Основы теории линий передачи СВЧ (стр. 2 )

Свойства линии без потерь. В линии без потерь погонные параметры R1 = 0 и G1 = 0. Поэтому для коэффициента распространения k и волнового сопротивления W получим

;

a = 0; b = ; . (1/20)

С учетом этого выражения для напряжения и тока (1.15) примут вид:

U = Uн cos(bz) + IнWsin(bz);

I = Iн cos(bz) + (Uн / W) sin (bz). (1.21)

При выводе этих соотношений учтено, что ch(jbz) = cos(bz); sh(jbz) = jsin(bz). Рассмотрим конкретные примеры работы линии без потерь на простейшие нагрузки.

Разомкнутая линия. В этом случае ток, протекающий через нагрузку равен нулю (Iн = 0), поэтому выражения для напряжения, тока и входного сопротивления в линии принимают вид:

U = Uн cos(bz); I = j(Uн / W) sin (bz);

Zвх = U / I = -jWctg(bz) = jXвх; b = 2p / lл. (1.22)

На рис. 1.14 эти зависимости проиллюстрированы графически. Из соотношений (1.22) и графиков следует:

в линии, разомкнутой на конце, устанавливается режим стоячей волны, напряжение, ток и входное сопротивление вдоль линии изменяются по периодическому закону с периодом lл / 2; входное сопротивление разомкнутой линии является чисто мнимым, за исключением точек с координатами z = nlл / 4, n = 0, 1, 2,...; если длина разомкнутой линии меньше lл /4, то такая линия эквивалентна емкости; разомкнутая на конце линия длиной lл эквивалентна последовательному резонансному на рассматриваемой частоте контуру и имеет нулевое входное сопротивление.

Замкнутая линия. В этом случае напряжение на нагрузке равно нулю (Uн = 0), поэтому напряжение, ток и входное сопротивление в линии принимают вид:

U = jIнWsin(bz), I = Iнcos(bz);

Zвх=U / I = jWtg(bz) = -jXвх. (1.23)

На рис. 1.15 эти зависимости проиллюстрированы графически.

Используя результаты предыдущего раздела, нетрудно самостоятельно сделать выводы о трансформирующих свойствах коротко-замкнутой линии. Отметим лишь, что в замкнутой линии также устанавливается режим стоячей волны. Отрезок короткозамкнутой линии, длиной меньше lл / 4, имеет индуктивный характер входного сопротивления, а при длине lл / 4

такая линия имеет бесконечно большое входное сопротивление на рабочей частоте. Это свойство короткозамкнутого четвертьволнового отрезка линии позволяет использовать его в практических устройствах как «металлический изолятор».

Линия, нагруженная на емкость. Как следует из анализа работы разомкнутой линии, каждой емкости С на данной частоте «можно поставить в соответствие отрезок разомкнутой линии длиной меньше lл / 4. Емкость С имеет емкостное сопротивление jXC = j / wС. Приравняем величину этого сопротивления к входному сопротивлению разомкнутой линии длиной l < lл / 4:

-j / wС = -jWctg(bl).

Отсюда находим длину линии l, эквивалентную по входному сопротивлению емкости С:

l = (l / b)arctg[wCW].

Зная эпюры напряжения, тока и входного сопротивления разомкнутой линии, восстанавливаем их для линии, работающей на емкость (рис. 1.16). Из эпюр следует, что в линии, в этом случае, устанавливается режим стоячей волны.

При изменении емкости эпюры сдвигаются вдоль оси z. В частности, при увеличении емкости емкостное сопротивление уменьшается, напряжение на емкости падает, и все эпюры сдвигаются вправо, приближаясь к эпюрам, соответствующим короткозамкнутой линии. При уменьшении емкости эпюры сдвигаются влево, приближаясь к эпюрам, соответствующим разомкнутой линии.

