Русская логика – индикатор интеллекта (стр. 10 )

1.  Некоторые студенты - молодые люди.

2.  Некоторые студенты – немолодые люди.

3.  Некоторые молодые люди – студенты.

4.  Некоторые немолодые люди – студенты.

В силу симметрии частноутвердительного функтора мы должны при выбранном нами универсуме считать, что некоторые люди – животные, а остальные - деревья, кусты, грибы, цветы или другие растения. В соответствии с русской логикой и здравым смыслом вторую посылку необходимо заменить суждением «Все люди – животные». В-третьих, по теории великого русского физиолога разумными могут быть люди, и только люди, т. е. «люди» и «разумные существа» – эквивалентные понятия.. Следовательно, и первая посылка некорректна. Устранив ошибки невежества и бестолковости Б. Рассела - Шнобелевского лауреата, получим следующие посылки.

Все люди(m) и только люди разумны(x).

Все люди(m) – животные(y).

F(x, y) = ?

Решение.

Пусть x – разумные существа, m – люди, y – животные. Универсум – животный и растительный мир.

M = (x»m)Amy = (xm+x’m’)(m’+y) = m’x’+xmy+x’m’y = m’x’+xmy

F(x, y) = x’+y = Axy.

Таким образом мы получили правильное заключение «Все разумные – животные», что вполне согласуется со здравым смыслом. Кстати, заключение не изменится, если вместо посылки «Все люди и только люди разумны» мы используем более корректное суждение «Все разумные – люди», т. к. среди людей могут оказаться и неразумные.

Рассмотренные примеры демонстрируют не только дремучее невежество Б. Рассела, но и его безграмотность и бестолковость. Маститый академик и Нобелевский (точнее Шнобелевский) лауреат шаблонно использовал при решении задачи фигуры и модусы (хрупкие костыли Аристотеля для интеллектуальных инвалидов типа телевизионных «знатоков»), которые не учитывают содержание терминов силлогизма и универсума.

«Сыграем в поддавки» с Б. Расселом: он пытался использовать фигуры и модусы Аристотеля. Подгоним силлогизм под Аристотеля:

Все люди(m) разумны(x).

Некоторые люди(m) вежливы(y).

---

F(x, y) = ?

Если в качестве универсума примем множество людей, богов(разумных и вежливых) и животных, то получим заключение: «Все вежливые – разумны», что опять не совпадает с заключением именитого академика.

Б. Рассел в монографии «Искусство мыслить»(М.:1999) на с. 38 приводит такой силлогизм: «Если А находится вне В и В находится вне С, то А находится вне С». Данный силлогизм – образец вопиющей безграмотности и бестолковости.

Вначале зададим количественные характеристики терминов:

u=3n, a=2n, b=c=n, где n - любое целое число элементов множества.

По алгоритму ТВАТ построим диаграммы.

Мы получили абсолютно неожиданный для Б. Рассела результат: Aca, т. е. "Все С суть А". Кстати, вся аморфность мышления Б. Рассела, как и любого другого «мыслителя», сразу проявляется при прорисовке скалярных диаграмм Лобанова. Именно они принудительно дисциплинируют мышление.

Не блещут дисциплиной мышления и преподаватели Оксфордского и Кембриджского университетов, самых престижных вузов Запада. В своей книге "Философия"(М.:1997) на стр. 172 Д. Тейчман и К. Эванс проявили не только оголтелую славянофобию ("Все поляки - маньяки"), но и вопиющую безграмотность. Вместо того, чтобы сформулировать посылку в виде "Все олени - животные", они заявляют "Некоторые животные - олени"(стр.170). Из такой посылки следует абсолютно абсурдное заключение: “Некоторые олени – животные”. Или совсем уж бестолковый перл: "Некоторые солдаты - люди"(стр.174). Таких ляпсусов отечественные логики всё-таки не допускают.

Рассмотрим ещё один силлогизм:

Все животные (m) смертны(х).

Некоторые животные(m) неграмотны(y).

F(x, y) = ?

В этом случае могут быть несколько вариантов универсума. Например:

1.  U = животные + растения.

2.  U = животные + растения + неживая природа(НП).

3.  U = животные + растения + неживая природа+боги.

Тогда для первого варианта получим следующие скалярные диаграммы:

Из скалярных диаграмм видно, что f(x, y) = x = Ayx & Ay’x, т. е. “Все неграмотные и все грамотные смертны”.

