Дисперсия коллективных циклотронных спин-флип возбуждений в двумерной электронной системе в режиме квантового эффекта холла

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ФАКУЛЬТЕТ ОБЩЕЙ и ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ

ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ТВЁРДОГО ТЕЛА РАН

Кафедра физики твердого тела

ВАНЬКОВ АЛЕКСАНДР БОРИСОВИЧ

Выпускная квалификационная работа

ДИСПЕРСИЯ КОЛЛЕКТИВНЫХ ЦИКЛОТРОННЫХ СПИН-ФЛИП ВОЗБУЖДЕНИЙ В ДВУМЕРНОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ СИСТЕМЕ В РЕЖИМЕ КВАНТОВОГО ЭФФЕКТА ХОЛЛА

научный руководитель:

Член-корр. РАН

Черноголовка 2006

Содержание

Введение…..…………………………………………………..3

Классификация коллективных возбуждений при ЦКЭХ….6

Кулоновское взаимодействие………………………..7

Часть 1.

Квантовый ферромагнетик ……..……………………..9

Образцы и экспериментальная техника…………………..11

Экспериментальные результаты……………………..….…13

Часть 2.

Спин-неполяризованное состояние КЭХ …………..22

Образцы и экспериментальная техника………………….22

Экспериментальные результаты……………………..….…23

Заключение…………………………………………….........30

Литература…………………………………………………..31

Введение

Использование представления об элементарных возбуждениях как квазичастицах, предложенная , является эффективным методом описания физических свойств многоэлектронных систем. В рамках теории квазичастиц электроны или квазиэлектроны заполняют в -пространстве такой же объем с радиусом , как и свободные электроны, а возбужденные состояния описываются слабо взаимодействующими квазичастицами с

зарядами и , спином , соответствующими эффективными массами и временами жизни. Концепция квазичастиц позволила свести сложную динамику системы сильно взаимодействующих частиц к более простой динамике совокупности квазинезависимых объектов. Практически проблема сведена к рассмотрению газоподобной системы, что позволяет описывать равновесные и неравновесные свойства систем с сильным взаимодействием с помощью относительно простых методов статистической термодинамики и кинетики газов.

Элементарные возбуждения разделяют на одночастичные и коллективные. В электронной системе одночастичным возбуждениям можно сопоставить следующий элементарный акт: электрон внутри ферми-сферы приобретает дополнительный импульс и переходит из состояния с импульсом в одно из свободных состояний вне сферы с импульсом . Примером коллективных возбуждений являются плазменные колебания. В простейшей теории плазменных колебаний положительные ионы твердого

тела заменяются однородно распределенным положительным зарядом с плотностью, равной средней плотности заряда электронов. Электроны проводимости с эффективной массой рассматриваются как газ со средней плотностью , разрежение и сжатие которого приводят к продольным колебаниям. Эти колебания, обусловленные кулоновским взаимодействием между электронами и положительно заряженным ионным остовом получили название плазменных волн, а их кванты- плазмонов.

Концепция квазичастиц успешно применяется для описания пространственно-анизотропных многоэлектронных систем на базе электронов на поверхности жидкого гелия, кремниевых МДП структур и полупроводниковых гетероструктур с квантовыми ямами1. В результате ограничения движения в одном из пространственных направлений энергетический спектр таких систем разбивается на совокупность подзон размерного квантования. Если энергетические масштабы, связанные с поперечным квантованием, превышают все другие характерные энергии (энергию Ферми и тепловую энергию), электронная система становится двумерной (2Д), а ее плотность состояний - константой, зависящей только от эффективной массы электронов. Спектр возбуждений 2Д-электронной системы обладает рядом уникальных особенностей. Появляются различные ветви возбуждений: внутри нижайшей размерноквантованной подзоны (внутриподзонные или

собственно двумерные) и с изменением индекса подзоны (межподзонные). Как внутри - так и межподзонные возбуждения могут быть одночастичными и коллективными.

Приложение внешнего магнитного поля, ориентированного перпендикулярно плоскости двумерной системы, приводит к квантованию движения электронов в плоскости. При этом энергетический спектр становится полностью дискретным. Плотность состояний представляет собой набор -функций (уровней Ландау) при значениях энергии:

,

где - циклотронная частота, - эффективная масса электрона. На каждом уровне могут одновременно находиться электронов, где - площадь 2D-слоя. Наличие спина у электрона приводит к расщеплению уровней Ландау на спиновые подуровни, разделенные зеемановской энергией , где - фактор Ланде, - магнетон Бора. В реальных 2Д-системах из-за взаимодействия электронов со случайным потенциалом уровни Ландау приобретают конечную ширину, а распределение одночастичной плотности состояний определяется характером неоднородностей. Появление щелей в электронной плотности состояний приводит к таким фундаментальным макроскопическим явлениям, как целочисленный и дробный квантовый эффект Холла (КЭХ)2,3,4.

Возбуждениями 2Д-электронной системы в магнитном поле являются магнитоэкситоны или магнитоплазмоны - связанные состояния дырки на заполненном уровне Ландау и электрона на одном из пустых уровней. Аналогичные ветви межподзонных возбуждений представляют собой связанные состояния дырки в нижайшей размерно-квантованной подзоне и электрона в одной из вышележащих подзон. Указанные возбуждения могут соответствовать колебаниям как зарядовой, так и спиновой плотности.

Гамильтониан магнитоэкситона трансляционно-инвариантен, а соответствующим интегралом движения является обобщенный импульс:

,

где индексы 1 и 2 обозначают отрицательно и положительно заряженные частицы, и - векторные потенциалы.

Возбуждения в электронной системе могут появляться, например, в процессе взаимодействия системы с электромагнитным излучением. В результате акта взаимодействия фотон может отдать электронной системе часть своей энергии и импульса. Измеряя оставшиеся энергию и импульс рассеянного фотона, можно вычислить энергию и импульс рождённого возбуждения. В этом состоит суть метода неупругого рассеяния света (НРС), используемого в данной работе для исследования возбуждений электронной системы.

