Методические рекомендации по решению. Согласованность оценок экспертов характеризуется двумя показателями: величиной коэффициента конкордации W и наблюдаемым распределением частот (расчетной вероятностью) f2.
Дисперсный коэффициент конкордации W характеризует достоверность итоговой оценки (согласованность мнений экспертов и сходимость результатов); он рассчитывается по формуле:
, где (10.1)
S – сумма квадратов отклонений оценок от математического ожидания (среднего значения) суммарного ранга одного объекта:
; (10.2)
- математическое ожидание суммарного ранга одного объекта:
(10.3)
m - число объектов ранжирования (m = 6);
d - число экспертов (d = 5);
i - индекс объекта;
j - индекс эксперта;
ri, j - ранг, присвоенный i-му объекту j-м экспертом (см. табл. 4.18);
Tj - показатель связанных рангов в ранжировке j-ro эксперта:
; (10.4)
k - номер группы связанных (равных) рангов;
Hj - число групп связанных рангов в ранжировке j-ro эксперта;
hk - число равных рангов в k-й группе связанных рангов
Если в ранжировках совпадающих рангов нет, то все Hj = 0; hk = 0 и, следовательно, Tj = 0; в этом случае формула 10.1 принимает вид:
.
Величина W = 1 характеризует полное совпадение мнений; W = 0 - свидетельствует, что все ранжировки разные.
Показатель наблюдаемого распределения частот f2 применяется для статистической проверки гипотезы согласованности экспертов путем его сравнения с теоретическим (табличным) c2, найденным для принятого уровня значимости. Сравнение на основе «c-квадрат-критерия» (c2-критерия) позволяет сделать вывод, что если f2 < c2, то гипотезу о согласии экспертов следует отвергнуть.
c2 - теоретическое распределение частот получают на основе таблиц в учебниках математической статистики в соответствии с принятым уровнем значимости (5%-й уровень значимости соответствует 95%-му уровню достоверности) и числом степеней свободы Ö = m - 1, определяемым исходя из числа ранжируемых объектов (наблюдений).
f2 - наблюдаемое распределение частот рассчитывается по формуле:
. (10.5)
Проведем последовательный расчет значений
соответственно, по формулам 10.1-10.5 на основе заданных исходных данных:
= 17,5;
H1 = 1; h1 = 2; T1 = 23 – 2 = 6;
H2 = 1; h1 = 3;, T2 = З3 – 3 = 24;
H3 = 2; h1 = 2; h2 = 2; Т3 = (23 – 2) + (23 – 2) = 12;
H4 = 2; h1 = 2; h2 = 2; T4 = (23 – 2) + (23 – 2) = 12;
H5 = 1; h1 = 2; T5 = 23 – 2 = 6;
= 0,874.
Для числа степеней свободы Ö = 6 – 1 = 5 и 5%-го уровня значимости c2 = 11,07 - по таблице.
- по формуле 10.5.
Поскольку 21,8 > 11,07, то гипотеза о согласии экспертов по ранжировании принимается.
ЗАДАЧА 11 «Групповая оценка объектов»
Условие. Три эксперта (d = 3) оценили значения двух мероприятий (m = 2) решения одной проблемы и дали нормированные оценки этих мероприятий (Х1,j +X2,j = 1) (см. табл. 11.1).
Таблица 11.1 - Нормированные оценки мероприятий
\Эксперты (Эj) Мероприятия (Yi)\ | Э1 | Э2 | Э3 |
Y1 | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
X11 | X12 | X13 | |
Y2 | 0,7 | 0,5 | 0,8 |
X21 | X22 | X23 |
Требуется дать групповые оценки мероприятий и вычислить коэффициенты компетентности экспертов.
Методические рекомендации по решению. Расчеты осуществляются методом последовательного приближения в итеративном процессе по следующим формулам:
для 
, где (11.1)
- коэффициент компетентности j-ro эксперта;
для 
(11.2)
= групповые значения оценок мероприятий с учетом компетентности экспертов;
для t = 1, 2, …;
- суммарная оценка мероприятий экспертами с учетом их компетентности;
Xi, j - оценки экспертов (см. табл. 11.1);
i - индекс мероприятия;
m - число мероприятий (m = 2);
j - индекс эксперта;
d - число экспертов (d = 3);
t - шаг итерации.
