Дипломная работа по теме: Интеллектуальная обучающая система ФЛИНТ: поддержка работы автора курса (стр. 1 )

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова
факультет Вычислительной Математики и Кибернетики
кафедра Алгоритмических языков

Дипломная работа по теме:

Интеллектуальная обучающая система ФЛИНТ: поддержка работы автора курса

Студента 525 группы
Зиновьева руководитель
н. с.

Москва
2006

Оглавление

1 Введение. 5

1.1 Обобщающие смыслы рациональной культуры.. 6

1.2 Наивный аксиоматический метод. 7

1.3 Аксиоматический метод. 10

1.4 Современный аксиоматический метод. 12

1.5 ИОС как средство синтезирующей деятельности учащегося. 14

1.6 Ретроспектива и перспектива обучения информатике. 16

1.7 Нетрадиционное обучение. 18

2 Постановка задачи. 22

2.1 Теоретическая часть. 22

2.2 Цель работы.. 22

3 Проект системы для ИКМУ и версии ИОС ФЛИНТ.. 23

3.1 Предыдущая версия ИОС. 23

3.2 ИОС ФЛИНТ. Синтез метода ГРОМ. 27

3.2.1 Цели системы.. 27

3.г. – Функциональная схема ИОС.. 27

3.3 Адаптивность ИОС.. 28

4 Поддержка авторского курса. 31

4.1 Учебный Курс. 31

4.2 Авторский Курс. 31

4.2.1 Применение XML инструментов в подготовке авторского курса. 31

4.2.2 Пример XML документа с Интерфейс-индексом авторского курса. 32

4.2.3 Базы данных и XML.. 33

5 Результаты и перспективы исследования. 35

6 Благодарности. 36

7 Словарь обозначений. 36

8 Список рабочих материалов. 37

9 Cписок литературы.. 38

Аннотация

Неслучайно математическое образование исторически нацелено достичь каждого: в алгоритмах развития человека (живого) фундаментально представление о мире. Для формирования картины мира важны математические обобщения, которые, во многом, являются проявленными в сознании структурами подсознания (классический рационализм). Диплом выполнен в условиях более сильной позиции эволюционного рационализма – математические обобщения являются образующими подсознания, а развитие культуры требует обеспечения согласованной настройки подсознательного. А сегодня, при системно-информационном состоянии культуры, происходит даже перестройка подсознательного стиля мышления.

Дипломная работа выполнена в рамках научного проекта «НИТ и базовое обучение информатике в высшей школе» (Грант РФФИ а), который продолжал исследование по созданию Интеллектуального Компьютерного Места Учащегося (Гранты РФФИ 93-95гг, 96-98гг, 2000-02гг).

1  Введение

Для понимания следует сказать особо и в самом начале о философской позиции. Работа ведется с герменевтической позиции. Тогда возникает необходимое для познания единство объективного и «надприродной» духовности, что составляет суть также эволюционного (современного) рационализма.

Обучение в начале своего пути, формируя учительский корпус, решая в первую очередь социальную задачу просвещения и только во вторую заботясь о специалистах, выдвинуло базовый принцип: преподаватель должен излагать лишь истины, дабы не вводить учащихся в заблуждение. С тех пор происшедшие изменения столь значительны и в отношении истины («хотя потребность в достоверном факте и естественна для человека, но все же она есть его умственный недостаток», и в отношении приобщения к ней («Не потому мы обладаем истиной, что мы субъекты; мы становимся субъектами вместе с достижением истины.», /герменевтики/), что образовательное сообщество признает губительность как авторитарного учителя, так и формируемого на этом пути рутинного мышления.

Новая культурная среда требует деятельного (через ИС) думателя (приобщенного к синтезирующему миру через Интернет), причем формирующегося в условиях точной (математической) среды компьютера. Так что добавим к двум затребованным качествам определяющее: требуется рационалист, действующий в межпредметных областях. В этих условиях обучение (РО) ставит задачу теоретического развития, причем даже с учетом непрерывного образования. И все же, нами ставится задача шире. Полагаем необходимым формирование в учащемся: синтезирующего априорного мастера ‑ это на уровне РО; самоорганизующегося априорного мыслителя ‑ это на уровне синергетического рассмотрения человека в условиях 3-НТР.

В высшей школе соответствующие процессы внедрения нового состояния рационального знания происходят перманентно и постепенно.