При описании возбуждений в многоэлектронной системе невозможно точно учесть сложный механизм электрон-электронного взаимодействия. Однако если первоначально система находилась в состоянии квантового эффекта Холла (целочисленного или дробного), теоретическое описание возбуждений значительно упрощается. В работе рассматривались возбуждения с изменением орбитального квантового числа электрона с 0 на 1 из состояний ЦКЭХ с факторами заполнения и (, где - поверхностная плотность электронов, а - орбитальная кратность вырождения уровня Ландау). В этих состояниях полностью заполнен один (два) спиновых подуровня на нижнем уровне Ландау, а все вышележащие уровни свободны. В такой системе возможны процессы с переходом электрона с заполненного на свободный уровень и появлением дырки в основном состоянии. Электрон-дырочная пара и электронный газ как фон взаимодействуют друг с другом, что влияет на энергию возбуждения.

Энергия аналогичных межподзонных возбуждений обычно значительно превышает энергию циклотронных возбуждений. Когда энергии межподзонных и циклотронных возбуждений сравниваются, они взаимодействуют друг с другом, образуя гибридные моды. Здесь будет обсуждаться случай, когда эффекты взаимного влияния малы.

Классификация коллективных возбуждений при ЦКЭХ.

Рассмотрим возбуждения, связанные с переходом электрона с заполненного спинового подуровня на один из вышележащих пустых подуровней. При этом допускается изменение орбитального квантового числа электрона (номера уровня Ландау с до ), а также проекции спина на ось магнитного поля. В магнитном поле, перпендикулярном поверхности образца, эти возбуждения могут быть классифицированы дисперсионными кривыми:

(1)

где - циклотронная частота, - зеемановская энергия, , - изменение z-проекции спина электрона, а - кулоновская энергия порядка , - магнитная длина.

Среди возможных основных состояний системы в условии ЦКЭХ были изучены два случая: (полностью заполнен нижний спиновый подуровень) и (заполнены два нижних спиновых подуровня). В первом случае полный спин системы и проекция спина на ось магнитного поля равны , то есть система электронов полностью поляризована по спину. Это состояние также называют квантовым ферромагнетиком. Здесь возможны две ветви возбуждений с - магнитоплазмон (без переворота спина) и циклотронная спин-флип мода (с переворотом спина) (рис.1).

Рис.1. Схематическое изображение процессов рождения а) магнитоплазмона (спин возбуждения S=0) и б) циклотронной спин-флип моды (спин S=1) в спин-поляризованном состоянии КЭХ .

Во втором случае состояния с противоположными спинами равнозаселены, откуда следует, что полное спиновое квантовое число системы и проекция спина на ось магнитного поля равны . Из-за двух возможных значений проекции спина электрона и дырки на ось магнитного поля, полный спин одноэкситонного возбуждения может быть равен либо 0 (синглет), либо 1(триплет). Последние возбуждения различаются по проекции суммарного спина на ось магнитного поля: |-1>,|+1>-спин-флип возбуждения(SF) и |0>-циклотронная спиновая волна(CSW).

На рис.2 представлено схематическое изображение всех четырёх типов возбуждений при .

а) б) в) г)

Рис.2. Схематическая диаграмма иллюстрирует четыре возможных типа возбуждений в случае .

а), б)– спин-флип возбуждения с проекцией спина на направление поля |-1> и |+1>; в) циклотронная спиновая волна– противофазная комбинация двух переходов с (но полный спин ), г) магнитоплазмон - синфазная комбинация аналогичных переходов с полным спином возбуждения 0.

Дисперсия мод даётся кулоновским членом , в который входит разность обменных энергий электрона на возбужденном уровне Ландау и на основном уровне, а также прямое экситонное взаимодействие рожденной электрон-дырочной пары. В пределе сильных магнитных полей характерная кулоновская энергия мала по сравнению с циклотронной, и поэтому справедлива теория возмущений с малым параметром , где магнитная длина - характерное расстояние между электронами на уровнях Ландау, а диэлектрическая проницаемость среды (12.8 для GaAs). Однако обычно в экспериментах такой предел не достигается, а кулоновская энергия оказывается одного порядка с циклотронной.

Кулоновское взаимодействие.

В системе двумерных электронов, находящейся в полупроводнике, фурье-компонента потенциала электрон-электронного взаимодействия имеет вид , однако для электронов вблизи границы перехода полупроводник-диэлектрик необходимо учитывать взаимодействие электрона с зарядом изображения другого электрона.

Пусть полупроводник со статической диэлектрической проницаемостью заполняет полупространство , а полупространство - диэлектрик со статической диэлектрической проницаемостью , тогда потенциал кулоновского взаимодействия двух электронов, расположенных в точках и определяется выражением:

.

Последний член в скобках мал для гетероперехода GaAs/AlGaAs ввиду незначительного различия диэлектрических проницаемостей сред: , . Поэтому можно записать:

.

Если распределение плотности электронов в слое вдоль направления роста описывается волновой функцией , то фурье-компонента эффективного потенциала электрон-электронного взаимодействия имеет вид

, (2)

где - статический форм-фактор.

В пределе нулевой толщины электронного слоя и кулоновский потенциал приобретает вид, характерный для идеально двумерной системы. В реальных структурах форм-фактор монотонно убывает с . Чем шире квантовая яма, тем заметнее ослабление кулоновского взаимодействия.

Для вычисления форм-фактора главным условием является знание

z-компонент волновых функций электронов в квантовой яме. Их вид зависит не только от ширины ямы и высоты барьеров на границе, но и от плотности электронов в яме. При ненулевой концентрации электронов, профиль дна ямы изгибается, так что с одной стороны, он зависит от значения локальной электронной плотности , а с другой стороны, само решение уравнения Шредингера для зависит от формы ограничивающего потенциала. Поэтому для нахождения волновой функции и форм-фактора необходимо решать уравнения Шредингера и Пуассона самосогласованно.

Часть 1.

Квантовый ферромагнетик .