Скалярные диаграммы для второго варианта универсума имеют вид:

Заключение в этом случае получается совершенно иным:

F(x, y) = x+y = Ax’y & Ay’x, т. е. “Все бессмертные неграмотны, а все грамотные смертны".

Все эти результаты не соответствуют ни одному классическому модусу и нарушают главный закон силлогистики о частной посылке и частном заключении, однако вполне согласуются со здравым смыслом.

Для третьего универсума диаграммы выглядят иначе:

Из таблицы истинности получаем третье заключение, также противоречащее классическим модусам (результат в 5-м базисе, а не в базисе Аристотеля):

F(x, y) = x+ix’ = Ixy(5).

Однако исходя из здравого смысла, боги не могут быть одновременно грамотными, неграмотными и “полуграмотными”, как это представлено на скалярных диаграммах для 3-го универсума. Следовательно, силлогизм для этого универсума должен быть построен для трёх случаев:

·  боги грамотные;

·  боги неграмотные;

·  некоторые боги неграмотные.

Для грамотных богов решение выглядит так:

Из диаграмм видно, что f(x, y) = Ayx, т. е. «Все неграмотные – смертны».

Для варианта с неграмотными богами имеем:

Заключение в этом случае имеет вид f(x, y) = x+y = Ax’yAy’x, т. е. «Все бессмертные неграмотны, а все грамотные смертны».

Построим скалярные диаграммы для «полуграмотных» богов.

Для этого варианта заключение выглядит так: f(x, y) = 1 = Ixy(8), т. е. в базисе Васильева «Некоторые смертные неграмотны». В силу симметричности и обратимости частноутвердительного функтора Васильева имеем: Ixy = Ixy’ = Ix’y = Ix’y’. Следовательно, одновременно можно утверждать, что «Некоторые смертные грамотны», «Некоторые бессмертные неграмотны», «Некоторые бессмертные грамотны».

Силлогизмы подобного типа не могут быть решены без скалярных диаграмм, конкретизации универсума и содержания посылок. Автор и сам без скалярных диаграмм и русской логики становится беспомощным при анализе и синтезе сложных силлогизмов. Таким образом, логика дисциплинирует мышление, тренирует ум. Это вполне согласуется с мыслью Гераклита о том, что надо воспитывать в себе «многомыслие», а не «многознание».

В «Диалогах» Платона [43, стр.117] встречается такой вопрос: “ Скажи мне, Клиний, те из людей, кто идёт в обучение, - они мудрецы или невежды?» И далее утверждается, что любой ответ будет неверным. Это яркий пример терминологической путаницы: мудрец – не всезнайка, а просто умный, обогащённый жизненным опытом и знаниями многих наук(в первую очередь математических) человек. Если бы Клиний и его оппоненты определили содержание термина, то никакого диспута не возникло бы.

В Интернете помещён «Тест на логическое мышление». Автор приводит его не полностью: уж больно он длинный, да к тому же мышлением здесь и не пахнет. Все читатели, освоившие Русскую логику, легко пройдут предложенное неизвестным автором тестирование.

«Тест на логическое мышление

Для взрослых и очень умных детей.
Автор неизвестен.
© Веб-версия Детей на Куличках

Тест состоит из 30 пунктов. Каждый пункт имеет вид:

- Условие
a. первое следствие
b. второе следствие
c. третье следствие

"Условие" - это условие задачи, некоторые обстоятельства, которые считаются ранее каким-то образом доказанными и всегда истинными.
"Следствие" - это логическое следствие из условия. Из трех следствий одно и только одно правильно. Ваша задача - проверить свою способность отделять правильные логические следствия от неправильных.

Тест не требует специальных математических знаний. Все слова в тесте надо толковать так, как это делается в обычном повседневном русском языке, но не так, как в математике или иной специальной области. Все слова в тесте надо толковать буквально, никаких метафор или намеков в тесте не предусмотрено.