Линия, нагруженная на индуктивность. Как следует из анализа работы замкнутой линии, каждой индуктивности L на данной частоте w можно поставить в соответствие отрезок замкнутой линии длиной меньше lл / 4. Индуктивность L имеет индуктивное сопротивление jXL = jwL. Приравняем это сопротивление к входному сопротивлению замкнутой ли­нии длиной l < lл / 4: jwL = jWtg(bl). Отсюда находим длину линии l, эквивалентную по входному сопротивлению индуктивности L:

l = (l / b)arctg(wL / W).

Зная эпюры напряжения, тока и входного сопротивления замкнутой на конце линии, восстанавливаем их для линии, работающей на индуктивность (рис. 1.17). Из эпюр следует, что в линии, работающей на индуктивность, также устанавливается режим стоячей волны. Изменение индуктивности приводит к сдвигу эпюр вдоль оси z . Причем с увеличением L эпюры сдвигаются вправо, приближаясь к эпюрам холостого хода, а с уменьшением L – влево по оси z, стремясь к эпюрам короткого замыкания.

Линия, нагруженная на активное сопротивление. В этом случае ток и напряжение на нагрузке Rн связаны соотношением Uн = IнRн. Выражения для напряжения и тока в линии (1.21) принимают вид:

U = Uн cos(bz) + jIн(W / Rн)sin(bz);

I = Iн cos(bz) + j(Rн / W) sin (bz).

Рассмотрим работу такой линии на примере анализа напряжения. Найдем из (1.24) амплитуду напряжения в линии:

|U| = Uн. (1.25)

Отсюда следует, что можно выделить три случая: 1) Rн = W; 2) Rн > W; 3) Rн < W.

Впервом случае из (1.25) следует |U| = Uн, т. е. напряжение вдоль линии остается постоянным, равным напряжению на нагрузке. Это соответствует режиму бегущей волны в линии.

Во втором случае (W / Rн<1) анализ соотношения (1.25) показывает, что максимумы напряжения Umax определяются из условий sin2(bzmax) = 0; cos2(bzmax) = l, где zmax – продольные координаты максимумов напряжения zmax = nlл / 2, п = 0,1,2,... При этом напряжение в максимуме определяется равенством Umax = Uн. Отсюда следует, что на нагрузке линии образуется максимум напряжения. Минимумы напряжения определяются из условий sin2 (bzmin) = 1, cos2 (bzmin) = 0, где zmin – продольные координаты минимумов напряжения: zmin = lл / 4 + nlл / 2, n = 0,1,2,... При этом напряжение в минимуме определяется уравнением Umin = UнW / Rн. Таким образом, при Rн > W Kсв = Umax / Umin = Rн / W.

Рис. 1.18. Эпюры напряжения в линии, работающей на активное сопротивление

Рассуждая аналогично применительно к третьему случаю, можно показать, что при Rн < W в конце линии устанавливается минимум напряжения, и zmin = nlл / 2, n = 0,l,2,...,Umin =Uн. При этом координаты напряжения определяются равенством zmax = lл / 4 + nlл / 2, п = 0,1,2,..., а значение напряжения в максимумах Umax = UнW / Rн. В этом случае Kсв = W / Rн. На рис. 1.18 представлены эпюры напряжения в линии для всех трех рассмотренных случаев. Из графиков следует, что при работе линии на активное сопротивление в ней устанавливается режим смешанных волн, за исключением случая Rн = W, при котором устанавливается режим бегущей волны, и вся мощность выделяется в нагрузке.