В последнее время попытки использовать спиновую степень свободы в качестве элемента компьютерной памяти вызвали интерес и к фундаментальным исследованиям ферромагнетизма в системе двумерных электронов и усиленного g-фактора в состоянии квантового эффекта Холла в GaAs/AlGaAs и Si/SiGe двумерных гетероструктурах5-10. В присутствии зеемановского взаимодействия основное состояние невырождено и имеет полное спиновое квантовое число и проекциию спина на ось магнитного поля . Простейшее нейтральное возбуждение в такой системе, называемое спиновым экситоном, представляет собой одиночный перевернутый спин. Характер спиновых экситонов меняется от коллективного в длинноволновом пределе () к одночастичному в коротковолновом пределе (). Спиновой экситон в пределе состоит из пространственно разделенных возбужденного электрона на пустом спиновом подуровне и дырки в основном состоянии. Энергия, необходимая для формирования такой пары при нулевой температуре есть “обменно-усиленное спиновое расщепление”, куда помимо зеемановской энергии входит энергия кулоновского взаимодействия. Она появляется из-за разницы в энергиях обменного взаимодействия электрона в возбужденном и основном состояниях. Наличие обменного вклада учитывается введением эффективного -фактора, а спиновое расщепление может быть записано как . Эффективный -фактор в общем случае может зависеть от магнитного поля и по величине значительно превосходить значение объемного -фактора электронов в GaAs. Энергия спинового экситона при может быть получена из термоактивационных и ёмкостных транспортных измерений5,7.

Кулоновский вклад в энергию спинового экситона имеет сложную структуру. Его величину можно оценить приближенно по теории возмущений в рамках приближения Хартри-Фока (ПХФ). Параметром малости теории возмущений является , где - характерная кулоновская энергия, а - циклотронная энергия. В пределе бесконечно больших магнитных полей , и приближение Хартри-Фока становится точным. Для оценки рассматриваются только члены первого порядка малости по параметру . В приближении Хартри-Фока два первых неисчезающих члена в обменной энергии спинового экситона при - это

1) потеря обменной энергии в основном состоянии при переходе электрона на второй спиновой подуровень

2) энергия экситонной связи возбужденных электрона и дырки.

В пределе второе кулоновское слагаемое зануляется, т. к. эффективное расстояние между электроном и дыркой стремится к бесконечности. Остается только обменный вклад в энергию возбуждения, который для идеальной системы пропорционален . В транспортных измерениях, однако, наблюдается линейный рост энергии спинового экситона с магнитным полем. Были предприняты многочисленные теоретические попытки для объяснения этого феномена. В частности, было учтено динамическое экранирование обменного взаимодействия в рамках приближения хаотических фаз13. Как оказалось, динамическое экранирование существенно лишь при полях меньших 1Т. Также рассматривался альтернативный подход, учитывающий возбуждения спиновой текстуры в электронной системе (скирмионы). Однако на данный момент существование скирмионов не подтверждено экспериментально.

Наряду со спиновым экситоном информацию об обменном взаимодействии можно получить из энергии циклотронной спин-флип моды - возбуждения, при котором изменяется не только спиновое квантовое число электрона, но одновременно и орбитальное квантовое число (см. рис.1б). В энергии других возбуждений, таких как магнитоплазмон и спиновой экситон, электрон-электронное взаимодействие проявляется только при больших импульсах. Для магнитоплазмона это является следствием теоремы Кона15: однородное электромагнитное излучение, падающее на трансляционно-инвариантную электронную систему, не способно возбудить внутренние степени свободы, связанные с кулоновским взаимодействием. В случае спинового экситона применим квантовый аналог теоремы Лармора16: в системе с вращательной инвариантностью в спиновом пространстве кулоновское взаимодействие не вносит вклада в энергию спинового экситона при нулевом импульсе. Однако не существует подобных симметрийных ограничений для энергии циклотронной спин-флип моды (ЦСФМ). Теоретически и экспериментально было установлено, что циклотронная спин-флип мода, возбужденная из спин поляризованного основного состояния, приобретает наряду с циклотронной и зеемановской также и значительную кулоновскую энергию уже при нулевом импульсе11,12,17,18. В длинноволновом пределе ЦСФМ - бездисперсионная, т. е. её энергия практически постоянна вплоть до волновых векторов . Поэтому нарушения трансляционной симметрии на расстояниях, превышающих магнитную длину, незначительно изменят энергию ЦСФМ. Таким образом, энергия длинноволновой циклотронной спин-флип моды характеризует свойства многочастичного кулоновского взаимодействия. В настоящей работе свойства этой моды использовались для проверки применимости приближения Хартри-Фока в широком диапазоне магнитных полей, а также для получения обменно усиленного g-фактора как функции магнитного поля.

Образцы и экспериментальная техника.

Измерения проводились на четырех высококачественных гетероструктурах, содержащих одиночные GaAs/Al0.33Ga0.67As- квантовые ямы. Образование потенциальных ям связано с разрывом энергетических зон в области гетероперехода GaAs-AlGaAs. Комбинация двух таких гетеропереходов (тонкий слой GaAs между слоями AlGaAs) приводит к формированию узкой квантовой ямы, ограничивающей движение электронов в направлении, перпендикулярном гетерогранице1. Непрерывный энергетический спектр электронов в этом направлении трансформируется в дискретный спектр размерного квантования, конкретный вид которого определяется формой и шириной потенциальной ямы. При этом движение электронов в плоскости квантовой ямы описывается блоховскими функциями свободных электронов в кристалле.

Для создания двумерного электронного канала структуры селективно легируются – в AlGaAs барьере выращивается -слой доноров (атомов кремния), за счет ионизации которых в квантовой яме формируется квазидвумерный электронный газ определенной плотности. Отделением d-слоя ионизованных доноров спейсером шириной ~А можно добиться повышения подвижности электронного газа из-за уменьшения вероятности рассеяния электронов на заряженных примесях. Поскольку увеличение толщины спейсера приводит к падению концентрации 2Д-электронов, значения толщины, превышающие 1000А, редко используются.

Ширины ям, используемых в эксперименте, были равны 200А, 250А и 300А. Концентрации двумерных электронов в них составляли от 9.8×1010 см-2 до 2.5×1011 см-2. Высокие электронные подвижности в интервале 2..12×106 см2/В∙сек обеспечивали малую естественную энергетическую ширину спектральных линий неупругого рассеяния света.