В тесте вы можете обнаружить незнакомые слова, такие, как "куздра". Эти слова предназначены для того, чтобы оценить вашу способность к логическому мышлению, отделив ее от других ваших знаний об окружающем мире. Считайте, что эти слова могут означать все, что угодно, но так, чтобы фраза в условии была правдивой по смыслу. Например, если написано, что "куздра бежит", это означает, что куздра действительно умеет бегать и, по-видимому, имеет ноги или лапки, это может быть к примеру человек, животное или шагающий механизм:)

Иногда в тесте встречаются противоположные по смыслу слова и выражения, например "умеют" и "не умеют", "большой" и "маленький" и т. п. Во всех таких случаях предполагается, что промежуточные варианты ("умеет, но плохо", "средний") не рассматриваются.

1. Шмурдик боится как мышей, так и тараканов.
a. шмурдик не боится тараканов;
b. шмурдик боится мышей;
c. шмурдик боится мышей больше, чем тараканов, но и тараканов боится тоже.

2. Известно, что грымзик обязательно или полосат, или рогат, или то и другое вместе. a. грымзик не может быть безрогим;
b. грымзик не может быть однотонным и безрогим одновременно;
c. грымзик не может быть полосатым и безрогим одновременно.

3. Если запырку отравить, то она сразу начнет пускать пузыри. a. если запырка пускает пузыри, то она была отравлена;
b. если запырку не отравить, то она не будет пускать пузыри;
c. если запырка не пускает пузыри, то она не отравлена.

4. Все охлотушки умеют играть в шашки a. не бывает охлотушек, которые не умеют играть в шашки;
b. все, кто умеет играть в шашки, являются охлотушками;
c. не бывает охлотушек, которые умеют играть в шашки.

5. Дубараторы бывают либо хорошими, либо плохими. Неправда, что этот дубаратор не плохой. a. этот дубаратор хороший;
b. этот дубаратор средненький;
c. этот дубаратор плохой.

6. В природе обнаружено более десятка тиалей. Все обнаруженные тиали сплошь красного цвета. a. по крайней мере некоторые из тиалей красного цвета;
b. по крайней мере некоторые из тиалей зеленые;
c. некоторые тиали (из тех, что уже обнаружены) могут оказаться не красными.

7. Существуют шакалы с больной мухропендией. a. не всякий шакал может похвастаться здоровой мухропендией;
b. не всякий шакал может похвастаться больной мухропендией;
c. существуют шакалы со здоровой мухропендией.»

Решение.

Введём следующие обозначения:

Шмурдик – x.

Боится мышей – y.

Боится тараканов – z.

Тогда получим (x → yz) → (x → y) = (x’+yz) → (x’+y) = x(yz)’+x’+y = 1, т. е. истинно заключение «Шмурдик боится мышей».

Рассмотрим седьмую задачу из данного теста.

Решение.

Неизвестный автор – невежда (не знает Порецкого) и неуч (не знаком с Русской логикой), но не бестолочь: предлагает решить нетрадиционные задачи. Однако он не понимает, что частноутвердительное суждение симметрично, поэтому будут истинны все три заключения, а не одно.

Глава десятая.

Логические уравнения и обратные функции.

10.1. Решение уравнений и 4-значная комплементарная логика.

Под решением логического уравнения понимается преобразование исходного уравнения к явному виду относительно одной из переменных. Такую формулировку предложил , научный сотрудник Института Проблем Управления, когда рецензировал первую статью автора по решению логических уравнений. Сам автор до такого чёткого определения поставленной задачи не додумался бы. Даже когда эта формулировка прозвучала, автор не сразу её осознал.

Наиболее полно проблема решения логических уравнений рассмотрена в работах [45] и [3].

Предлагается более простой и эффективный метод решения логических уравнений[17, 29], основанный на применении таблиц истинности и четырёхзначной логики.

Автором для решения логических уравнений впервые предлагается четырехзначная комплементарная логика. Она полностью соответствует общеразговорной, или бытовой логике. Вышеназванная логика представлена базисными функциями. Значения этой логики имеют следующий смысл: 0 - нет, j - не может быть никогда, i - может быть, 1 - да.

Следует обратить внимание на комплементарность (взаимодополняемость, взаимоинверсность) значений переменных : 0+1=1, i+j=1, 0&1=0, i&j=0. В связи с этим вполне естественно было назвать такую логику комплементарной. Для приведённых базисных функций комплементарной логики как и для 3-значной логики также справедлив закон Де Моргана.