Определим входное сопротивление линии, нагруженной на активное сопротивление, используя выражение для напряжения и тока (1.24):

Выделяя здесь действительную и мнимую части, находим:

;

. (1.26)

Рис. 1.19. Эпюры напряжения и входного сопротивления в линии нагруженной на активное сопротивление

Зависимости Rвх и Xвх от z для случая Rн > W приведены на рис. 1.19. Здесь же представлена соответствующая эпюра напряжения. Из эпюр следует, что при увеличении сопротивления нагрузки они приближаются к эпюрам, соответствующим линии, разомкнутой на конце. Следует обратить внимание на поперечные сечения линии z1 и z2, в которых активная часть входного сопротивления линии равна волновому сопротивлению W. а реактивная часть имеет емкостный в точке z, или индуктивный в точке z2 характер. Поперечные сечения линии с такими входными сопротивлениями периодически повторяются через lл / 2. Из эпюр также следует, что в сечениях линии, в которых напряжение достигает максимума или минимума, входное сопротивление чисто активное. Это остается справедливым и для случая Rн < W.

Рис. 1.20. Эпюры напряжения и входного сопротивления в линии, нагруженной на комплексное сопротивление

Работа линии на произвольное комплексное сопротивление. В этом случае, как и при активной нагрузке, часть мощности падающей волны поглощается активной частью нагрузки, и в линии устанавливается режим смешанных волн. Отличие от случая активной нагрузки состоит в фазовом сдвиге, который приобретает отраженная волна в месте включения нагрузки. Этот фазовый сдвиг вызывает сдвиг кривых напряжения и тока без изменения их формы. Для иллюстрации на рис. 1.20 показаны эпюры напряжения и входного сопротивления в линии, нагруженной на комплексное сопротивление, причем реактивная часть этого сопротивления имеет индуктивный характер.

Как и в случае чисто активной нагрузки, в сечениях линии, где напряжение достигает максимума или минимума, входное сопротивление линии чисто активное. Можно показать, что произведение входных сопротивлений, отстоящих один от другого на lл / 4, равно квадрату волнового сопротивления:

Zвх(z)Zвх(z + lл / 4) = W2.

Так как напряжение и ток на произвольной комплексной нагрузке связаны соотношением Uн = IнZн, то из (1.21) можно получить уравнение, определяющее коэффициент отражения через сопротивление нагрузки:

G = (Zн - W) / (Zн + W).

Основные результаты теории линии без потерь. Перечислим основные результаты теории длинных линий без потерь:

1. Напряжение, ток и входное сопротивление являются периодическими функциями относительно продольной координаты с периодом lл / 2, т. е. для любого сечения линии z справедливы равенства:

U(z) = U(z + lл / 2);

I(z) = I(z + lл / 2);

Zвх(z) = Zвх(z + lл /

2.  Режим стоячих волн в линии реализуется при реактивных нагрузках: холостой ход, короткое замыкание, емкость С, индуктивность L.

3.  Режим бегущей волны реализуется чисто активной нагрузкой, равной волновому сопротивлению линии: Rн = W, Хн = 0.

4.  Режим смешанных волн реализуется остальными нагрузками, кроме перечисленных в пп. 2 и 3.

5.  В сечениях линии, в которых напряжение или ток достигают максимума или минимума, входное сопротивление линии чисто активное.

6.  Отрезок линии можно рассматривать как трансформатор сопротивлений, при этом, учитывая (1.27), полуволновый отрезок линии имеет коэффициент трансформации, равный единице, а для произвольного сечения z линии справедливо соотношение:

Zвх(z)Zвх(z + lл / 4) = W. (1.28)

Свойства линии с потерями. Найдем коэффициент распространения k в линии при наличии тепловых потерь в проводах и диэлектрике:

.

Принимая во внимание, что потери в реальной линии малы, а круговая частота w велика, можно сделать вывод о малости величин и : , .

Разложив в последнем выражении корень в степенной ряд относительно и и ограничившись первыми двумя членами в этих разложениях, получим:

.

Так как k = a + jb, из последнего соотношения найдем:

; (1.29)

В практических случаях потери в диэлектрике пренебрежимо малы по сравнению с потерями в металле, поэтому в (1.29) выражение для a можно упростить:

. (1.30)

В табл. 1.3 приведены формулы для вычисления основных параметров двухпроводной и коаксиальной линий, выполненных из меди.