Регистрация спектров неупругого рассеяния света проводилась в геометрии обратного рассеяния с использованием двухсветоводной методики. Через один световод к образцу подводилось лазерное излучение для возбуждения электронной подсистемы. Рассеянный свет собирался другим световодом. Углы между нормалью к поверхности образца и световодами определяли импульс, переданный системе в процессе неупругого рассеяния света, а именно, если и - углы между нормалью и падающим и рассеянным фотонами, а - длина волны света, то импульс возбуждения в плоскости есть (см. рис.3).

Рис.3. Расположение накачивающего световода 1 и собирающего световода 2

На одной из стадий эксперимента использовались два собирающих световода под разными углами к нормали для сравнения спектров при разных переданных импульсах. Оценка сверху максимально достижимого импульса в процессе НРС дает: . Если рассматривается система электронов, находящаяся в режиме ЦКЭХ, то характерным межчастичным расстоянием служит обратная магнитная длина, а максимальный безразмерный импульс, например, в поле 5Т: . Поэтому методом неупругого рассеяния света возможно измерять лишь длинноволновую часть дисперсии электронных возбуждений.

Для фотовозбуждения системы использовался перестраиваемый Ti-Sp-лазер с энергией 1.537-1.561эВ, превышающей ширину запрещенной зоны GaAs. Характерные значения плотности мощности излучения находились в диапазоне W=0.05-0.5 Вт/см2. Для разделения линий неупругого рассеяния света и горячей люминесценции экспериментальные спектры записывались при различных энергиях возбуждающего излучения. Линии горячей люминесценции не изменяли своих спектральных позиций при вариации длины волны лазерного излучения, в то время как спектральные позиции линий неупругого рассеяния света следовали за энергией лазера.

Спектральным инструментом служил тройной монохроматор T-64000, который вместе с полупроводниковым детектором с зарядовой связью (CCD камера) обеспечивал спектральное разрешение 0.02мэВ. Измерения проводились в криостате со сверхпроводящим соленоидом при температуре 1.5К в условии откачки паров 4He. Однако в магнитных полях меньше 3Т такая температура превышает величину зеемановской щели в GaAs, что ведёт к температурному заселению второго спинового подуровня, падению спиновой поляризации и разрушению ферромагнитного состояния. Поэтому в малых полях измерения проводились при температуре ~0.3К в условии откачки паров 3He.

Для изменения концентрации двумерных электронов использовался эффект фотообеднения: при непрерывном фотовозбуждении с энергией фотона, превышающей энергию запрещенной щели AlGaAs-барьера, ионизованные доноры в барьере нейтрализуются, и электронная плотность в квантовой яме уменьшается. Механизм этого явления подробно описан в [19]. На практике удавалось плавно уменьшать концентрацию в образцах более чем в три раза относительно значения “в темноте”. Величина концентрации двумерных электронов измерялась из спектров магнитолюминесценции19, причем спектры НРС измерялись при тех же экспериментальных условиях. Для фотообеднения использовался HeNe-лазер с энергией фотона 1.958эВ и плотностями мощности в диапазоне 0-0.02 Вт/см2.

Следует отметить, что излучение Ti-Sp-лазера не меняет концентрацию электронов в яме даже несмотря на сравнительно высокую плотность мощности излучения. Дело в том, что энергия кванта Ti-Sp-лазера меньше ширины запрещенной зоны барьера и недостаточна для ионизации доноров. Таким образом, для измерения спектров НРС применялись одновременно два лазера, один из которых (HeNe) использовался для регулирования концентрации двумерных электронов, а другой (TiSp) - для возбуждения электронной системы.

Экспериментальные результаты.

На рис.4 представлены типичные спектры неупругого рассеяния света при факторе заполнения n=1 для двух квантовых ям разной ширины. Спектр состоит из четырех линий. Две из них соответствуют коллективным возбуждениям: гибридной магнитоплазменной моде и циклотронной спин-флип моде. Энергия магнитоплазмона при может быть получена в рамках классической электродинамики:

, (3)

где - частота циклотронного резонанса с эффективной массой электрона в GaAs Плазменная частота приближенно равна . При малых импульсах и разложение формулы (3) в ряд Тейлора дает:

, (4)

т. е. дисперсия коротковолновых магнитоплазменных возбуждений - линейная, а при энергия совпадает с циклотронным резонансом, в согласии с теоремой Кона.

Энергия циклотронной спин-флип моды может быть записана следующим образом:

. (5)

Она составлена из трёх вкладов: циклотронной энергии, зеемановской энергии и кулоновского члена , равного разности энергий кулоновского взаимодействия в основном состоянии и в состоянии с одним перевернутым спином. Объемная зеемановская энергия в магнитном поле 8.5Т (рис.4) равна , т. е. пренебрежимо мала по сравнению с остальными членами в (5). Кулоновская энергия превосходит величину зеемановского расщепления более чем на порядок и приблизительно равна разности энергий ЦСФМ и магнитоплазмона (рис.4).

Рис.4. Спектры неупругого рассеяния света в

поле 8.5Т() для ям шириной

20нм и 25нм. MP-магнитоплазмон, CSFM-

циклотронная спин-флип мода.

О природе оставшихся двух спектральных особенностей известно мало. В работе [17] они отнесены к неупругому рассеянию света на магнитоплазменной моде с импульсами, соответствующими экстремальным точкам в дисперсионной зависимости. Такие процессы рассеяния запрещены, т. к. экстремумы в законе дисперсии находятся при импульсах порядка , а максимально достижимые световые импульсы в 5-10 раз меньше. Такое рассеяние могло бы быть возможным, если предположить, что закон сохранения волнового вектора в электронной системе нарушается из-за остаточного беспорядка20.

