайне необходимо найти системы, которые максимально изолированы от внешних воздействий, или, другими словами, имеют минимальный уровень классических шумов, приводящих к декогеренции.

Одной из наиболее интересных экспериментальных задач современной физики является проверка парадокса Эйнштейна–Подольского–Розена в его исходной трактовке, то есть для координат и импульсов макроскопических механических объектов [1,2]. Следует отметить, что достижения последних лет в области прецизионных механических измерений, стимулированные, в частности, разработкой лазерных детекторов гравитационных волн [3], позволяют рассчитывать на практическую реализацию таких экспериментов.

Парадокс Эйнштейна–Подольского–Розена приводит к понятию квантовой запутанности. Мы моделируем экспериментальную схему, в которой возможно приготовить два макроскопических механических объекта в запутанном состоянии при наличии непрерывных измерений. При этом исследуется динамическое поведение системы.

Модель

Мы рассматриваем систему, состоящую из двух связанных механических осцилляторов (см. рис. 1). Лазер С используется для создания оптической жесткости [4], что создает связь между механическими осцилляторами. Лазеры A и B используется для измерения квадратур , механических осцилляторов A и B соответственно. Координаты осцилляторов линейно связаны с оптическими полями посредством светового давления. Предполагается, что в схеме производятся непрерывные измерения квадратур отраженного света, несущих информацию о механических координатах. Соответствующая информация содержится в выходных сигналах фотодетекторов и . С целью упрощения вычислений, мы используем так называемое «приближение плохого резонатора», то есть предполагаем, что ширина полосы измерительных резонаторов Фабри–Перо много больше, чем характерные частоты механической подсистемы. Это приближение позволяет избежать математических трудностей, связанных с рассмотрением немарковских шумов.

Рис. 1. Схематическое изображение рассматриваемой модели. Два механических осциллятора, связанные посредством оптической жесткости, информация об их движении и содержится в выходных сигналах и двух фотодетекторов и .

Система, которую мы рассматриваем в данной работе, является линейной, гауссовской и марковской. Кроме того, вид непосредственно измеряемых наблюдаемых фиксирован условиями эксперимента (заданная квадратура выходящего из интерферометра света). Для таких систем возможен метод расчета условного квантового состояния, сводящийся к теории оптимальной фильтрации Калмана–Белавкина [5].

Проект эксперимента

Рассматриваемая система с некоторыми приближениями эквивалентна схеме, состоящей из интерферометра Майкельсона с двумя резонаторами Фабри–Пери в конфигурации, известной как «local readout» [6] (см. рис. 2). Система накачивается двумя лазерами на разных частотах. Используется приближение плохого резонатора, в котором спектральная ширина моды резонатора предполагается намного больше механической частоты. В резонаторы вносится отстройка, что создает оптическую жесткость между входными и боковыми зеркалами резонаторов [4]. Одна накачка измеряет информацию о разностной моде входных зеркал (), другая — информацию о разностной моде концевых зеркал (). Эти моды могут быть рассмотрены как осцилляторы. Квантовая запутанность может быть получена путем измерения условной ковариационной матрицы для , , , .

Рис. 2. Схема, в которой экспериментально возможно приготовить два запутанных механических осциллятора. Известна под названием «local readout».

В качестве параметров системы мы используем предполагаемые параметры для детектора гравитационных волн Advanced LIGO [3]. В качестве меры квантовой запутанности мы используем логарифмическую отрицательность [7].

Результаты

Проведено численное моделирование и анализ полученных результатов. Изучена зависимость логарифмической отрицательности от различных параметров системы. Логарифмическая отрицательность системы зависит от механической частоты осцилляторов , частоты биений , частоты квантового шума , частоты шума координаты , частоты шума силы , квантовой эффективности фотодетекторов , гомодинного угла , коэффициента сжатия для каждого осциллятора соответственно.

Рис. 3. График зависимости логарифмической отрицательности от времени при различных значениях частоты шума силы , механическая добротность , частота квантового шума Гц, частота шума координаты , квантовая эффективность , гомодинный угол , коэффициент сжатия .