При решении системы логических уравнений вначале определяется так называемая полная единица задачи (системы)[44], а потом отыскивается решение уравнения относительно одной из переменных. Под решением здесь и далее понимается преобразование исходного уравнения к явному виду относительно одной из переменных. Поскольку построение полной единицы системы не вызывает затруднений, рассмотрим решение логического уравнения с помощью таблиц истинности, считая полную единицу (m) известной.

В качестве примера рассмотрим именно ту задачку, с которой автор начинал освоение классической логики. Тогда, в 1995г.,только что получив в подарок от его книжку «Начала информатики»[3], я заявил, что в логике нет и не может быть проблем, поскольку там всё понятно даже четверокласснику. В ответ Учитель предложил решить любое логическое уравнение. Я ответил, что справлюсь с этим за 5 минут. При всём при том я даже не знал, что такое «решение логического уравнения». Я взял в качестве уравнения первое, что пришло в голову: M = ab+cd. заявил, что это сложное уравнение, но мне оно таким не казалось – я справился с ним за обещанные 5 минут. Надеюсь, что Читатель тоже уложится в этот интервал.

Пример 1.

Дано : m = ab + cd = 1

Найти : d = f(a, b,c)

Решение.

На основании исходного логического уравнения полной единицы строим таблицу истинности для разрешённых наборов, т. е. тех наборов, на которых исходное уравнение имеет решение, т. е. разворачиваем ДНФ в СДНФ. Перенеся столбцы a, b,c из исходной таблицы в качестве значений аргументов, а столбец d - в качестве значений искомой функции, получим таблицу истинности для d = f(a, b,c).

По полученной таблице заполним карту Карно, откуда после минимизации выведем соотношения для d = f(a, b,c). Если на некотором наборе функция принимает значение как 0, так и 1, то в соответствующую клетку карты Карно вписываем символ i. Если на каком либо наборе функция не определена, то в соответствующую клетку карты Карно вносим значение j. Здесь и далее апостроф означает отрицание аргумента или функции. Применение карты Карно не имеет принципиального значения: просто автор считает карты Карно наиболее эффективным инструментом для минимизации логических функций.

Клетки карты Карно с координатами 011 и 111 заполнены значением i, т. к. на этих наборах(индивидах, конституентах) d принимает значения как 0, так и 1. Наборы 000, 001 и 010 в таблице отсутствуют, поскольку при таких значениях аргументов исходное уравнение не имеет решения, поэтому соответствующие карты Карно заполнены символом j.

Для трёхзначной логики в этих клетках помещается прочерк [17], т. е. символ недоопределённости. Доопределение минимизируемой функции единицами позволяет получить компактную формулу.

Для комплементарной логики имеем:

d = cb’ + ca’ + iba + j(c’b’ + c’a’)

Для трёхзначной логики это уравнение выгдядит проще:

d = b’ + a’ + iba

Но просто ещё не значит истинно. Поэтому произведём проверку полученных результатов. Кстати, эту проверку я ввёл далеко не сразу. Как её сделать? Очень просто. Если из M = ab+a’b’ мы получили решение a=b, то и из a=b мы должны на основе формулы эквивалентности вернуться к M = ab+a’b’.

Работать с эквивалентностью в 4-значной комплементарной логике достаточно сложно, поэтому я предлагаю Читателю более простой метод обычной булевой алгебры. Дело в том, что для выражения y = f1+if2+jf3 удалось установить соответствие y = f1+yf2+y’f3. Запомните это рекурсивное соотношение:

Я предлагаю Читателю поломать голову над выводом вышеприведённого соответствия. Кстати, заодно и над модификацией разработанной мною алгебры четырёхзначной комплементарной логики: не всё мне там нравится. Да, есть ещё интересная проблема: один студент ТВАТ на моих лекциях по Русской логике заявил, что общеразговорная логика 5-значна: 5-е значение – «не знаю». Надеюсь, что кто-нибудь из русских мыслителей создаст алгебру 5-значной логики. К стыду своему, фамилию этого талантливого русского студента я не запомнил. Приношу ему свои самые искренние извинения. За 15 прошедших лет это был единственный студент (надеюсь, будущий выдающийся учёный), который открыл 5-значную логику здравого смысла.