Консервативность университетского образования естественна, т. к. классические базовые курсы наукоемки и гарантируют интеллектуальное восхождение, а современность может быть учтена и обеспечена спецкурсами. Но ситуация выходит из под контроля, т. к. прагматизм учащихся лишает базовые курсы нужного воздействия. Они теряют привлекательность дела и целого и становятся «интеллектуальной похлебкой». Но и здесь наблюдаются признаки жизни.

Отметим четыре проекта, схожих в определенных чертах по целеполаганию с нашим проектом.

Во-первых, впечатляет базовый курс (краткое и ясное изложение) математики В. Босса [10], несмотря на отсутствие в нем неклассических областей компьютерной математики ИТ ИС. Автор озабочен пониманием учащегося, которое обеспечивает межпредметными связями ключевых идей отдельных предметов. Несколько слов уважаемого автора об этом, главном для нас, особом видении учащегося:

«Лекции рассчитаны “на всех”… Это может показаться странным, но здесь излагается общее ядро. Просто, коротко, без лишних деталей, но с обсуждением мотивов, причин и взаимосвязей. А это, как раз, нужно всем»;

«Получается странная вещь. При изобилии “арсенала” каждый остается один на один с задачей формирования ясного представления об изучаемом предмете… Многие потом напрягаются до старости, но какой резон “давать концерты” на том свете? Короче говоря, в системе образования чего-то не хватает».

Во-вторых, значителен вклад [11-12] в обстоятельную фиксацию новых реалий. Им обоснован и явно представлен фундаментальный базовый курс математики для XXI в. Вновь предоставим слово уважаемому автору, о главном для нас, а, в сравнении с проектом Босса, уже об особой заботе в отношении учащегося:

«Умножая наше знание, мы в еще большей степени умножаем незнаемое. Это – первая и важная причина, по которой не годятся ни традиционный научный стиль, ни другие…все они ори­ентированы на выпячивание успехов и замалчивание трудностей и недостатков, на декларирование прогресса, а мы хотели бы создать условия для него, а не объявлять его декларативно»;

«…в науке нет царского пути. Точнее, он порою появляется…Вот нежелание научного стиля прокладывать эти царские пути – причина, по которой не хочется ему следовать, а слишком большое желание их проложить и, соответственно, игнорирование того, что пока находится в буреломах и болотах переднего фронта настоящей науки, ‑ причина того, что и к другому берегу (к профанаторам) не примыкаем. Итак, мы стремимся искать удобные пути и даже намечать те места, где они, может быть, будут проложены, но не замыкаемся на удобствах».

Отличия нашего проекта от рассматриваемого можем свести к двум пунктам. Мы согласны, что анализ и синтез разобщены, а культура с разобщенностью рационального и гуманитарного обречена. Но полагаем, в том и расходимся, что гуманитарное не решает проблему понимания для всех. Такая проблема решается сегодня на рациональном пути на синтезирующих задачах ИТ ИС, захватывающих каждого. Второе является просто отличием целей: Непейвода занят царской дорогой рода человеческого – фундаментальным курсом; мы ‑ как обеспечить царский путь каждому в его формировании понимания фундаментального курса.

В-третьих, проект [13-14] наиболее близок нам идейно. В нем компьютерное вычисление и ИТ рассматриваются в терминах объектов (отображение также объект). Тогда: (i) особое место занимает объектно-ориентированное программирование (ООП); (ii) «…комбинаторная логика и ее различные категориальные диалекты становятся необходимым математическим языком…»; (iii) «…тому, кто работает в области программирования…приходится владеть новейшими методами формализации».

В-четвертых, Д. Кнут [9] посредством конкретной математики предлагает по-новому расставить акценты в симбиозе программирования, математики и информатики. Мы тоже непосредственно заняты этим.

Сведем контекст к общему знаменателю.

Видимо, уже нет нужды разъяснять «Что такое математика?» ([15], вышла в 1941г.). Исторически преодолено представление о том, что понимание математики возможно достичь легкими развлечениями. Чтобы понять математику, ею следует заниматься. А сегодня уже нуждаемся в развитии математического инстинкта через приобщение к синтезирующей рациональной деятельности. В таком новом аспекте воспринимается книга [16]. Он разбирается с тем же вопросом на следующем уровне сложности: «…является ли математика перечислением следствий из произвольных аксиом или же ветвью естествознания…?». В книге приводятся впечатляющие доводы (примеры) синтезирующего состояния математики. А тогда фиксируются возможности ее соответствия сложностям описываемой природы и ее организующей роли в отношении развития наших возможностей. Таким образом, что возможно не соответствует собственной точке зрения Арнольда, поставленный вопрос разрешается диалектически – математика является и упаковкой знания, и инструментом исследования, и инструментом непосредственно нашего развития.