Вычисления начинаются с t = 1. Начальные значения коэффициентов компетентности принимаются одинаковыми 
= 1/d. Групповые оценки мероприятий первого приближения равны среднеарифметическим значениям оценок экспертов:
для . (11.3)
Первый шаг
X11 = (1/3) * (0,3 + 0,5 + 0,2) = 0,333;
Х21 = (1/3) * (0,7 + 0,5 + 0,8) = 0,667;
l1 = 0,333 * (0,3 + 0,5 + 0,2) + 0,667 * (0,7 +0,5 + 0,8) = 1,667;
K11 = (1/1,667) * (0,3 * 0,333 + 0,7 * 0,667) = 0,34;
К21 = (1/1,667) * (0,5 * 0,333 + 0,5 * 0,667) = 0,30;
К31 = (1/1,667) * (0,2 * 0,333 + 0,8 * 0,667) = 0,36.
Второй шаг
X12 = 0,3 * 0,34 + 0,5 * 0,30 + 0,2 * 0,36 = 0,334;
Х22 = 0,7 * 0,34 + 0,5 * 0,30 + 0,8 * 0.36 = 0,676;
l2 = 0,324 * (0,3 + 0,5 + 0,2) + 0,676 * (0,7 + 0,5 + 0,8) = 1,676 ;
K12 = (1/1,676) * (0,3 * 0,324 + 0,7 * 0,676) = 0,341;
К22 = (1/1,676) * (0,5 * 0,324 + 0,5 * 0,676) = 0,298;
К32 = (1/1,676) * (0,2 * 0,324 + 0,8 * 0,676) = 0,361.
Третий шаг;
X13 = 0,3 * 0,341 + 0,5 * 0,298 + 0,2 * 0,361 = 0,3235;
Х23 = 0,7 * 0,341 + 0,5 * 0,298 + 0,8 * 0,361 = 0,6765,
l3 = 0,3235 * (0,3 + 0,5 + 0,2) + 0,6765 * (0,7 + 0,5 + 0,8) = 1,6765;
K13 = (1/1,6765) * (0,3 * 0,03235 + 0,7 * 0,6765) = 0,341;
К23 = (1/1,6765) * (0,5 * 0,3235 + 0,5 * 0,6765) = 0,298;
К33 = (1/1,6765) * (0,2 * 0,3235 + 0,8 * 0,6765) = 0,361.
Как следует из результатов третьего приближения, вектор коэффициентов компетентности стабилизировался, поэтому дальнейшие вычисления не дают существенного уточнения.
ЗАДАЧА 12
В среднем за день фирма продает Х штук товара А. Чему равна вероятность (Рi) того, что фирме удастся продать в один из дней более Yi штук этого товара?
Рекомендации по решению
Х = 100, Y = 300.
Р(Х > 300) < 
= 0,333
Смысл этой формулы в следующем: если в прошлом фирма смогла продать 100 штук, то, очевидно, она сможет продать 100 из 200, 300, 400 и т. д. штук в будущем, т. е. половину, треть или четверть имеющегося товара. В то же время возможная доля проданной продукции может рассматриваться как вероятность продажи всей партии товара. Она будет не больше 0,5, 0,333 и 0,25.
ЗАДАЧА 13
Покупатель просит поставщика отпустить продукцию без предоплаты, т. е. в долг. Чему равна вероятность (Р) того, что поставщик получит оплату отпущенной продукции вовремя и не понесет потерь, если известно, что продолжительное время КТЛ покупателя находился на среднем уровне, равном К = 1.8? На какую минимальную прибыль (Пмин) должен рассчитывать поставщик, чтобы признать сделку целесообразной.
Рекомендации по решению
При той информации, что здесь имеется, для оценки вероятности возврата долга можно использовать лишь лемму Маркова либо попытаться оценить упомянутую вероятность чисто субъективно. Первый вариант на вопрос о вероятности возврата долга дает такой ответ:
Р(Х ³ a) < 
= 0,9
т. е. вероятность возврата долга менее 90%, а потерь как минимум 10%. При таком риске потерь следует заключать сделку только в том случае, если она принесет прибыль более
Пмин = 
В качестве величины a здесь был взят тот порог, который отделяет платежеспособные предприятия от неплатежеспособного (a ³ 2). Значит, чтобы отдать долги поставщику, покупатель должен будет повысить значение КТЛ до 2.
ЗАДАЧА 14
По данным за ряд прошлых периодов просрочка выданных банком ссуд колеблется вокруг среднего уровня, равного Р1 = 20%. Чему равна вероятность (Р) того, что в будущем просрочка возврата банку ссуд превысит Р2 = 30%?