А теперь приступим непосредственно к проверке полученных результатов. Начнём с 4-значной комплементарной логики.

Приведём выражение d = cb’ + ca’ + iba + j(c’b’ + c’a’) к рекурсивному виду. Получим d = c(a’+b’)+abd+c’d’(a’+b’). Теперь найдём полную единицу системы, т. е. M. Поиск будем вести по формуле эквивалентности M = (x=y) = xy+x’y’, т. е. проверим равносильность преобразований в прямом и обратном направлении.

Тогда получим следующее выражение для М:

M = [d=c(a’+b’)+abd+c’d’(a’+b’)] = d[c(a’+b’)+abd+c’d’(a’+b’)]+d’[c(a’+b’)+abd+ +c’d’(a’+b’)]’ = cd(a’+b’)+abd+d’(a’c’d+abd’+b’c’d) = cd(a’+b’)+abd+abd’ = ab+cd, что и требовалось доказать.

То, что [c(a’+b’)+abd+c’d’(a’+b’)]’ = (a’c’d+abd’+b’c’d), удалось выяснить с помощью карты Карно: очень скучен процесс аналитического инвертирования.

Итак, проверка решения уравнения в 4-значной комплементарной логике закончилась благополучно.

Проведём проверку решения уравнения в 3-значной логике. Приведём выражение d = b’ + a’ + iba к рекурсивному виду. Получим d = b’+a’+dba=b’+a’+d. Откуда M = (d = b’+a’+d) = d(b’+a’+d)+d’(b’+a’+d)’ = d+abd’ = d+ab, что не сответствует исходному значению М. Мы доказали, что решение логических уравнений возможно только в 4-значной комплементарной логике, чего не знал и не мог знать . Внимательно анализируя метод решения логических уравнений великого русского логика [45], приходишь к выводу, что кое в чём гениальный математик ошибался. Но и на солнце бывают пятна, поэтому великим грехом эту оплошность назвать нельзя. Можно утверждать, что метод Порецкого даёт правильный результат только в том случае, если искомая функция является полностью определённой (ПОЛФ).

В связи с тем, что при решении логических уравнений приходится зачастую проводить минимизацию булевых функций от большого числа переменных, полезно ознакомиться с соответствующими алгоритмами, изложенными в [13,14] и в диссертации автора[15].

Пример 2.

Рассмотрим 1-ю задачу Порецкого[45]. Между птицами данного зоосада существует 5 отношений:

1. Птицы певчие - крупные или обладающие качеством Y.

2. Птицы, не имеющие качества Y - или не крупные, или не имеют качества Х.

3. Птицы певчие в соединении с крупными объединяют всех птиц с качеством Х.

4. Каждая не-крупная птица есть или певчая, или обладающая качеством Х.

5. Между птиц с качеством Х совсем нет таких птиц с качеством Y, которые, не будучи певчими, были бы крупные.

Определить, были ли птицы качества Х певчие или нет, крупные или нет. Узнать то же в отношении птиц качества Y. Найти, были ли среди птиц качества Х птицы качества Y и наоборот.

Решение.

Пусть Х - птицы качества Х.

Y - птицы качества Y.

S - певчие птицы.

G - крупные птицы.

Тогда условие задачи будет представлено следующими рекурсивными уравнениями [45]:

1. s= (g+ у)s;

2. у’= (g’+x’)у’;

3. s+g+x’=1;

4. g’=(s+x)g’;

5. xуs’g=0.

Эти уравнения Порецкий через эквивалентность приводит к единичной форме:

g+у+s’=1 g’+x’+у=1 s+g+x’=1 s+g+x=1 x’+у’+s+g’=1

Нетрудно заметить, что система уравнений Порецкого представляет собой сорит, содержащий посылки общего характера. Посылки частно-утвердительного характера метод Порецкого обрабатывать не может.