Итак, фундаментальность математики (т. е. нас как рода) повысилась. Это позволяет математике приблизиться к реальной сложности природы, а через синтетическую деятельность Всех воздействовать непосредственно на жизнь, требуя необходимой нашей рациональной организации.

Обобщающие смыслы рациональной культуры

Синтезирующая деятельность на ИС в границах ИТ, естественно, проявляется в целостном восприятии рациональной культуры через единство математики, программирования и информатики. В целях обучения – обеспечения самоорганизации учащегося по обобщающим смыслам – нас интересует градиент самоорганизации рациональной культуры. Так как ИТ обеспечивают упаковку знания на компьютере для исследования, то полагаем справедливым следующее:

НАМ → АМ → САМ.

Такова выбранная царская (градиентная) дорога для интеллектуального прорыва учащегося к рациональной культуре века систем. С точки зрения обучения возникает трудность – как сохранить онтологическое качество восприятия сложностей учащимся при его движении (сканировании) по обобщающим смыслам. Поэтому элементы предъявленной цепочки рассматриваются в целостной связи.

НАМ (наивный аксиоматический метод) соответствует аксиоматизации Евклида [17], которая рассматривается с такими предпочтениями:

(i)  занята единственной моделью (в этом наивность);

(ii)  представляет теорию, в которой рассмотрены конструктивные возможности циркуля и линейки;

(iii)  упаковка знания осуществлена средствами неформального вывода (пос­редством доказательства);

(iv)  может послужить интеллектуальному прорыву к пониманию доказательства как средства целостного восприятия предмета посредством связи понятий.

АМ (аксиоматический метод) соответствует алгебраической аксиоматизации Гильберта [18], которая рассматривается с такими предпочтениями:

(i)  язык логики используется как средство математического описания;

(ii)  теоретико-множественный рай Кантора (теория моделей) обеспечивает конкретное представление моделей;

(iii)  выявляется роль аналитики для построения моделей;

(iv)  упаковка знания осмысливается в границах аксиоматизации многообразий, квази­многообразий, исчисления предикатов;

(v)  может послужить интеллектуальному прорыву к пониманию значения подходящей «реальной» модели для аксиоматизации (выявлением изоморфизма).

САМ (современный аксиоматический метод) соответствует аксиоматизации Гильберта [19], которая рассматривается с такими предпочтениями:

(i)  язык логики используется как средство вывода в формальной теории и естественного доказательства;

(ii)  комбинаторное программирование выступает как синтез метаматематики и метавычисления (смешанные вычисления);

(iii)  упаковка знания осуществлена неполными теориями, которые выступают как основа ООП;

(iv)  может послужить интеллектуальному прорыву к пониманию значения концептуальности через конструктивность формальных теорий (геделизация) и вычисления (теории алгоритмов и программирования).

Далее приводятся примеры, в основном, характеризующие разработку царского пути в отношении интеллектуального прорыва. Примеры заняты синтезирующим эффектом. Это соответствует пониманию того, что единицей учебного материала является генетическая цепочка материалов в отношении понятия на царском пути.

Наивный аксиоматический метод

Он существует в средней школе и сохраняется в высшей через профессиональную ориентированность ВУЗ'ов. Поэтому излагаемое ниже следует воспринимать: неконструктивно – как выявление «мамонтовости» средней школы в отношении реалий рациональной культуры инфосферы; конструктивно – предлагается, что и как следует использовать из элементов рациональной культуры, прививаемой средней школой.

(А) Ключевой задачей обучения в школе является: как, в границах профессионального тренажа (когда развивается интеллект за счет «онтологических» моделей) на «реальной» модели, не убить перспективу абстрактного развития учащегося. Ясно, что необходим стык геометрии и алгебры: декартовая модель геометрии, обобщение числа до комплексного, а также привлечение конструктивных мотивов. Рассмотрим подходящие примеры целостной разработки ПО. Займемся формулой

cos(α+β) = cos(α)*cos(β) − sin(α)*sin(β) .

Школьный курс позволяет получать формулу:

(1) вычислением посредством треугольников в тригонометрическом круге;

(2) вычислением скалярного произведения:

cos(α−β) = (cos α, sin α) * (cos β, sin β) = cos(α)*cos(β) + sin(α)*sin(β) .