Рекомендации по решению
Р(Х > a) £ 
= 0,67
ЗАДАЧА 15
У банка имеются два должника, значения КТЛ у которых за три прошедших месяца составили: у первого – К11 = 1.5, К12 = 1.3, К13 = 1.7 и у второго – К21 = 1.6, К22 = 1.4 и К23 = 1.5. Используя Лемму Маркова и неравенство Чебышева необходимо определить, какова вероятность (Р) того, что они в течение ближайшего месяца погасят свои долги перед банком?
Рекомендации по решению
Среднее значение КТЛ у обоих должников равно одной и той же величине: 1,5. В силу этого лемма Маркова здесь показала бы совершенно одинаковую вероятность погашения долга у двух должников:
Р(Х ³ 2) < 
, т. е. менее 75%
Вероятность же невозврата долга у обоих по лемме Маркова здесь составила бы как минимум 25%.
Неравенство Чебышева даст разные значения этих вероятностей для упомянутых должников, ибо оно кроме среднего уровня КТЛ учитывает еще и его колеблемость, которая у первого больше, чем у второго, что видно по величине дисперсий:
Упомянутые должники погасят свой долг перед банком, если восстановят свою платежеспособность, т. е. повысят свой КТЛ до уровня 2. Для этого он у них должен будет отклониться в большую сторону от нынешнего своего значения как минимум на 0.5.
Вероятность такого отклонения в обе стороны по неравенству Чебышева равна:
для первого должника - Р(|х -1.5| > 0.5) < 
для второго - Р(|х -1.5| ³ 0.5) < 
= 0.0268.
Как, как уже отмечалось, нужна вероятность отклонения только в одну – большую сторону. Она составит для первого должника меньше 10.68% : 2 = 5.34%; для второго должника меньше 2.68% : 2 = 1.34%.
Таким образом, вероятность невозврата долга первым должником будет как минимум 100 – 5.34 = 94.66%, а вторым – как минимум 100 – 1.34 = 98.66%.
Почему должник с меньшей колеблемостью вернет ссуду с меньшей вероятностью? Ведь чем ниже колеблемость, тем выше, казалось бы, должна быть его надежность! Объясняется все это очень просто. В данном примере меньшая колеблемость КТЛ у второго должника говорит о его большей устойчивости в состоянии неплатежеспособности. Быть устойчивым неплательщиком – отнюдь не положительное качество. Поэтому и вероятность невозврата им долга оказалась выше. Если бы у него была меньшая колеблемость вблизи значения КТЛ, равного, например, 2.5, тогда все обстояло бы у него по-другому. Но он «застрял» на КТЛ куда меньше 2.
Большим достоинством леммы Маркова и неравенства Чебышева остается то, что они пригодны для употребления при любом количестве наблюдений и любом законе распределения вероятностей.
Платой за отсутствие жестких ограничений является некоторая неопределенность оценок уровня вероятности, причем при использовании леммы Маркова она значительно больше, чем при применении неравенства Чебышева.
ЗАДАЧА 16
Фирме предстоит заключение сделки с предприятием о поставке ему продукции на крупную сумму. Согласно бухгалтерским данным, фактическое значение КТЛ у этого предприятия х = 1,6.
Фирма ведет статистику неплатежей. Согласно ей, у контрагентов фирмы, оказавшихся должниками, КТЛ находился в интервале Кд = , а у аккуратных плательщиков – Ка = 1.2 – 2.7. Чему равна вероятность (Рп) того, что предприятие окажется неплатежеспособным и не сможет расплатиться за поставленную ему продукцию? На какую минимальную прибыль (Пмин) должен рассчитывать поставщик, чтобы признать сделку целесообразной.
Рекомендации по решению
Согласно приведенным выше данным, зону неопределенности или риска для значений КТЛ у контрагентов данного конкретного предприятия можно определить как Отсюда вероятность невозврата долга за поставленную продукцию можно определить так:
.
Здесь b - верхняя граница зоны риска,
a - нижняя граница зоны риска,
х - фактическое значение КТЛ
, т. е. 33%.
На сделку с таким риском потерь можно идти только в том случае, если ожидаемая прибыль превысит
Пмин = 
.
Если бы у предприятия не было собственной статистики неплатежей, то расчет уровня риска здесь выглядел бы так:
т. е. 40%.
