Теория и методы оперативного управления техногенными процессами в гидролитосфере (стр. 2 )

Сложность, масштабность и неповторимость геологических объектов создают довольно серьезные проблемы, связанные не только с построением системы управления геологическими объектами, но и с их изучением вообще.

Построение точных моделей очень важно как с позиций изучения физики объекта и оценки эксплуатационных запасов, так и обоснования системы оперативного управления, которая охватывает все стадии изучения и эксплуатации геолого-технических объектов.

При построении моделей необходимо учитывать общие принципы:

1. Адекватность. Предусматривает соответствие модели целям исследования по уровню сложности и организации, а также соответствие реальному объекту относительно выбранного множества свойств и поставленной задаче. Модели, дающие максимально подробное описание системы, называют имитационными. Они используются в основном для целей чисто теоретического характера. Модели, описывающие основные внутренние механизмы, управляющие развитием системы в целом, называют качественными. С такими моделями приходится сталкиваться в большинстве случаев при решении конкретных задач.

2. Принцип минимизации размерности описания. Модели по своей природе всегда носят приближенный характер. Если в имитационной модели необходимо учитывать как можно больше деталей, то качественная, напротив, должна содержать их как можно меньше. Компромисс между этими требованиями определяется соотношением «точность/сложность». Минимизация описания достигается:

- уменьшением числа переменных за счет исключения несущественных, или их объединением;

- изменением природы переменных параметров. Переменные параметры рассматриваются в качестве постоянных, дискретные - в качестве непрерывных;

- изменением функциональных зависимостей между переменными: дискретные функции заменяются непрерывными, нелинейные представляются как линейные;

- ограничением точности модели. Точность модели не может быть выше точности исходных данных.

3. Принцип верификации. По мере насыщения модели информацией адекватность ее меняется. Ряд факторов, никак не проявившихся на начальных этапах формирования модели и неучтенных в ее структуре, может привести к серьезным погрешностям. По этой причине приходится прибегать к периодическому чередованию процедур прогноза и проверки точности с последующей ее корректировкой, которая может осуществляться следующим образом:

- по мере поступления информации структура модели не меняется, уточняются лишь коэффициенты модели;

- по мере поступления информации производится изменение самой структуры модели, более точно отражающей внутренние механизмы функционирования объекта.

4. Блочное строение. Модели строятся по блочному принципу, которые выделяются по этапам и режимам функционирования системы. Такой подход существенно упрощает построение модели и все дальнейшие ее модификации.

Перечисленные требования, являются общими, и не учитывают специфики объекта. В то же время специфичность объектов проявляется в любой отрасли и естественно закладывается в виде дополнительных принципов и требований, по которым формируется модель.

В практике исследований широкое распространение получили в основном два вида моделей: гидравлические и математические.

Гидравлические модели – мера вынужденная. Они используются в условиях малой изученности, когда получение необходимого объема информации для построения математической модели по каким-либо причинам невозможно или экономически нецелесообразно. Гидравлические модели требуют минимального объема информации, основаны на фактически наблюдаемой реакции объекта на возмущение и экстраполяции этих данных на перспективу. Следует иметь в виду, что, говоря о гидравлических моделях, чаще всего подразумевают все-таки комбинацию методов гидравлики и гидродинамики, и правильнее называть такие модели комбинированными. Расчетная зависимость, описывающая динамику поведения уровня в скважине, имеет вид:

(18), где Si – общее понижение уровня в рассматриваемой скважине, которое складывается из срезок: S0 – от работы рассматриваемой; Sj – срезки уровня в рассматриваемой от влияния взаимодействующих; St – срезка уровня, происходящая с течением времени; t – текущее время; n – количество взаимодействующих скважин. Знак «Ñ» под суммой указывает, что из нее исключается срезка от рассматриваемой. Если скважины располагаются в виде геометрических схем (линейные, кольцевые, площадные), то рассматривается схема обобщенных систем, согласно которой группа взаимодействующих скважин представляется как «большой колодец» с некоторыми усредненными параметрами и дебитом равным сумме дебитов всех взаимодействующих скважин.