Таблица 1.3

Параметр
С1, пФ/м	12,1erlg(d / r)	24,1er / lg(r1 / r2)
L1, мкГн/м	0,92lg(d / r)	0,46 lg(r1 / r2)
R1, Ом/м	1,44 /	0,72(1 / r1 + 1 / r2) /
W, Ом	lg(d / r)	lg(r1 / r2)

Примечание: er – относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика: в формулах для R1, l – в метрах, r, r1, r2 – в миллиметрах.

Коэффициент полезного действия линии. Важным параметром линии с потерями является ее коэффициент полезного действия (КПД). Определим КПД как отношение мощности Рн, выделившейся в нагрузке, к мощности Рп, подведенной к линии:

h = Pн / Рп. (1.31)

Примем длину линии, равной l. Найдем КПД линии, работающей в режимах бегущей волны и смешанных волн. В первом случае, в соответствии с (1.6). выражения для напряжения и тока примут вид:

U = AUekz, I = АIekz. (1.32)

Мощность, выделяющуюся в нагрузке, найдем из соотношения

Pн = . (1.33)

Здесь символ Re обозначает выделение действительной части из выражения, находящегося в квадратных скобках, а звездочка над буквой - операцию комплексного сопряжения.

Подставляя в выражение для Рн значения напряжения и тока из (1.32), получаем:

Рн=АU А*I.

Найдем мощность, подводимую к линии длиной l:

Pн = . (1.34)

Откуда, с учетом (1.32), определим

Рп = АU А*Ie2kl.

Подставляя найденные значения Рн и Рп в (1.31), получаем:

h = e2kl. (1.35)

Если потери малы, т. е. al << 1, то последняя формула упрощается, если экспоненту представить в виде ряда по степеням аргумента -2al и ограничиться в этом ряду первыми двумя членами: h » 1 - 2al.

В режиме смешанных волн будем использовать выражение для напряжения и тока в виде (1.6), которые с учетом (1.12) примут вид:

U = AUekz + BUe-kz = AU(ekz + G e-kz);

I =(1 / W) AUekz + BUe-kz = (AU / W)(ekz + G e-kz). (1.36)

Для определения КПД найдем Рн и Рп, используя (1.33) и (1.34):

Pн =(АU А*U / W)(1 - çGç2); (1.37)

Pп =(АU А*U / W)(1 - çGç2е-4al). (1.38)

Выражение для мощности, выделяющейся в нагрузке (1.37), имеет весьма характерный вид. Первое слагаемое в этом выражении представляет собой мощность падающей волны в месте подключения нагрузки (z = 0). Второе слагаемое есть мощность, уносимая отраженной волной в этом же сечении. Их разность определяет мощность, поглощаемую в нагрузке. Таким образом, выражение для КПД в режиме смешанных волн примет вид:

Рис. 1.21. Зависимость КПД линии от потерь при различном ее согласовании

h = Pн / Pп = (1 - çGç2)е-2al / (1 - çGç2е-4al). (1.39)

Зависимость КПД от al проиллюстрирована графически на рис. 1.21. Из графиков следует, что если потери малы, то КПД слабо зависит от модуля коэффициента отражения. Если же потери значительны, то КПД сушественно зависит от степени согласования линии с нагрузкой.

Следует отметить, что формула (1.39) получена в предположении, что генератор не согласован с линией, т. е. отраженная от нагрузки волна, достигая источника, полностью от него отражается и вновь направляется в нагрузку. Если же отраженная волна поглощается в генераторе, то

h = (1 - çGç2)е-2al.

Из сравнения этого выражения с (1.39) следует, что КПД линии при несогласованном генераторе выше, чем для согласованного.

Пределы применимости теории регулярных линий передачи.

Рассмотренная теория применима к симметричным и несимметричным линиям передачи, если выполняются следующие условия:

1) линии передачи регулярны;

2) линии выполнены так, что можно пренебречь их излучением;

3) основной волной в таких линиях является поперечная электромагнитная волна (волна типа Т).