Допущение о существовании закона равномерного распределения вероятностей банкротств является, конечно в определенной мере натяжкой. Но когда нет точных данных, о действительно существующем законе распределения вероятностей, то, естественно, приходится идти на подобные допущения. К тому же равномерный закон распределения вероятностей оказывается очень простым и легким к употреблению, а для использования других законов могут понадобиться основательные знания в области математики.
Противоположным понятию риска потерь выступает понятие надежности. Вероятность того, что партнер окажется надежным и не подведет, можно определить как
.
При 33%-ном риске потерь надежность партнера будет равна
100% - 33% = 67%.
Приведенные выше формулы можно использовать для перевода значений не только КТЛ, но и многих других показателей в вероятностные оценки риска. В частности их можно применять для перевода баллов надежности банков, исчисляемых по методике В. Кромонова, являющейся сейчас одной из лучших. Рейтинги банков с ее использованием регулярно публикуются. Например, по этим публикациям установлено, что среди банков, у которых ЦБ РФ в то или иное время отозвал лицензию на право осуществления банковской деятельности, не было ни одного, который бы перешагнул границу в 60 баллов. В то же время ни один банк из числа сохранивших лицензию, не опускался ниже 30 баллов. Учитывая это, подсчитаны вероятности отзыва лицензии у банков, находившихся в зоне неопределенности, т. е. имеющих баллы надежности по В. Кромонову в интервале
ЗАДАЧА 17
Эксперты определили надежность банка А на уровне Р(А) = 90%, а банка В – на уровне Р(В) = 80%. Следовательно они считают, что банк А может оказаться банкротом с вероятностью в 
= 10%, а банк В с вероятностью 
= 20%. Определить вероятность:
того, что оба банка не станут банкротами – Р(АиВ);
2) банкротства двух банков – 
;
3) банкротства только банка А – 
;
4) банкротства только банка В – 
;
5) банкротства только одного какого-нибудь банка (или банка А, или банка В) – 
;
6) наступления хотя бы одного банкротства – 
7) Проверить, что полная группа событий (полное отсутствие банкротств, банкротство только для одного банка, банкротство сразу двух банков) равно 1,0.
Рекомендации по решению
Согласно теореме умножения, вероятность того, что оба банка не станут банкротами, здесь будет равна
Р(А и В) = Р(А) × Р(В) = 0.9 × 0.8 = 0.72.
Вероятность же того, что оба банка станут банкротами составит
Р(
и 
) = 0.1 × 0.2 = 0.02.
Здесь и - события противоположные А и В.
Вероятность того, что банкротом станет только банк А, а банк В продолжит свою деятельность, будет равна
= 0.1 × 0.8 = 0.08.
Вероятность банкротства только банка В составит
= 0.9 × 0.2 = 0.18.
Заметим, что вероятность одновременного банкротства сразу двух банков многократно меньше вероятности банкротства каждого из них в отдельности (0.02 против 0.10 или 0.20). Значит, если надо во что бы то ни стало избежать потери всех средств, следует помещать их не в один, пусть самый надежный банк, а в несколько банков. Это называется диверсификацией. Иной раз она может несколько снизить доход, зато повышает гарантию сохранности хотя бы части средств, т. е. помогает инвесторам избежать при рискованных инвестициях полного финансового краха.
Как уже отмечалось, теорема сложения вероятностей позволяет определять вероятность наступления или события А, или события В. Согласно ей, вероятность банкротства только одного какого-нибудь банка (или банка А, или банка В) равна
.
От понятия наступление только одного банкротства надо отличать понятие наступление хотя бы одного банкротства. Вероятность последнего (или банка А, или банка В, или сразу двух) составит по формуле суммы вероятностей для совместных событий
.
Этот же результат можно также получить, суммируя ранее найденные вероятности банкротства только одного какого-нибудь банка и банкротства сразу двух банков: 0.26 + 0.02 = 0.28. Наконец, ту же самую цифру можно получить как вероятность события, противоположного отсутствию всяких банкротств: 1 – 0.72 = 0.28.
Полную группу событий в данном примере составляет следующий перечень событий: полное отсутствие банкротств, банкротство только для одного банка, банкротство сразу двух банков.
Сумма их вероятностей равна единице: 0.72 + 0.26 + 0.02 = 1.
ЗАДАЧА 18
Эксперты установили, что вероятность банкротства банка (фирмы, компании) в течение предстоящего года составляет Рб = 10%. Чему равна вероятность того (Р3), что банкротство этого банка произойдет в течение трех ближайших лет? в течение одного квартала (Рк)? в течение одного месяца (Рм)?