Конечно, гидравлические модели не раскрывают физической сути объекта, не дают возможности установить водный баланс, однако преимущество их заключается в том, что фактически установленные срезки комплексно учитывают все сложности объекта, а также влияние климатических факторов (неоднородность, граничные условия, инфильтрационное, глубинное питание, испарение и т. д.).

Автором разработана методика краткосрочного прогнозирования, которая используется в системах оперативного управления водозаборными сооружениями, состоящими из большого числа взаимодействующих скважин. С помощью таких прогнозов производится расчет оптимального варианта текущей эксплуатации каждой скважины, рациональный подбор погружного насосного оборудования, планирование ремонтных работ. То есть, основная задача краткосрочного прогнозирования – контроль и управление работой конкретного водозабора.

В работе рассмотрена гидравлическая модель Куюлусского месторождения, которая использовалась в системе оперативного управления работой водозаборных скважин в период с 1982 по 1991 гг. Прогнозное понижение динамического уровня определялось по расчетной зависимости:

(19),

где DQi; DQbi – изменение дебита скважины и блока скважин (рассматриваемой и ближайших по обе стороны от нее); V – районные темпы снижения уровня; Ci – удельное понижение скважины; Сbi – удельное понижение блока скважин; Dt – временной шаг прогнозирования. Все коэффициенты уравнение (19) определяются непосредственно и данных мониторинга за уровнем и дебитом эксплуатационных и наблюдательных скважин. Погрешность прогнозных оценок не превышает 10%.

Математические модели строятся на принципах сохранения энергии или баланса, чаще всего это так называемые динамические модели, в основе которых лежит описание объекта дифференциальными уравнениями с определяемыми по эмпирическим данным параметрами. В общем случае система исходных дифференциальных уравнений, описывающих пространственный процесс фильтрации, может быть представлен следующим образом:

(20),

где: h* - упругоемкость пласта; kx, kx, kz – коэффициенты фильтрации по соответствующим координатам, Н - функция напора; Решение системы (20) затруднительно в силу сложности практического определения вертикальных фильтрационных свойств объекта (kz), и схематизацией допускается переход на плоско пространственные модели. В этом случае (20) преобразуется к следующему виду:

(21),

где: m* - водоотдача пласта; bk, bn – параметр перетекания относительно водоупорного пласта, залегающего в кровле и подошве; Hk, Hn – напоры в смежных водоносных горизонтах соответственно; km – водопроводимость пласта.

Уравнения дополняются условиями однозначности, представляющими собой совокупность начальных и граничных условий.

Решение (20), (21) выполняется численными методами по различным схемам. В настоящее время известны явные, неявные, явно-неявные методы, которые реализованы в многочисленных программах (PLASТ, ТОПАЗ,.Mod Tech, МИФ-3D и др.), и с этих позиций, решение особых трудностей не вызывает. Более сложной задачей является корректировка параметров модели. Если система дифференциальных уравнений, даже с учетом общепринятых допущений, и методов численного решения довольно точно описывает физический процесс фильтрации, то вопросы параметрического обеспечения модели разработаны в недостаточной степени. Конечно, методические приемы опытно-фильтрационных исследований, изложенные во второй главе, дают возможность определить их с погрешностью до 10%, однако это точечные оценки, которые ко всему прочему определены по редкой сети скважин. Эти параметры используются при формировании первоначальной модели, и по мере насыщения ее информацией должны эпизодически корректироваться.

Построение фильтрационной схемы предполагает выполнение схематизации, то есть, обоснование ряда позиций постановки задачи, определяющих выбор метода и техники вычислительных операций, обуславливающих однозначность получаемого результата. Условия однозначности, в частности начальные условия, формулируются в двух постановках:

t = 0; Q = 0; S = 0;

t = 0; Q = 0; Н =Нст,

где Q – дебит возмущения пласта; S – понижение уровня в водоносных горизонтах; Нст – статическое положение уровня в водоносных горизонтах до начало возмущения.