В приближении Хартри-Фока дисперсии магнитоплазмона и циклотронной спин-флип моды даются выражениями:

, (6а)

, (6б)

где - деполяризационный сдвиг (член, включенный в приближение хаотических фаз), - энергия экситонной связи между возбужденным электроном на 1-м уровне Ландау и дыркой на 0-м уровне, - энергия обмена электрона на -м уровне с остальными электронами. Поскольку обменная энергия может существовать только между электронами с одинаковыми спинами, присутствует в энергии магнитоплазмона, но не входит в выражение для дисперсии спин-флип моды.

Выражения для этих кулоновских членов даются формулами12,17:

, (7а)

, (7б)

, (7в)

откуда видно, что обменные энергии - не зависят от импульса, а при . При , а , т. е. в согласии с теоремой Кона, а кулоновская энергия длинноволновой спин-флип моды положительна, т. к. .

Рис.5. Дисперсионные зависимости магнитоплазмона (MP) и циклотронной спин-флип моды (CSFM) при

в поле 8.5Т для ямы шириной 200А. (Слева) Дисперсионные кривые двух мод, вычисленные в рамках приближения Хартри-Фока. Стрелками показаны экстремумы в дисперсионных зависимостях. (Справа) Экспериментальные значения энергий возбуждений при разных волновых векторах. Сплошные линии - длинноволновые участки расчетных дисперсионных кривых.

Рассмотрим дисперсионные зависимости МП и ЦСФМ. В квантовой яме шириной 200А и в магнитном поле 8.5Т энергии возбуждений были измерены методом НРС для трех значений волнового вектора в интервале . В этом диапазоне энергия магнитоплазмона линейно зависит от импульса, а энергия спин-флип моды не меняется при возрастании импульса (рис.5Б). На рис.5А, Б сплошными линиями показаны дисперсионные зависимости магнитоплазмона и циклотронной спин-флип моды, вычисленные для ширины ямы и магнитного поля, соответствующих эксперименту. Таким образом, в длинноволновом пределе как экспериментальная, так и теоретическая дисперсия МП - линейная, а ЦСФМ - бездисперсионна. Поэтому в уравнении (5) можно заменить на для значений , доступных в эксперименте.

Величина кулоновской энергии зависит не только от магнитного поля, но и от геометрической ширины квантовой ямы (см. рис.4). На рис.6 показаны значения обменной энергии ЦСФМ для ям разной ширины в поле 7.6Т. Теоретическая зависимость от ширины ямы нанесена пунктиром на рис.6 и хорошо аппроксимирует экспериментальные точки.

Рис.6. Обменная энергия

для трех разных ширин квантовой

ямы. Теоретическая кривая показана

штриховой линией.

Уменьшение с уширением квантовой ямы возникает из-за нелокальности волновых функций электронов в направлении роста. Для адекватного учета этого эффекта в расчетах фурье-компонента кулоновского потенциала должна быть умножена на статический форм-фактор, вычисленный для заданной ширины ямы. Несмотря на то, что сам форм-фактор не зависит от магнитного поля, он качественно изменяет природу взаимодействия при увеличении магнитного поля. В малых магнитных полях, когда (- ширина квантовой ямы или размер волновой функции электрона в направлении роста ямы), кулоновское взаимодействие эффективно двумерное (рис.7А). В противоположном пределе больших полей, когда , электроны можно представить как длинные заряженные стержни с диаметром и высотой . Кулоновское взаимодействие между стержнями смягчается (рис.7Б), а обменная энергия в таких условиях имеет слабую логарифмическую зависимость от магнитного поля.

Рис.7А. Схематическое изображение орбит электронов

в пределе малых магнитных полей .

Эффективно двумерное взаимодействие. Серой

кривой изображена волновая функция электрона Рис.7Б. Большие магнитные поля: .

в направлении роста. Кулоновское взаимодействие тримеризуется и

смягчается.

Экспериментальные результаты, представленные на рис.(8А, Б,В), показывают зависимость кулоновского члена от магнитного поля при в ямах шириной 20, 25 и 30нм соответственно. Из графиков видно, что в реальных структурах растёт с полем слабее, чем квадратный корень для идеальной 2D-системы (показан пунктирной линией). Для количественного объяснения этой зависимости была рассчитана энергия ЦСФМ в приближении Хартри-Фока с учетом конечной ширины ямы. Результаты расчетов для ям 20,25 и 30нм показаны на рис.(8А, Б,В) сплошными линиями. Видно, что уже начиная с поля 5Т кривая для идеального двумерного случая даёт величину обменного взаимодействия более, чем в два раза превышающую измеряемое значение. Однако при учете фактической ширины ямы, теоретические кривые в точности совпадают с экспериментальными данными.

Рис.8. Магнитополевая зависимость кулонов­ской энергии для ям шириной (А)-200А, (Б)-250А, (В)-300А. И теоретическая зависимость для этих ям и для идеального 2Д-случая (Г).

Полученное согласие теории с экспериментальными данными позволяет построить общую полевую зависимость обменной энергии для разных ям, с той разницей, что теперь их истинные значения энергии нормируются на обменную энергию ЦСФМ в яме шириной 25нм. Нормировочный коэффициент берется равным теоретическому отношению , где - ширина ямы. Результат приведен на рис.9 в диапазоне полей 1.3Т-8.3Т.

Рис.9. Обменная энергия ЦСФМ в зависимости от магнитного поля. Сплошная кривая - расчет для ямы 25нм. Штриховая линия - кривая для идеальной двумерной системы. Символы разной формы соответствуют данным, полученным на разных образцах Большая точка в виде серого ромба - величина обменной энергии, измеренная в работе [17].

Для ЦСФМ кулоновский вклад в энергию . Последнее выражение обращается в равенство для идеального двумерного случая. Наличие кулоновского вклада в энергии спиновых возбуждений приводит к увеличению эффективного g-фактора электрона, т. к. в энергии возбуждений с переворотом спина зеемановский и кулоновский члены появляются вместе. Например, в энергии коротковолнового спинового экситона обменный вклад приводит к увеличению эффективного g-фактора, измеряемого в транспортных экспериментах: (где-объемный g-фактор GaAs). Значение эффективного g-фактора можно вычислить по аналогии из величины обменной энергии ЦСФМ. Поскольку обменная энергия ЦСФМ, измеренная методом НРС, совпадает с расчетом в рамках приближения Хартри-Фока, то эффективный обменно-усиленный g-фактор можно оценить из экспериментальных данных по формуле:

,

куда входит теоретически рассчитанное отношение и экспериментально полученная обменная энергия ЦСФМ .