Традиционный высший курс необходимо ориентирует развитие ПО в слкедующих направлениях.

(1) Знакомство с комплексными числами позволит применить формулу Эйлера:

ei(α+β) = cos(α+β) + i*sin(α+β) = eiα*eiβ= (cos α + i*sin α) * (cos β + i*sin β);

(2) Знакомство с группой ортогональных преобразований позволит при повороте на угол β для точки (x, y)=(cos α, sin α) получить:

cos(α+β) = x′ = x*cos(β) − y*sin(β)

sin(α+β) = y′ = x*sin(β) + y*cos(β) .

(3) Знакомство с полугрупповым свойством оператора сдвига U по траекториям системы решений дифура Коши

x′′ + x = 0

x(0) = 0, x′(0) = 1

приводит к (Ut*Us)*U0=sin(s+t), Us=sin(s), Ut*(Us*U0)=cos(t)*sin(s) +sin(t)*cos(s).

Высший курс базового обучения информатике ориентирует развитие ПО в отношении упаковки знания. Благодатна тема комплексных чисел, к то­му же в условиях исторически состоявшегося перехода их в «реальность». («Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что состояние бытия с небытием», такими они были для гения Лейбница).

(1) Сле­дует воспользоваться конструктивным аспектом рекуррентных вычис­лений, когда необходимы комплексные решения:

xn+2= 2*xn+1−2*xn

x(0) = x(1) = 1 .

Тогда xn=[(1+i)n+(1−i)n]/2=(2)n/2*cos(nπ/4). Получили искомую последовательность 1,1,0,−2,−4,−4,0,8,16,0, −32,…

(2) Эффектным будет использование выражений Δ2= (x1−x2)2 и Δ3= (x1−x2)2(x2−x3)2(x3−x1)2, т. к. дискриминируем корни без использования формул для корней алгебраических уравнений. Задействуя понятия ООП и наследование:

(3) можем подключить категоричность – следует рассмотреть непрерывность функций и изоморфизм алгебр (<Z│+> и <Z│*>), выделяющих особенности cos и sin; (4) для обсуждения аксиоматизации и наследования можем разобрать различие полей: конечного, бесконечного упорядоченного, бесконечного алгебраически замкнутого; тогда наследование между комплексным и вещественным полями может уже разрешаться в зависимости от практической необходимости, а не только детерминировано – исторически.

(5) Задействуя абстрактный тип данных (АТД), может исследоваться непротиворечивость через сводимость.

(6) Помня об алгебраических и топологических основах теории вычислений, надлежит: продвинуться к теореме Фробениуса; затем возможно рассмотреть комплексные числа в совокупности с дуальными и двойными, причем как наследников двумерных чисел; после этого наступит очередь и теоремы Понтрягина об обобщении чисел.

(В) Известно школьное «чудо», связанное с уложением (разработкой) математики в прокрустово ложе «богатства» квадратного уравнения. Это приводит к впечатляющим разрушениям учащегося в отношении возможности движения по градиентному пути.

Во-первых, «вымывается» из курса доказательство. Обсудим это. В [2] приводится «доказательство» прямой теоремы Пифагора посредством «смотри» Платона. Там же обсуждается доказательство Евклида, в котором взвешенность логики и «интуитивного» понимания вклада понятий (площади, равносоставленности) высоко ценил Ф. Клейн. Естественно, имея под рукой различные, в том числе «естественные» аксиоматики, возможно использование разнообразия доказательств для выявления изначального смысла понятий. Что же касается формирования через доказательство представлений учащегося о связности математики, то оно бесценно для нашей позиции.

Во-вторых, «реальность» единственной модели дополнительно фальсифицирует доказательство, способствуя его отторжению как казуистики. Вспомним, к примеру, о школьных впечатлениях от теорем о равнобедренном треугольнике. Здесь, для противодействия, уместно использовать конструктивность аксиоматики Евклида и показать на примерах с какой тщательностью упаковано геометрическое знание о циркуле и линейке в доказательство (например, впечатляет и предложение 2 и его доказательство: от данной точки отложить прямую, равную данной прямой, [17]). Могут быть привлечены также доказательства неразрешимости классических задач древности.