В большинстве задачах гидродинамики начальные условия формулируются в первой постановке. Рассчитывается понижение, а прогнозный уровень определяется путем вычитания расчетного понижения от статического уровня. Это очень удобно, однако для целого класса задач, например, массопереноса, такая постановка неприемлема, поскольку формирование химического состава определяется не приращением, а общим балансом вертикальных и латеральных составляющих подземного потока.

Предлагается следующий алгоритм решения стационарной задачи.

1. Область фильтрации разбивается равномерной или неравномерной сеткой с определенным шагом по плановым координатам, и для центра каждого блока путем интерполяции устанавливается значение статического уровня (Нi).

2. Производится вычисление модуля перетока (глубинного питания) для каждого блока модели и для каждого горизонта при допущении, что глубинная подпитка самого нижнего в разрезе горизонта равна нулю. Это допущение вполне справедливо, поскольку с увеличением глубин, фильтрационные свойства горизонтов резко снижаются. Для самого нижнего k-го горизонта дискретный аналог дифференциального уравнение имеет вид:

(23), где Wk – глубинное питание (модуль) нижнего в разрезе водоносного горизонта.

Если принималась равномерная сетка дискретизации плановых координат (Dх = Dу = DL), модуль перетока для каждого блока кусочно-однородной области может определяться из выражения:

(24).

3. Производится контроль вычислений. На нестационарной модели изолируется нижний горизонт путем задания параметров перетекания в кровли и подошве равными нулю, и вводится, рассчитанное по (24), глубинное питание. Если расчеты выполнены корректно, то положение пьезометрической поверхности будет неизменным на любой момент времени.

4. Далее рассчитывается параметр перетекания между самым нижним и вышележащим смежным горизонтом:

(25), где Нi,к-1 – положение статического уровня в центре блока смежного вышезалегающего по разрезу водоносного горизонта.

5. Аналогичная процедура выполняется по остальным горизонтам.

После того как будут установлены параметры перетекания между горизонтами, их задают в модель. Если ввод данных был произведен корректно, то модельная поверхность будет соответствовать природной и не зависеть от времени.

Верификация модели заключается в уточнении по данным опыта эксплуатации параметров водопроводимости (km), водоотдачи (m*) и перетекания (b).

Постановка задачи следующая. Имеется ряд наблюдений за динамикой уровня в эксплуатационных скважинах и скважинах наблюдательной сети, режим эксплуатации объекта, особенности его геолого-гидрогеологического строения. Необходимо уточнить параметры водоносного горизонта: водопроводимость, водоотдачу, коэффициент перетекания, граничные условия. Рассматривается плоско-пространственная задача, описываемая дифференциальным уравнением (21). Фильтрационная среда принимается кусочно-однородной.

Задача решается на модели путем прогонки ряда вариантов с различными значениями цифровых параметров водоносных горизонтов вводимых по определенному алгоритму. Начальные условия принимаются в первой постановке. В качестве критерия адекватности использовалось среднеквадратичное отклонение модельных данных от фактических, вычисляемое по формуле:

(26),

где: Sjм, Sjф – соответственно модельное и фактическое понижение уровня в рассматриваемой наблюдательной скважине (блоке): n – количество точек наблюдения в выбранном диапазоне временного интервала.

Условия на границах, геометрические размеры и количество водоносных горизонтов устанавливаются на основании данных геолого-гидрогеологических работ. Фильтрационная среда принимается кусочно-однородной. Границы смены фильтрационных свойств выделяют по геолого-тектоническим признакам и контролируются наблюдательной сетью. То есть, каждый элемент среды должен быть охарактеризован режимом хотя бы одной наблюдательной скважины. Очень полезными здесь могут оказаться данные сейсморазведки, тогда выделение блоков будет более обоснованным.

Решения задачи начинается по схеме снизу-вверх. При этом принимается допущение, что подпитка из недр в самый нижний изучаемый горизонт, не происходит или же ей можно пренебречь. Процедура решения задачи представляет собой однотипный алгоритм, который реализуется по следующей схеме.

1. На первом этапе в модель вводятся гидродинамические параметры, полученные по результатам опытно-фильтрационных работ. Для самого нижнего водоносного горизонта задается некоторый диапазон значений параметров по схеме, представленной на рис.5. Параметры остальных горизонтов (при изучении рассматриваемого) не меняются.