Полученная зависимость «g-фактора» от магнитного поля построена на рис.10 и сравнена со значениями, полученными в более ранних работах7,8.

Рис.10. Зависимость обменно увеличенного g-фактора от магнитного поля при . Данные неупругого рассеяния света показаны круглыми символами. Транспортные данные7,8- черные квадраты ().

При малых магнитных полях обменно-усиленный g-фактор, измеренный методом неупругого рассеяния света, превышает транспортные данные на порядок величины. Более того, g-фактор расходится в пределе нулевого поля.

Возможно, что полученное расхождение между результатами в экспериментах по неупругому рассеянию света и транспортными данными возникает из-за влияния беспорядочного потенциала. Можно предполагать, что в формировании линии ЦСФМ в спектре НРС участвуют лишь области образца (кластеры), где решетка из сонаправленных спинов не нарушена случайным потенциалом на масштабе межчастичных расстояний. В этих кластерах с ферромагнитным упорядочением обменная энергия ЦСФМ достигает своего максимального Хартри-Фоковского значения. Рассеяние из областей с нарушением ферромагнитного порядка может участвовать в формировании широких спектральных особенностей в спектре НРС, расположенных между магнитоплазмоном и циклотронной спин-флип модой. Это предположение подтверждается и тем фактом, что интенсивность этой части спектра выше в образцах с меньшей подвижностью.

В пользу предложенного объяснения свидетельствуют данные по температурной зависимости линии спин-флип моды. При ненулевой температуре возникает термоактивационное заселение второго спинового подуровня, что приводит к уменьшению спиновой поляризации. Характерная температура, при которой заселенности двух нижних спиновых подуровней становятся одного порядка- зеемановская температура (-константа Больцмана).

При повышении температуры интенсивность линии ЦСФМ быстро падает, однако энергия моды не изменяется (рис.11).

Рис.11. Спектры ЦСФМ () при разных температурах. Поле 5.5Т.

Рис.12. Температурная зависимость спектрального положения линии ЦСФМ и её интенсивности для двух разных образцов и разных магнитных полей (5.5Т и 7.3Т). - зеемановская температура.

Измеренные температурные зависимости энергии и интенсивности линии ЦСФМ похожи для двух разных образцов и разных магнитных полей (рис.12). Изменение интенсивности линии с повышением температуры для обеих зависимостей интерполировано экспоненциальными кривыми. Во всем диапазоне температур энергия ЦСФМ не изменяется, что может свидетельствовать о существовании кластеров с идеальным ферромагнитным упорядочением. Уменьшение интенсивности линии ЦСФМ с увеличением температуры указывает на уменьшение числа и размера таких кластеров при сопутствующем падении степени спиновой поляризации системы.

Часть 2.

Спин-неполяризованное состояние КЭХ .

В случае фактора заполнения система электронов неполяризована по спину. Кроме магнитоплазмона в этом случае существует зеемановски расщепленная триплетная мода (с полным спином S=1). Энергия магнитоплазмона при нулевом импульсе совпадает с циклотронным резонансом. Таким образом, это возбуждение по-прежнему не даёт информации о кулоновском взаимодействии. Что касается спинового триплета, то теория возмущений первого порядка по параметру предсказывает нулевой кулоновский вклад в энергию этой моды при . Это происходит потому, что оба спиновых подуровня одинаково заполнены в основном состоянии, а потеря обменной энергии при возбуждении электрона полностью компенсируется обменной энергией и энергией экситонной связи (см.7б, в). В этой работе показано, что при в спектрах НРС линии спинового триплета сдвинуты в красную область спектра от линии магнитоплазмона на величину около 0,35meV. Отрицательный энергетический сдвиг триплетной линии объясняется поправками теории возмущений второго порядка по параметру .

Образцы и экспериментальная техника.

Исследования проводились на двух одиночных GaAs/AlGaAs квантовых ямах шириной 300А. В измеряемых образцах концентрация носителей “в темноте” составляла , а подвижность . Плотность электронов изменялась с помощью эффекта фотообеднения при подсветке HeNe-лазером, что позволяло удерживать фактор заполнения равным в широком диапазоне магнитных полей. Измерения проводились при температуре бани в 4He оптическом криостате с горизонтально расположенным соленоидом. Вставку с образцом можно было вращать вокруг вертикальной оси, меняя при этом расположение образца по отношению к силовым линиям магнитного поля (рис.13).

Рис.13. Расположение образца на вставке в криостат, а также направление силовых линий магнитного поля по отношению к нормали к образцу.

Спектры неупругого рассеяния света были получены с использованием перестраиваемого Ti/Sp-лазера с энергией 1.522…1.531 эВ и плотностью мощности, не превышающей 0.03 Вт/см2. Энергия возбуждающего лазера выбиралась в непосредственной близости от ширины запрещенной зоны GaAs (1.51эВ), что вело к увеличению интенсивности линий НРС при совпадении энергии лазерного излучения с энергиями входных и выходных резонансов в матричном элементе рассеяния. Указанный метод оптических исследований носит название резонансного комбинационного рассеяния света и подробно описан в [21]. Зависимость энергии возбуждений от импульса изучалась с помощью одного накачивающего и двух собирающих световодов. Схема расположения световодов и спектральный инструмент такие же, как описано выше для .

Экспериментальные результаты.

