Задания интеллектуального марафона
Цикл «Геометрия»
8.1. В треугольнике ABC сторона АС в 2 раза больше стороны AB. Найти угол между медианой BM и биссектрисой AL.
8.2. У звезды ACEBD равны углы при вершинах А и В, углы при вершинах Е и С, а также длины отрезков АС и ВЕ. Доказать, что АD=BD.
8.3. Равнобокая трапеция разбивается диагональю на два равнобедренных треугольника. Определить углы трапеции.
8.4. Биссектрисы углов 
и 
прямоугольника 
делят сторону 
на три равные части точками 
и 
. Строна 
. Найдите периметр прямоугольника .
8.5. На плоскости отмечены 6 точек (как на рисунке), причем 
, 
, 
. Верно ли, что биссектрисы углов A, C и E пересекаются в одной точке?
9.1. В треугольнике АВС провели медиану СМ. Известно, что АС > ВС. Какой из углов больше: ВСМ или АСМ?
9.2. Угол между единичными векторами 
и 
равен 60°. Найдите абсолютную величину вектора 
.
9.3. Дан равносторонний треугольник 
, сторона которого равна m. На расстоянии m от вершины A взята точка D. Найдите величину угла .
9.4. На гипотенузе прямоугоьлного треугольника 
с суммой катетов 
построен вне треугольника квадрат с центром 
. Найдите 
.
9.5. Точка – середина стороны 
треугольника . На стороне выбрана такая точка 
, что углы 
и 
авны. Найдите отношение 
и 
.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Цикл «Геометрия»
8 класс
8.1. Ответ: 90°.
Треугольник АМВ – равнобедренный с основанием BМ, тогда, по свойству биссектрисы, проведенной к основанию, она является и высотой, то есть АL перпендикулярна ВM.
8.2. В силу равенства треугольников 
и 
: 
и 
.
Тогда 
и, следовательно, 
- равнобедренный.
Далее: 
, откуда 
, то есть 
, что и требовалось доказать.
 |
8.3. Ответ: 
, 
.
Пусть AD и BC – основания трапеции, АС – диагональ, 
– тупой. В равнобедренном треугольнике ABC есть тупой угол, следовательно, AB = BC. Тогда AB = BC = CD. При этом 
DАС = 2 = 1.
В равнобедренном треугольнике ACD стороны AC и CD не равны (в противном случае треугольник ABC — равносторонний с тупым углом — что невозможно), поэтому AC = AD. Тогда A = D = 3 = 22. Так как D + 3 + 2 = 1800, то 52 = 1800 и D = 22 = 720.
8.4. Ответ: 20 или 32.
Решение. Возможны два случая, если:
1) 
и 
пересекаются;
2) и не пересекаются (см. рис 1,2).
|
|
Рис.1 | Рис.2 |
Рассмотрим треугольники 
и 
. В первом случае 
, тогда 
. Периметр 
.
Во втором случае 
, тогда 
. Периметр 
.
8.5. Ответ: да.
Треугольники ABF, CBD, EFD равнобедренные, значит биссектрисы углов A, C и E, будут являться серединными перпендикулярами в них, а, следовательно, и в треугольнике FBD. Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.
9 класс
9.1. Ответ: 
.
«Удвоим» медиану СМ. Тогда 
- параллелограмм (см. рис.).
Следовательно, , , откуда 
.
В треугольнике 
против большей стороны лежит больший угол, значит 
, следовательно, 
.
9.2. Ответ:
.
.
9.3. Ответ: 30° или 150°.
Рассмотрим окружность с центром в точке А и радиусом m. Точки В, С и D лежат на этой окружности, следовательно, ÐBDC – вписанный. Следовательно, в зависимости от того опирается ли угол 
на меньшую дугу окружности или на большую, величина искомого угла равна 30° или 150°.
9.4. Ответ: 
.
Пусть 
– квадрат, построенный на гипотенузе 
. Построим треугольник 
равный треугольнику 
, так чтобы 
являлась продолжением 
. Так как треугольники и равны, то 
. Получим равнобедренный прямоугольный треугольник 
, гипотенуза которого равна 
.
9.5. Ответ: 
.
Решение 1. Продолжим луч 
так, что 
(рис. 1). Тогда четырехугольник 
– параллелограмм. Сторона 
параллельна , следовательно, 
и 
.
Отсюда следует, что треугольник 
– равнобедренный и 
. 
– середина 
по построению, откуда 
и 
.
Решение 2. Проведем луч 
параллельно до пересечения с 
(рис. 2).
Тогда – средняя линия в треугольнике 
, откуда следует, что
.
С другой стороны, 
, так как прямая параллельна прямой 
, а углы 
и 
равны как вертикальные.
Следовательно, треугольник 
– равнобедренный и 
. Откуда получаем 
.
|
|
Рис.1 | Рис.2 |