2. На модели воспроизводится фактический режим эксплуатации, и для каждого из выбранного набора параметров в интересующем диапазоне временного интервала, определяют понижение уровня в блоках, моделирующих наблюдательные скважины (для нижнего водоносного горизонта). Далее, сопоставляя модельные и фактические понижения на одноименные моменты времени, рассчитывается среднее значение стандартного отклонения (d). Здесь следует уточнить о какой ошибке идет речь. Дело в том, что информация, собранная в полевых условиях не отличается высокой точностью по целому ряду причин, и чтобы получить более объективные оценки, сопоставляются не единичные точки, а средняя погрешность за весь временной интервал для выбранного набора параметров.

3. Если полученные решения изобразить графически, то для каждого параметра (bi) можно построить унимодальную поверхность, изображенную на рис.6. Проекция точек поверхности, имеющих минимальные погрешности, на плоскость km ¸ m*, дает некоторую кривую АВ, у которой в точке С будет наблюдаться наименьшее из всех значение стандартной ошибки.

То есть, для каждого фиксированного параметра перетекания (bi) найдется свое соотношение водопроводимости (kmi) и водоотдачи (m*i), обеспечивающих минимум погрешности. Параметры горизонта подбираются по абсолютному минимуму стандартной погрешности (рис.7.).

4. Изменение параметров в отдельных блоках или в разрезе модели естественно приведет к изменению фильтрационных потоков и пьезометрических напоров. То есть, будет оказываться параметрическое возмущение пласта. По этой причине приходится прибегать к итерационному процессу. Суть его заключается в следующем. Как уже указывалось, вся область фильтрации разбивается на кусочно-однородные зоны, каждая из которых контролируется своей наблюдательной скважиной (скважинами). Отыскание параметров выполняется последовательно для каждой зоны при фиксированных параметрах в остальных. После того как процесс отыскания в рассматриваемой зоне будет завершен, полученные параметры вводятся в модель и переходят к аналогичной процедуре в следующей зоне.

Счет заканчивается после выполнения условия:

(27),

где: d k+1, d k – погрешность после к+1 и к-того шага итерации; e - заданная точность.

 

Рис.5. Схема задания параметров при направленном поиске.

5. Определив параметры самого нижнего горизонта, их вводят в модель и приступают к аналогичной процедуре определения параметров водоносных горизонтов, располагающихся выше по разрезу.

 

Рис.6. Зависимость стандартной ошибки от параметров горизонта.

 

Рис.7. График для определения параметров горизонта.

Четвертая глава «Управление режимами эксплуатации водоносных систем» посвящена вопросам управления режимами эксплуатации водоносных систем. Вопросам управления придается огромное значения в области технических систем и теория автоматического управления (ТАУ) разработана наиболее полно. Здесь можно отметить известные работы авторов Г, А, М, М, , А, Портера А, А, В,

Геологические объекты в отличие, например, от технических, обладают некоторыми особенностями. Основные из них заключаются в том, что технические объекты создаются конкретными исполнителями, и все параметры эксплуатации их известны. Известно также их строение, система планово-предупредительных ремонтов, система технического обслуживания и сроки эксплуатации.

Геологические объекты этими свойствами не обладают. Строение их, как правило, до конца неизвестно. Изучение требует значительных затрат, которое сопровождает весь процесс эксплуатации месторождения, даже после завершения его разработки. Основной задачей изучения подобных объектов является создание технологической схемы разработки, являющейся своего рода инструкцией, согласно которой осуществляется эксплуатация. Этим документом предусматривается также обоснование оптимальных режимов эксплуатации.

В этой связи в общей задаче управления геологическими объектами можно выделить два аспекта. Первый связан с решением задачи оптимизации, которая вытекает из конкретики объекта, и направлена на обоснование режимов эксплуатации, обеспечивающих минимальное воздействие не геологическую среду. Второй - непосредственно с обоснованием и реализацией системы управления, обеспечивающей достижение поставленной задачи.