На рис.14А показаны типичные спектры НРС возбуждений между уровнями Ландау при импульсе . Измерения в магнитных полях (B<1T) при различных конфигурациях линейных поляризаций накачивающего и рассеянного фотонов позволили идентифицировать эти линии. Они соответствуют магнитоплазменной (MP) и бернштейновской () модам, которые являются возбуждениями зарядовой плотности. При ненулевых полях бернштейновская мода практически бездисперсионна в отличие от магнитоплазмона. В малых полях энергия магнитоплазмона равна плазменной частоте , а выходит из нулевой энергии с наклоном, соответствующим двойной циклотронной частоте. При ненулевых импульсах две моды гибридизуются, что проявляется как антипересечение линий НРС. На рис.14В, показаны магнитополевые зависимости энергий возбуждений в образце с концентрацией . Расталкивание магнитоплазмона и бернштейновской моды видно вблизи поля . В больших полях их энергии асимптотически приближаются к циклотронной энергии и двойной циклотронной энергии соответственно.

В магнитном поле, соответствующем состоянию ЦКЭХ , в красной области спектра относительно линии магнитоплазмона появляется триплетная линия. На рис.14В центральная линия триплета хорошо выделена, а боковые линии видны, как два плеча. Расщепление между линиями примерно соответствует зеемановской энергии в GaAs, т. е. они соответствуют трём циклотронным спиновым модам с разными проекциями спина на ось магнитного поля (Sz=-1,0 и 1). Боковые линии соответствуют спин-флип модам с Sz=-1 и 1, а центральный пик (Sz=0)- циклотронной спиновой волне.

Рис.14. А) Спектры НРС возбуждений зарядовой плотности в полях 0Т и 1Т. MP - магнитоплазмон, B1 – бернштейновская мода. Импульс возбуждений . Б) Спектр спинового триплета в поле 2.4Т (). |+1>,|0> и |-1>- компоненты с разной проекцией спина на ось магнитного поля.

В) Магнитополевая зависимость энергий линий НРС. Треугольники - возбуждения зарядовой плотности, круги - ЦСФМ. Штриховые линии обозначают асимптоты и .

Идентификация компонент триплетной линии подтверждается измерениями в наклонном магнитном поле, когда нормальная составляющая поля и фактор заполнения неизменны, а варьируется только тангенциальная компонента магнитного поля.

На рис.15А представлены два спектра НРС при , но разных значениях полного магнитного поля. Видно, что компоненты триплета разрешаются значительно лучше, чем в перпендикулярном поле (рис.14). В поле 4,7Т расщепление между компонентами триплета заметно больше, чем в поле 3,7Т, т. е. зеемановская энергия зависит от полного значения магнитного поля. При этом энергия центральной линии зависит только от (рис.15А).

Рис.15. А) Спиновой триплет при и разных магнитных полях(3,66Т и 4,87Т),. Б) Зеемановская энергия в зависимости от величины магнитного поля при . Штриховые линии соответствуют абсолютной величине g-факторов 0,44 (в объеме GaAs) и 0,4 (для двумерных электронов в яме).

На рис.15Б измеренное зеемановское расщепление показано, как функция полного магнитного поля . Экспериментальные данные хорошо аппроксимируются прямой, соответствующей g-фактору . Линия с короткими штрихами соответствует функции , где - эффективное значение g-фактора в объеме GaAs. Экспериментально полученное значение g-фактора находится в количественном согласии с результатами работы[16], где измерялся g-фактор двумерных электронов в - гетеропереходах в зависимости от значения магнитного поля и номера уровня Ландау.

Зависимость энергии триплетной моды от импульса изучалась при разных наклонах двух собирающих световодов к нормали образца. При этом остальные экспериментальные условия были одинаковы. На рис.16 приведены два спектра при импульсах q1=0,4´105 cm-1 и q2=1,0´105cm-1.

Рис.16. Спектры линий НРС при импульсах возбуждений q1=0,4´105 cm-1 и q2=1,0´105cm-1. Спектральные позиции компонент триплета не зависят от импульса.

, .

Энергия спинового триплета не зависит от импульса, т. е. триплетная мода является бездисперсионной в пределе . Поэтому все дальнейшие измерения производились при одном фиксированном угле собирающего световода, соответствующем импульсу 0,4´105 cm-1.

На рис.17 показана экспериментальная зависимость энергии центральной линии триплета от магнитного поля при . Из графика видно, что линия сдвинута в красную область спектра от на постоянную величину, независящую от поля (рис.17,18). Величина сдвига составляет примерно и значительно превышает максимальную зеемановскую энергию в этом диапазоне полей ( в поле 3Т). При этом линейная аппроксимация зависимости на рис.17 дает наклон такой же, как у циклотронного резонанса с эффективной массой электрона . Иначе говоря, кулоновское взаимодействие вносит постоянный отрицательный вклад в энергию спиновых возбуждений при .

Рис.17. Энергия центральной линии спинового триплета в зависимости от перпендикулярного магнитного поля в состоянии ЦКЭХ . Тонкой сплошной линией показана энергия циклотронного резонанса

с эффективной массой электронов .

Рис.18. Модуль разности циклотронной энергии и положения центральной линии триплета в зависимости от поля (0.6T<B<2.7T).

Примечательно, что поправка второго порядка по , оцененная методом размерностей, является также величиной, независящей от магнитного поля. Если положить , где , , а , то получим:

, (8)

где экситонный ридберг в GaAs . Здесь коэффициент по смыслу зависит от реальной ширины квантовой ямы, а точнее, от формы волновой функции электронов в направлении роста структуры. В идеальном двумерном случае - максимально. Чем шире яма, тем оно меньше, а ослабление кулоновского взаимодействия в реальной яме объясняется аналогично случаю .

Аналитическое вычисление поправки второго порядка теории возмущений к энергии спин-флип мод выполнено в пределе малых . Теория основана на экситоном представлении[22-24], в котором рассматриваемые возбуждения с , могут быть представлены в форме , где - основное состояние системы, а - оператор “рождения” экситона. В операторах рождения учтено изменение спина электрона и номера уровня Ландау. При этом часть кулоновского взаимодействия, соответствующая энергии связи экситона, учитывается уже в нулевом порядке теории возмущений. Нулевой и первый порядки теории возмущений дают нулевой обменный вклад в энергию как плазмона, так и спин-флип мод. Во втором порядке добавка в энергию спинового триплета ненулевая, в то время как для плазмона она и все поправки высших порядков зануляются. Детали вычисления подробно описаны в [25]. Окончательный результат выглядит следующим образом:

, (9)

где . (10)

Здесь энергия приведена в единицах , а - безразмерная Фурье компонента кулоновского потенциала, куда входит геометрический форм-фактор , зависящий от ширины ямы и концентрации электронов. Для идеальной двумерной системы в квантовой яме нулевой ширины , и суммирование в (9) легко выполняется. Это дает или в энергетических единицах . Однако в яме конечной ширины эта величина значительно уменьшается. Следует заметить, что для поправки второго порядка статический форм-фактор входит в формулу (10) в квадрате. Расчетная зависимость от ширины ямы в фиксированном поле 4,25Т приведена на рис.19, причем для ямы шириной 300А расчет дает: .