В местах нарушения регулярности линии возникают волны высших типов, и анализ таких нерегулярностей следует проводить с применением методов прикладной электродинамики.

При наличии излучения электромагнитных волн, распространяющихся вдоль линии, необходим дополнительный учет потерь энергии на излучение. При этом эквивалентная схема участка линии длиной dz (см. рис. 1.10) оказывается неприемлемой.

Для того чтобы в линии основной волной была бы волна типа Т, порядок связности ее поперечного сечения должен быть больше единицы. При этом размеры поперечного сечения проводников такой линии следует выбирать из условия нахождения волн высших типов в закритическом режиме.

1.3. Характеристики основных типов линий передачи СВЧ

В СВЧ-диапазоне наибольшее распространение имеют следующие типы линий передачи:

1. Металлические волноводы.

2. Коаксиальные волноводы.

3. Полосковые линии.

Рассмотрим основные характеристики каждого из перечисленных типов линий передачи.

Металлические волноводы. Поперечное сечение металлического волновода с произвольной формой поперечного сечения представлено на рис. 1.22, где L – контур, ограничивающий поперечное сечение волновода S. В таком волноводе могут существовать волны H – и Е – типов. Волны типа Н имеют продольную составляющую магнитного поля (Hz ¹ 0, Ez = 0). Волны типа Е имеют продольную составляющую электрического поля (Hz = 0, Ez ¹ 0). Каждая волна в волноводе характеризуется парой индексов m и n, физический смысл которых определяется формой поперечного сечения волновода.

Основной волной в волноводе является низшая H-волна, для которой критическая длина волны lкр максимальная.

Аналитические выражения для составляющих полей в волноводе получаются в результате решения однородных волновых уравнений: для H-волн

D^Hz + g2Hz = 0, dHz / dn = 0 на L; для Е-волн

D^Ez + g2Ez = 0, dEz = 0 на L,

где D^ =д2 / дх2 + д2 / дy2 – двумерный оператор Лапласа; g – поперечное волновое число; n – нормаль к контуру поперечного сечения волновода L.

По найденным Hz и Ez из уравнений Максвелла определяются остальные составляющие поля. При этом справедливы соотношения: длина волны в волноводе

;

продольная постоянная распространения

(1.41)

фазовая скорость

; (1.42)

характеристическое сопротивление

для Н-волн ;

для Е-волн , (1.43)

где W0 = 120p Ом – характеристическое сопротивление свободного пространства.

В этих выражениях k – волновое число, с – скорость света в вакууме.

Характеристическим сопротивлением называется отношение амплитуд поперечных составляющих электрического и магнитного полей бегущей волны. Следует отличать его от волнового сопротивления линии, которое определяется как отношение напряжения к току в линии с бегущей волной.

Рассматривают три режима работы волновода с данным типом волны:

1. Докритический режим (l < lкр).

2. Критический режим (l = lкр).

3. Закритический режим (l > lкр).

В докритическом режиме происходит распространение волны рассматриваемого типа. В этом режиме lв, kz и nф > с – действительные величины. В критическом режиме распространение прекращается, и lв = ¥, kz = 0 , nф = ¥. В закритическом режиме, или в режиме отсечки, волновод эквивалентен для рассматриваемого типа волны чисто реактивной нагрузке. В данном режиме lв, kz и nф – чисто мнимые величины. При этом знак мнимой единицы при вычислении корня в выражениях (1.40) – (1.43) следует выбирать таким, чтобы при удалении от источника волны, находящейся в закритическом режиме, ее амплитуда экспоненциально убывала.