Обоснование оптимальных режимов эксплуатации

Общая оптимизационная задача может быть сформулирована следующим образом. Предположим, что состояние системы зависит от N параметров х1, х2, …, хN, на которые накладываются некоторые ограничения ai £ хi £ βi

Рассматривается некоторая функция F (целевая функция), зависящая от этих параметров F = f(х1, х2, …, хN).

Требуется найти точку (х00,) = {х10, х20… хn0} в N – мерном пространстве, принадлежащую области Vd , в которой значение критерия оптимальности экстремально:

F = F(х10, х20… хn0) ® extr

ai £ хi £ βi (28).

{х10, х20… хn0} Î Vd .

Оптимальный режим эксплуатации объекта не означает, что функционирование всех его элементов должно быть оптимальным. Для получения решения вполне достаточно чтобы один из критериев, наиболее важный для данной задачи, и принятый за целевую функцию был оптимален. Остальные могут представляться в виде системы ограничений или не учитываться вообще.

Как показывает практика, все многообразие критериев можно объединить в две группы. Первая из них связана с оптимизацией технологических процессов, технических или экономических условий эксплуатации оборудования. Их можно назвать технико - экономическими. Это не строгие критерии. Несоблюдение их ведет в основном к экономическим потерям, не отражаясь существенным образом на состоянии геологического объекта в целом.

Вторая группа объединяет критерии, которые прямо или косвенно определяют уровень активности развития в системе техногенных процессов, характеризующихся устойчивыми негативными тенденциями или необратимостью. Эти критерии используются при формировании целевой функции, системы ограничений, на их основе производится эколого - гидродинамическое районирование и оценка экологического потенциала системы. Под последним термином следует понимать способность сохранять качественный состав и ресурсы подземных вод в условиях техногенного воздействия. Районирование выполняется с целью пространственного отображения основных факторов и обоснования доминирующего. На схеме районирования в обязательном порядке (по ) отражаются:

1. Особенности техногенной нагрузки.

2. Характер гидравлической связи подземных и поверхностных вод.

3. Пространственные закономерности и структура подземного потока.

4. Гидрогеохимические условия объекта.

Районирование представляется в виде карт (схем) и позволяет установить предельный уровень безопасной нагрузки на различные зоны объекта, сформулировать систему ограничений.

При эксплуатации подземных водозаборов задача фактически сводится к определению понижения динамического уровня в эксплуатационных скважинах. Запасы считаются обеспеченными при условии, что положение динамического уровня в любой водозаборной скважине на конец расчетного периода не будет больше допустимого, а качество воды будет соответствовать заданному диапазону.

Решение задач подобного класса известно. Обычно они решаются подбором дебита отдельных водозаборов. При таком подходе, принимаемый в качестве окончательного вариант распределения дебитов является одним из возможных, однако он не гарантирует максимально возможную величину водоотбора. Задачу о получении максимального дебита из группы взаимодействующих водозаборов можно решить с использованием методов линейного программирования, например, симплекс-метода, или других. Целесообразность использования линейного программирования определяется тем, что оно позволяет найти максимальное или минимальное значение некоторой линейной функции при заданной системе ограничений, представляющих собой систему алгебраических неравенств.

Математическая постановка задачи может быть представлена в следующем виде:

(29),

где: Hi(tк ) – положение динамического уровня в i-том (рассматриваемом) водозаборном сооружении на конечный срок эксплуатации; H0i – начальное (статическое) положение уровня в рассматриваемом i-том водозаборе; Qi; Сi – дебит скважины (водозабора) и удельное понижение соответственно; Qj; Сj – соответственно дебит j-того взаимодействующего водозабора (скважины) с i-тым и коэффициент гидравлического взаимодействия водозаборов (скважин); Нid – предельно возможное понижение уровня в рассматриваемом каптаже; tк – расчетный срок эксплуатации водозабора.

Для оперативного управления такая постановка малопригодна. Во-первых, неизвестно какое должно быть положение динамического уровня на текущий момент времени, во-вторых, предельное положение уровня привязывается к расчетным срокам эксплуатации tk, которое согласно нормативам принимается равным 25-50 лет, однако соответствует это фактическому положению дел, вопрос открытый.