Кстати, используя силлогистические функторы Аху и Еху, можно получить эти соотношения сразу, не прибегая к рекурсии и эквивалентности. Исходя из вышесказанного можно утверждать, что аналитическое представление силлогистических функторов Axy, Exy было впервые в мире дано русским логиком Порецким , мировая логика не заметила этого научного достижения, как не увидела и того, что позже к аналогичному выводу пришел и Л. Кэрролл[11]. Логика до сих пор прозябает в невежестве. На основе соотношений Axy = x’+y и Exy = x’+y’, выведенных нами в разделе «Базисы силлогистики»(см. рис. «Переход от диаграмм Венна к диаграммам Лобанова»), получим:

1.As(g+y) = s’+g+y = 1

2. Ay’(g’+x’) = y+g’+x’ = 1

3. Ax(s+g) = x’+s+g = 1

4. Ag’(s+x) = g+s+x = 1

5. Ex(ys’g) = x’+y’+s+g’ = 1

Поэтому, видимо, целесообразно изучать решение логических уравнений после освоения силлогистики.

Полная логическая единица всей задачи определится как конъюнкция всех левых частей системы логических уравнений. Эту рутинную операцию можно заменить на менее утомительную процедуру построения дизъюнкции нулей. Получим систему:

1. g’у’s=0

2. gxу’=0

3. g’s’x=0

4. g’s’x’=0

5. gs’xу=0

Полный логический нуль системы равен дизъюнкции всех левых частей системы логических уравнений. Проведём решение задачи Порецкого с использованием карты Карно, а потом сопоставим результаты. Заполним карту Карно нулями в соответствии с нулевыми термами системы, а в оставшиеся клетки впишем единицы. Тогда полная логическая единица всей задачи после минимизации примет вид:

m = sу+gx’

xy gs	00	01	11	10
00	0	0	0	0
01	0	1	1	0
11	1	1	1	0
10	1	1	0	0

Выпишем из карты Карно все единичные термы в виде таблицы истинности. По полученной таблице построим таблицы для х=f1(g, s),y=f2(g, s) и у=f3(х). Если на каком-либо наборе функция принимает значение как 0, так и 1, то в соответствующую клетку карты Карно вписываем i. Если какой-нибудь набор отсутствует, то для этого набора в карту Карно вносим значение j комплементарной логики.

После минимизации получим для комплементарной логики системы уравнений:

x = is + jg’s’

у = g’s + ig + jg’s’

у = x + ix’ = (x + ix) + ix’ = x + i

x = iy

После приведения к рекурсивной форме имеем:

x = xs + x’g’s’

у = g’s + yg + y’g’s’

у = x + y

x = xy

Результаты, полученные Порецким:

x = xs

у = gу + g’s

у = у + x

x = xy

Сравнивая системы уравнений, можно заметить расхождение в результатах. Проверим себя и Порецкого. Полная единица системы M(g, s,x) = s+gx’. Это следует из основной формулы M(g, s,x, y) = sy+gx’. Для комплементарной логики имеем M(g, s,x) = (x=xs+x’g’s’) = xs+x’(xs+x’g’s’)’ = xs+x’(x’s+gs’+xs’) = xs+x’s+x’g = s+gx’, что и требовалось доказать. Проверка остальных результатов комплементарной логики также завершилась успешно.

Для Порецкого проверка не увенчалась успехом. Здесь великий логик допустил ошибку: он нашёл лишь частное решение. Привожу проверку равносильности преобразований для x=xs:

M(g, s,x) = (x=xs) = xs+x’(xs)’ = xs+x’ = s+x’, что не соответствует заданному M(g, s,x).

Строгим решением является лишь результат, полученный на основе четырёхзначной комплементарной логики.

Комплементарная логика в электронике повышает надёжность любого устройства. Электронная система, построенная на такой логике, фиксирует те ситуации, которые не могут быть никогда. Например, в сложной системе управления своевременное обнаружение таких состояний может предотвратить аварию или отказ. Поэтому можно надеяться, что вычислительная техника (да и не только она, но и юриспруденция тоже) будет строиться на комплементарной логике.

Кстати, первая в мире троичная ЭВМ «Сетунь-70» была создана в России (МГУ). Что касается 4-значной ЭВМ, то аппаратная реализация комплементарной логики на современной двоичной элементной базе весьма несложна.

Основываясь на примерах 1 и 2, составим алгоритм решения системы логических уравнений.

10.2. Алгоритм «Селигер» решения уравнений в 4-значной логике.

1. Привести систему уравнений к нулевому виду (исходная система).