Прямоугольный волновод. Поперечное сечение такого волновода представлено на рис. 1.23. Для него критическая длина волны определяется соотношением

. (1.44)

Решение однородных волновых уравнений может быть получено в виде:

для Н-волн

Hz = H0cos(mpx / a) cos(npy / b) ,

для E-волн

Ez = E0cos(mpx / a) cos(npy / b) ,

где H0, E0 – амплитуда соответствующих продольных составляющих. Индексы т и n определяют количество вариаций поля на стенках а и b волновода соответственно. Основной волной в прямоугольном волноводе является волна Н10. Для нее т = 1, n = 0, поэтому

lкр = 2a, ;

; ;

;

Hz = H0cos(px / a), Hy = 0;

Hx = (jakzH0 / p)sin(px / a), Ex = 0,

Ey = (-j2aH0 / l)sin(px / a).

Как известно, на внутренней поверхности стенок волновода протекают поверхностные токи , которые определяются соотношением:

. (1.46)

Отсюда следует, что поверхностный ток на стенках волновода перпендикулярен к касательным составляющим магнитного поля, а по величине плотность поверхностного тока равна касательной составляющей вектора магнитного поля.

При выборе размеров поперечного сечения волновода с основной волной исходят из условий, при которых волна Н10 находится в докритическом режиме, а высшие типы волн, в частности Н20 и Н01, находятся в закритическом режиме. Из этих условий следуют неравенства:

0,5l < a < l; b < 0,5l. (1.47)

Практические формулы для выбора размеров поперечного сечения волновода имеют вид

0,6l < a < 0,9l; b » 0,5а. (1.48)

Выбор размера b снизу ограничен величиной пробивного напряжения. При неограниченном уменьшении этого размера может наступить электрический пробой. Максимальная (предельная) мощность, пропускаемая волноводом с волной Н10, определяется соотношением

Pmax = [Вт],

где Еmах = 30000 В/см – напряженность электрического поля, при кото­рой происходит пробой в воздухе. Допустимая передаваемая мощность Рдоп определяется как

Рдоп = (1/3...1/5)Рmах (1.49)

Определив по приведенным формулам ориентировочные размеры а и b, далее по справочнику выбирают стандартный волновод, размеры которого наиболее близки к выбранным.

Для определения КПД волноводного тракта необходимо знать коэффициент затухания волны H]0 в волноводе. Этот коэффициент определяется формулой:

a = 8,686RS[дБ/м],

где – поверхностное сопротивление проводника; m0 = 4p 10-7 Гн/м, s – удельная проводимость материала стенок волновода.

В табл. 1.4 приведены значения удельной проводимости s и активной составляющей поверхностного сопротивления RS для металлов, наиболее часто используемых для изготовления волноводов.

Таблица 1.4

Металл	s, 1 / Ом×м	RS, Ом
Серебро Медь Алюминий Латунь	6,1×107 5,5×107 3,2×107 1,6×107	0,044 / 0,047 / 0,061 / 0,086 /

Примечание: значения длины волны l следует брать в сантиметрах.

На рис. 1.24 представлена зависимость коэффициента затухания a для медного волновода (23x10 мм) от длины волны. Из графика следует, что a достигает минимума при некоторой оптимальной длине волны и резко возрастает с увеличением l по мере приближения ее к критическому значению lкр При уменьшении l по сравнению с оптимальным значением потери увеличиваются. Это связано с увеличением значения поверхностного сопротивления RS с ростом частоты.

Круглый волновод. Поперечное сечение круглого волновода характеризуется радиусом волновода а. Критическая длина волны для Н - и Е -волн определяется из соотношений

lкрH = 2pа / mmn; lкрE = 2pа / bmn,

где bmn – n-й корень функции Бесселя т-го порядка; mmn – n-й корень производной функции Бесселя m-го порядка. Применительно к круглому волноводу индексы т и n имеют следующий физический смысл: индекс т определяет количество вариаций поля по окружности волновода; индекс п определяет количество вариаций поля вдоль радиуса волновода.

Волн с индексом п = 0 не существует, так как они не удовлетворяют граничным условиям. Значения корня функции Бесселя или ее производной и lкр некоторых типов волн приведены в табл. 1.5.