Положим, что известно предельное положение уровня в любом водозаборном сооружении никак не привязанное к нормативным срокам эксплуатации объекта. Известна заявленная потребность в воде, а, следовательно, и общий водоотбор. Независимо от конечных сроков эксплуатации, обеспечим такое распределение общего водоотбора между каптажными сооружениями, чтобы на любой текущий момент ( t ) выполнялось условие:

где: Hi(t) – текущее положение динамического уровня; k0 – некоторый коэффициент пропорциональности. где: mmin, mmax – соответственно минимальное и максимально допустимое значение минерализации подземных вод; mc – среднее значение минерализации смеси общего потока. При F = 0:

(30).

Фактически (30) означает, что оптимальным режимом эксплуатации является такой, который обеспечивает одинаковое соотношение динамического уровня к предельно допустимому во всех каптажах (при стационарном режиме), или же равномерную и пропорциональную сработку динамического уровня (нестационарный режим). То есть, предельное положение уровня во всех точках будет достигнуто одновременно.

Конечно, это самый распространенный случай, но далеко не единственный. Оптимальный режим, исходя из природных условий объекта, может быть и иным, и в качестве критеральной функции рассматриваться другая. Например, при подсосе в процессе эксплуатации, минеральных вод из более глубоких, гидравлически связанных водоносных горизонтов, в качестве критериальной функции может рассматриваться предельно возможная разница в напорах смежных горизонтов, обеспечивающая минимальное количество поступающих солей, или же вообще ставиться задача о сохранении кондиционного состава подземных вод. Однако в любом случае, речь будет идти об управлении гидродинамическими процессами, поскольку они первичны. Изменение минерального состава или микробиологических свойств – вопрос вторичный, вызванный техногенной нагрузкой на объект, и решение подобных задач в любом случае будет связано с обоснованием гидродинамических режимов эксплуатации объекта.

Общие принципы управления

Изменение водного баланса обуславливает развитие целого ряда процессов, происходящих в водоносных горизонтах. Изменяются динамические уровни, минеральный состав подземных вод, активизируются вертикальные перетоки разной направленности, температурный режим и т. д. Если в процессе эксплуатации какой-либо параметр должен соответствовать определенному значению, то его называют регулируемым и необходима постановка задачи управления.

Эксплуатация водоносных горизонтов осуществляется, как правило, системой взаимодействующих скважин, расположенных в виде определенных геометрических схем. Могут быть линейные, кольцевые или площадные системы, объединенные общими транспортными коммуникациями. Скважины располагаются на некотором удалении друг от друга, с определенным шагом, который обосновывается геологоразведочными работами и соответствующими гидравлическими расчетами. Чем меньше шаг между скважинами, тем больше их взаимодействие и естественно общая величина депрессионной воронки. С увеличением расстояния между скважинами, взаимодействие их существенно снижается, но увеличивается протяженность транспортных коммуникаций и эксплуатационные затраты. По этой причине приходится выполнять целый комплекс технико-экономических и гидравлических расчетов, обосновывающих оптимальность схемы.

Положим, что имеется несколько эксплуатационных и несколько наблюдательных скважин. Требуется разработать систему управления режимами эксплуатации, обеспечивающую заданные гидродинамические параметры в некоторых точках (например, управляя дебитом, обеспечим заданные уровни понижения уровня в точках расположения наблюдательных или эксплуатационных).

Формально рассматриваемая задача описывается следующим образом. Имеется объект управления, у которого определены вектор входных воздействий и вектор функций выхода. Требуется синтезировать регулятор, обеспечивающий перевод вектора функции выхода в наперед заданное состояние, путем управления вектором входных воздействий.