Из рис. 3, 4 видно, что квантовая запутанность осциллирует со временем и асимптотически достигает стационарного значения.

Зависимость квантовой запутанности от частоты шума силы приведено на рис. 3. Запутанность уменьшается при увеличении частоты шума силы .

Зависимость квантовой запутанности от частоты шума координаты приведено на рис. 4. Запутанность уменьшается при уменьшении частоты шума координаты .

Основным критерием существования стационарной запутанности является требование , то есть чтобы классический шум был ниже стандартного квантового предела (СКП) [8]. Таким образом, СКП является критерием для экспериментов по проверке парадокса ЭПР. Немаловажным результатом также явилось и то, что впервые в механической системе с непрерывным спектром при наличии измерений показано, что могут иметь место явления, известные как «внезапное исчезновение запутанности» [9] и «внезапное возрождение запутанности»[10] (см. рис. 5).

Рис. 4. График зависимости логарифмической отрицательности от времени при различных значениях частоты шума координаты , механическая добротность , частота квантового шума Гц, частота шума силы , квантовая эффективность , гомодинный угол , коэффициент сжатия .

Заключение

Предложена схема эксперимента, в которой возможно приготовить два макроскопических механических осциллятора в запутанном состоянии при наличии непрерывных измерений.

Для этой модели проведено численное моделирование динамики квантовой запутанности. Исследовано влияние параметров системы на динамику квантовой запутанности и сформулированы требования к возможному эксперименту по проверке парадокса Эйнштейна–Подольского–Розена в его исходной трактовке.

Важным результатом явилось то, что впервые для системы связанных механических осцилляторов при наличии непрерывных измерений показано, что могут иметь место явления, известные как «внезапное исчезновение запутанности» и «внезапное возрождение запутанности».

Рис. 5. График зависимости логарифмической отрицательности от времени , механическая добротность , частота квантового шума Гц, частота шума силы и частота шума координаты , квантовая эффективность , гомодинный угол , коэффициент сжатия .

Литература

1. Einstein A., Podolsky B., and Rosen N. // Phys. Rev. – 1935. – V. 47

– P. 777–780.

2. , // Ученые записки физического

факультета МГУ. – 2012. – V. 1 – P. 120110.

3. Advanced LIGO project webpage // http://www. advancedligo. mit. edu/

4. Danilishin S. L., Khalili F. Ya. // Living Rev. Relativity. – 2012.

– V. 15 – P. 5.

5. Belavkin V. P. // Comm. Math. Phys. – 1992. – V. 146

– P. 611–635.

6. Rehbein H. et al. // Phys. Rev. D. – 2007. – V. 76 – P. 062002.

7. Vidal G., Werner R. F. // Phys. Rev. A. – 2002. – V. 65 – P. 032314.

8. Braginsky V. B., Khalili F. Ya. // Quantum Measurement. – 1995.

– Cambridge University Press – 212 pages.

9. Yu Ting, Eberly J. H.// Phys. Rev. Lett. – 2004. – V. 93 – P. 140404.

10. Ficek Z., Tanas R.// Phys. Rev. A. – 2006. – V. 74 – P. 024304.

DYNAMICS OF MACROSCOPIC QUANTUM ENTANGLEMENT IN OPTOMECHANICAL SYSTEMS WITH DISSIPATION UNDER CONTINUOUS QUANTUM MEASUREMENTS

O. M. Kiriukhin.

Faculty of Physics, M. V.Lomonosov Moscow State University, Russia,

Moscow, GSP–1, 1–2 Leninskiye Gory.
*****@

Future advanced gravitational–wave detectors will reach such high sensitivity that they possibly allow us to study quantum behaviors of the macroscopic test masses. One interesting issue, which is also of fundamental importance, is the observation of the Einstein–Podolsky–Rosen–type of quantum entanglement among macroscopic objects, for example, the kilogramscale test masses. We explore quantum dynamics of entanglement and study the possibility of observing it with future advanced gravitational–wave detectors or prototypes.

Keywords: quantum entanglement, optomechanical system, logarithmic negativity, EPR paradox.