Рис.19. Модуль обменной энергии спин-флип моды при в зависимости от ширины квантовой ямы. Поле 4,25Т. Стрелкой указано значение энергии для ямы шириной 300А (как в эксперименте).

Отрицательный энергетический сдвиг спинового триплета от циклотронной частоты получен не только при , но и при факторах заполнения и , когда система также неполяризована по спину. Например, на рис.20 показаны спектры при .

Рис.20. Спектр спиновых возбуждений при факторе заполнения . Величина обменной энергии в этом случае вдвое меньше по абсолютной величине, чем для .

Следует заметить, что обменная энергия в этом случае в два раза меньше, чем для из-за большего пространственного размера волновой функции электронов на втором уровне Ландау.

Заключение.

Методом неупругого рассеяния света экспериментально получена магнитополевая зависимость кулоновской энергии циклотронных спин-флип возбуждений в состояниях ЦКЭХ. Оказалось, что кулоновский вклад в энергию возбуждений качественно зависит от степени спиновой поляризации системы. В состоянии ЦКЭХ кулоновская энергия, приобретаемая ЦСФМ, положительна. Исследовано влияние реальной ширины квантовой ямы на величину кулоновской энергии. Показано, что конечная ширина ямы приводит к существенному ослаблению электрон-электронного взаимодействия. Полученные результаты находятся в согласии с теорией возмущений первого порядка в приближении Хартри-Фока. Температурные измерения ЦСФМ при показали, что, несмотря на падение степени спиновой поляризации в целом по образцу, энергия спин-флип моды, измеренная методом НРС, остается неизменной.

При энергии циклотронных спин-флип мод смещены в красную область спектра от циклотронной частоты. Величина энергетического сдвига практически не зависит от магнитного поля и объясняется в рамках теории возмущений второго порядка в приближении Хартри-Фока. Теоретический расчет в рамках экситонного представления дает правильную величину кулоновской энергии, наблюдаемой в эксперименте.

Автор благодарен , и за выбор интересной темы исследований, частые плодотворные обсуждения и тесное взаимодействие при выполнении эксперимента. Я глубоко признателен всему коллективу ЛНЭП ИФТТ РАН за теплое отношение и деловую атмосферу.

Литература.

[1] T. Ando, A. B.Fowler, and F. Stern. Rev. Mod. Phys. 54, 437(1982).

[2] D. C. Tsui, H. L. Stormer, Phys. Rev. Lett. 48, 1

[3] J. K. Jain, Adv. in Physics 41,

[4] «Квантовый эффект Холла» под. ред. Р. Пранджа, С.Гирвина, Мир.1989.

[5] A. Usher, R. J.Nicholas, J. J.Harris, C. T.Foxton, PRB 41, 1129(1990).

[6] A. Schmeller, J. P.Eisenstein, L.N. Pfeiffer, K.W. West, PRL 75,4290(1995)

[7] V. T.Dolgopolov, A. A.Shashkin, A. V.Aristov, D. Schmerek, W. Hansen, J. P.Kotthaus, M. Holland, Phys. Rev. Lett. 79, 729(1997).

[8] V. S.Khrapai, A. A.Shashkin, E. L.Shangina, V. Pellegrini, F. Beltram, G. Biasiol, L. Sorba, Phys. Rev. B 72, 035

[9] V. S.Khrapai, A. A.Shashkin, V. T.Dolgopolov, Phys. Rev. B 67,113305(2003)

[10] M. A.Wilde, M. Rhode, Ch. Heyn, D. Heitmann, D. Grundler, U. Zeitler Phys. Rev. B 72, 165

[11] Yu. A.Bychkov, S. V.Iordanskii, G.M. Eliashberg, JETP Lett. 33,143(1981).

[12] C. Kallin, B. I.Halperin, Phys. Rev. B 30,5655(1984).

[13] A. P.Smith, A. H.MacDonald, and G. Gumbs, Phys. Rev. B 45, 8829(1992).

[14] I. V.Kukushkin, K. von Klitzing, K. Eberl, Phys. Rev. B 55,10607(1997).

[15] W. Kohn, Phys. Rev. 123, 1242(1961).

[16] M. Dobers, K. von Klitzing, G. Weimann, Phys. Rev. B 38, 5453(1988).

[17] A. Pinczuk, B. S.Dennis, D. Heiman. C.Kallin, L. Brey, C. Tejedor, S. Schmitt-Rink, L. N.Pfeiffer, K. W.West, Phys. Rev. Lett. 68, 3623(1992).

[18] L. V.Kulik, I. V.Kukushkin, V. E.Kirpichev, J. H.Smet, K. von Klitzing, W. Wegscheider, Phys. Rev. B 63, R201402(2001).

[19] I. V.Kukushkin and V. B.Timofeev, Adv. Phys. 45, 147(1996).

[20] A. Pinczuk, J. P.Valladares et al., Phys. Rev. Lett. 61, 2701(1988).

[21] Daw-Wei Wang and S. Das Sarma, PRB, 65, 125322(2002).

[22] A. B.Dzyubenko and Yu. E.Lozovik, Sov. Phys. SolidState 25, 874(1983).

[23] S. Dickmann, Phys. Rev. B 65, 195310(2002).

[24] S. Dickmann, S. V.Iordanskii, JETP 83, 128(1996).

[25] S. Dickmann and I. V.Kukushkin, Phys. Rev. B 71, 241310(R)(2005).