2. Заполнить карту Карно нулями в соответствии с термами левых частей исходной системы уравнений, а в оставшиеся клетки вписать единицы. Эти единичные термы представляют собой СДНФ полной единицы системы.

3. Произвести минимизацию совокупности единичных термов. Полученное соотношение представляет МДНФ уравнения полной единицы системы.

4. Построить сокращённую (только для единичных термов) таблицу истинности уравнения полной единицы и выписать из неё все значения входных и выходной переменных в виде частной таблицы истинности для искомой функции.

5. Произвести минимизацию полученного выражения..

6. Привести полученное выражение к рекурсивной форме, заменив i на прямое значение искомой переменной, а j – на инверсное значение этой переменной.

7. Произвести проверку рекурсивного выражения на соответствие его полной единице системы для задействованных аргументов, т. е. выполнить проверку равносильности произведённых преобразований.

Если система уравнений простая и позволяет легко найти СДНФ для М, то решение можно начинать сразу с п.3 алгоритма "Селигер". Алгоритм предполагает не только графическую, но и аналитическую минимизацию методом обобщённых кодов [13, 26]. Для систем уравнений с числом аргументов не более 10 графический метод эффективнее. Минимизация в комплементарной логике для двоичных аргументов несущественно отличается от минимизации в двузначной: нужно лишь проводить раздельное склеивание по i, j, 1 или 0.

Пример 3

Рассмотрим 2-ю задачу Порецкого.

Относительно белья в комоде известны 2 положения:

1) часть его состояла из крупных предметов, всё же остальное было тонким, причём часть этого последнего была поношена, прочая часть дёшево стоила;

2) всё бельё не тонкое, а также всё бельё не новое, но дорогое, принадлежало или к такому тонкому белью, которое не было ни крупно, ни дорого, или же к такому крупному белью, которое частью было ново, частью же, будучи тонким, было дёшево.

Узнать, какое бельё было поношено: крупное или мелкое.

Решение.

Пусть а - тонкое, b - крупное, с - дорогое, d - новое бельё. Тогда имеем следующую систему уравнений:

1. b + a(d’ + c’) = 1

2. (a’ + d’c) = ab’c’ + b(d + ac’)

В соответствии с алгоритмом «Селигер» получим:

1. a’b’ + b’cd = 0

2. a’b’ + a’d’ + cd’ + 0

Нулевые термы системы уравнений занесём в карту Карно, откуда получим функцию полной единицы.

M = ac’+bd.

По полученному соотношению строим сокращённую таблицу истинности и выписываем из неё значения b и d в виде таблицы, из которой получаем логическую функцию. Из этой функции следует, что d не зависит от b, что совпадает с результатом Порецкого.

Если построить диаграммы Лобанова, то сразу становятся очевидными все зависимости между аргументами a, b, c, d. Например, понятно, что «Всё дорогое бельё – новое» и «Всё дорогое бельё – крупное».

Пример 4

Дано: M = xy+x’y’ = 1.

Найти: x = f(y).

Решение.

Применяя метод Порецкого, домножим левую и правую части исходного равенства на х. Получим (xy+x’y’)x = x или после минимизации x = xy. Но для этого равенства полная единица M = x’+y = Axy, что не соответствует заданной формуле равнозначности M = xy+x’y’. Кроме того, по алгоритму «Селигер» истинное решение уравнения выглядит так: x = y. К тому же это общеизвестный факт. Но ещё первичнее то обстоятельство, что 2-й закон не позволяет этого делать.

Таким образом, мы видим, что метод Порецкого может давать противоречащие математике и здравому смыслу решения логических уравнений.

10.3. Алгоритм «Волга» решения уравнений в двоичной логике.

Под решением логического уравнения мы понимаем преобразование исходного уравнения к явному виду относительно одной из переменных. Впервые в мире эту проблему сумел разрешить гениальный русский учёный Платон Сергеевич Порецкий в своей работе о логических равенствах [45].

Однако допустил ряд ошибок, для уcтранения которых пришлось разработать алгебру 4-значной комплементарной логики и алгоритм «Селигер».

А нельзя ли найти решение поставленной задачи, не прибегая к 4-значной логике? Оказывается, можно. Автором разработан алгоритм «Волга», опирающийся только на булеву алгебру.