Рекомендации по решению
Правильный ответ на первый вопрос нельзя получить простым суммированием вероятностей банкротств за три года. Для правильного ответа надо использовать теорему умножения вероятностей.
Вероятность того, что банк в течение трех лет не станет банкротом (будет благополучным и в первом, и во втором, и в третьем году), равна по теореме умножения вероятностей 0.9 × 0.9 × 0.9 = 0.729. Отсюда вероятность того, что он потерпит крах в течение трех ближайших лет, составит
Р3 = 1 – 0.729 = 0.271 или 27.1%.
Складывать уровни риска банкротства здесь нельзя по той же причине, по которой нельзя суммированием получить общее за три года снижение себестоимости, если ее ежегодное снижение равно 10%. Себестоимость за три года снизится, если правильно считать, не на 30%, а на 27.1%.
Уровень банкротства банка в течение части года, например квартала, подсчитывается так:
Рк = 1 - 
= 1 – 0.074 = 0.026 или 2.6%, но не 10% : 4 = 2.5%.
Уровень банкротства банка в течение только одного месяца получают следующим образом: 1 - 
= 1 – 0.991 = 0.009 или 0.9 %., но не 10% : 12 = 0.83%.
ЗАДАЧА 19
У банка имеются n = 10 должников. Вероятность невозврата каждым из них своего долга оценена экспертами банка на уровне р = 10%. Чему равна вероятность, что не погасят свой долг не менее m = 3 должников, т. е. не вернут долг m = 1, m = 2 или m = 3 должника из
n = 10 должников банка?
Рекомендации по решению
Здесь можно воспользоваться теоремами сложения и умножения вероятностей, но решение получится несколько громоздким. В последнем случае лучше применить формулу Бернулли:
,
где Рn(m) - вероятность наступления события m раз в n испытаниях,
р – вероятность наступления события в единичном испытании,
q - вероятность противоположного события,
- число сочетаний из n элементов по m.
Число сочетаний в свою очередь подсчитывается по формуле:
.
В нашем примере р = 0.1, q = 1 – р = 0.9, n = 10.
Найдем вероятности того, что не погасят свой долг 1, 2 и 3 должника из 10.
Р10(1) = 
0.1 × 0.99 = 0.3974,
Р10(2) = 
0.12 × 0.98 = 0.1937,
Р10(3) = 
0.13 × 0.97 = 0.0574,
а всего 0.2898.
Здесь 
ЗАДАЧА 20
По мнению экспертов фирмы «Заря», конкурент может пойти на выпуск новой, очень конкурентоспособной продукции, вероятность чего они оценили на уровне Р(Н1) = 70%. Эта вероятность вызывает у руководства фирмы «Заря» тревогу, но она еще не достаточна для того, чтобы идти на довольно дорогостоящие ответные меры. решено собрать дополнительную информацию о намерениях конкурента.
Эксперты фирмы «3аря» считают, что для выпуска новой продукции конкурент с 90%-ной вероятностью – Р(А/Н1) пойдет на расширение своих производственных площадей. Конечно он может начать расширять производственные площади и по другим причинам. Но вероятность последнего эксперты оценили на уровне всего Р(А/Н2) = 20%.
Руководству фирмы «Заря» стало известно о начале нового строительства у конкурента. Как эта информация должна изменить представление руководства фирмы «Заря» о возможности перехода конкурента на выпуск новой продукции. Найти Р(Н1/А).
Рекомендации по решению
Для переоценки вероятности перехода конкурента на выпуск новой продукции после получения информации о начале нового строительства следует применить формулу Байеса:
.
Здесь Р(Н1/А) - уточненная вероятность предположения о переходе конкурента на выпуск новой продукции (Н1) в результате получения информации о начале у него нового строительства (А).
Р(Н1) – первоначальная вероятность предположения Н1. Она по условию задачи равна 0,7.
Р(А) – полная вероятность начала нового строительства у конкурента по разным причинам, а не только в связи с выпуском новой продукции.
Р(А) = Р(А/Н1)Р(Н1) + Р(А/Н2)Р(Н2) = 0.9 × 0.7 + 0.2 × 0.3 = 0.69.
После подстановки соответствующих значений в формулу Байеса получаем:
.
Это уже тот уровень вероятности, когда надо принимать решения об ответных мерах на угрозу конкурента.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