Наиболее простой путь решения поставленной задачи заключается в следующем. Положим, что имеется математическая модель, описывающая взаимосвязь гидродинамических параметров эксплуатационных и наблюдательных скважин. Тогда задав в скважинах требуемые гидродинамические параметры, используя математическую модель, определим требуемые параметры вектора входного воздействия. Такой подход называется программным управлением (или решением задачи управления по разомкнутому циклу). Как известно, математические модели рассматриваемых процессов описываются сложными дифференциальными уравнениями, при этом параметры, входящие в модели, зависят от пространственных координат (например, коэффициент фильтрации или водоотдача рассматриваемого пласта). По этому аналитическое решение поставленной задачи затруднено. Портером показано, что рассматриваемые системы (по разомкнутому циклу) достаточно чувствительны к параметрическим возмущениям (например, к изменениям коэффициента фильтрации). Менее чувствительны к параметрическим возмущениям замкнутые системы управления.

Рассмотрим методы синтеза регуляторов для построения замкнутых систем управления. Выделим два сложившихся на сегодняшний день подхода: решение методами сосредоточенных систем и решение методами систем с распределенными параметрами.

Решение методами сосредоточенных систем предполагает, что в результате экспериментальных исследований получена матрица передаточных функций, связывающая j-тый вход с i-тым выходом.

Если модули диагональных элементов матрицы W много больше суммы модулей остальных элементов соответствующей строки, то матрица W обладает свойством диагональной доминантности. Для диагонально доминантных матриц удается частотными методами синтезировать регулятор. Известно (, и др.), что если передаточная матрица разомкнутой системы не имеет полюсов, лежащих в правой полуплоскости действительных и мнимых чисел, то для устойчивости замкнутой системы достаточно, чтобы спектры Гершгорина разомкнутой системы (объект + регулятор) не охватывали точку с координатами ; .

Синтезированный регулятор связывает j-тый вход с j-тым выходом, а при вычислении управляющего воздействия регулятор учитывает состояние только j-того выхода.

В рассматриваемой задаче диагональная доминантность отражает взаимовлияние эксплуатационных скважин на наблюдательные. Если каждая j-я эксплуатационная скважина влияет только на j-тую наблюдательную, то матрица W будет диагональной, а, следовательно, для управления параметрами каждой водозаборной скважины, возможно синтезировать свой регулятор, не учитывающий состояние других измерительных скважин.

Если взаимосвязь между j-той добывающей скважиной i-той наблюдательной () существует, но матрица W обладает свойством диагональной доминантности. Тогда синтез регуляторов осуществляется с использованием спектров Гершгорина. Следует отметить, что в этом случае, при синтезе рассматриваемой системы управления мы вынуждены искусственно занижать коэффициенты усиления регулятора (плата за не учет взаимовлияния между j-ой добывающей и i-той контрольной скважинами), что приводит к ухудшению точностных и динамических характеристик системы.

Если матрица W не обладает свойством диагональной доминантности, т. е. взаимосвязи между j-той добывающей и i-той наблюдательной скважинами достаточно существенны, и их нельзя не учитывать, то обычно применяют методы синтеза систем с распределенными параметрами (математические модели таких систем содержат пространственные координаты).

Иными словами, если скважины располагаются на достаточном удалении друг от друга, и взаимовлияние их можно представить как некоторое внешнее воздействие, не очень значительное по активности, то можно рассматривать задачу управления сосредоточенной системой. В противном случае управление должно базироваться на схемах используемых в системах с распределенными параметрами. В первом случае речь идет об управлении гидродинамическими параметрами в заданной точке, во втором – управлении полем (например, полем пьезометрического уровня или давления).

Полагая достаточным условием, что удельное гидравлическое влияние скважины будет на порядок больше, чем удельное гидравлическое влияние ближайшей взаимодействующей скважины , получим простое соотношение:

(31)

где: R – радиус влияния скважины; Dх – шаг расположения скважин; rc – радиус скважины с учетом скин-эффекта.

Из расчетов следует, что при расположении скважин с шагом равным половине радиуса влияния или большим, систему можно рассматривать как сосредоточенную, распадающуюся на ряд параллельных независимых управляемых элементов.

При проектировании и сооружении водозаборных объектов это условие, как правило, соблюдается, и в большинстве случаев систему управления можно строить по схеме сосредоточенных. Однако есть большой класс задач, например массопереноса, где такой подход невозможен. Такие задачи следует решать методами систем с распределенными параметрами.