В третьих, наконец, редко кто из школьников отдает отчет, что решение задачи это не вычисление ответа, а доказательство правильности решения. В качестве примера приведем известную задачу, используемую при тестировании для конкретных значений переменных: найти площадь S прямоугольного треугольника с гипотенузой с и высотой h, опущенной из прямого угла на гипотенузу. Мало кто способен координатизировать задачу посредством с1, с2 (проекций катетов) и высоты h: с1+с2= h, (с1+с2)2= (с12 + h2)+(с22 + h2). Тогда получим не только S=ch/2, но и условие существования треугольника с≥2h, т. е. условие применения формулы. Ясно, что в век алгоритмической деятельности перевод задачи в аналитический план имеет особый статус. А необходимое и достаточное математики ‑ особая часть рациональной культуры.

Высшая школа не противится школьному злу (пример, проникновение ЕГЭ), а увеличивает его, формируя виртуального студента, тесно увязанного решением зафиксированного набора задач на зачетах и на экзаменах, неуклонно превращающихся в письменные. Всем удобно, страдает рациональное знание и инфосфера, т. к., обучаясь, большинство не умнеет.

(С) Ясно, что следует избегать великих скачков типа «долой Евклида». Наоборот, модель Евклида должна использоваться как онтологическое конкретное для овладения концептуальностью абстрактного. Но, в связи с перспективой развития в рамках царской дороги, следует также отвергать тиранию «реальности» модели Евклида, ограничивающей учащегося. Например, в отношении рефлексивного свойства параллельности надо занять определенную позицию. Да, следует полагать параллельность рефлексивным. Приведем доводы, т. к. на этой частности ясно проявляется, еще раз, позиция царской дороги в отношении градиента.

Продвижение в сторону «за рефлексивность параллельности» имеет рациональное объяснение. Математика была готова и раньше, но реально сейчас позволяет многим заниматься представлением знания на компьютере. Представление знания на компьютере влияют на изложение курсов в школе. В отношении геометрии изменение в следующем. От традиционного пути, на котором предлагали геометрию как упакованное в доказательство представление знания о физическом мире, пришли к геометрии, которая рассматривается как модель алгебраической структуры. Используемые в изложении алгебраические структуры разные. Некоторые из них продвинуты к высшей школе (например, точечно-векторная структура Вейля). Впрочем, эти фундаментальные абстракции естественны для современного школьника. Имея вектор, как базовое понятие, полагают рефлексивность как следствие понятия коллинеарности. Так же в пользу рефлексивности действуют в алгебраической структуре, выражающей декартово представление геометрии. И в аффинной геометрии – естественна рефлексивность. Вывод. В некоторых алгебраических структурах геометрии рефлексивность естественна. Остальные описания «подтягиваются» к ним, тогда все они становятся эквивалентными и на уровне представления о «реальном» прототипе. Последнее важно для школьника, требующего «объективности» в рациональном знании. Возможно, что сторонникам «против рефлексивности параллельности» следует вспомнить проблему введения отрицательных чисел: x < y и x / y = y / x. Несмотря на нежелаемое равенство, пришлось уступить значимости порядка.

(D) Ясно, что следует избегать регламентирующего тестирующего характера контроля математических знаний. Важнейшей характеристикой развития учащегося является его представление о концептуальной роли предмета – математический мир. Поэтому разработка НАМ с учетом перспективы требует особого внимания к использованию других естественных моделей геометрии, например, декартовой, Колмогорова или Вейля. При такой разработке ПО вопросы типа ‑ «что такое прямая» ‑ не будут задачами на «засыпку», т. к. не смогут отождествляться с гуманитарной деструктивностью вопросов типа ‑ «что такое жизнь».

Подведем итог. Если спроектировать САМ, АМ на НАМ, то в наследнике особенно важным является: изоморфизм разных геометрических описаний, алгебраические структуры обобщающие числа, исчисление предикатов как средство описания и основы теории доказательств.

Аксиоматический метод

АМ по отношению к НАМ характеризуется утратой определенности реального моделирования за счет возросшей абстрактности, приведшей к осознанию большой пользы продуктивных (для интеллекта) моделей (преодоление тирании внешнего мира). Поэтому излагаемое ниже следует воспринимать: негативно ‑ как выявление несоответствия высшей школы реалиям рациональной культуры инфосферы; позитивно ‑ куда в конструктивном плане должны быть смещены акценты, чтобы обеспечить учащемуся плацдарм для понимания САМ.

(А) Обсудим онтологическую сущность алгебры и алгебраических моделей в качестве приобщения учащегося к системной сложности.

В высшей школе, занятой профессиональной сложностью предметов, не остается ресурса для установления междисциплинарных связей. Это справедливо даже в отношении связей программирования, математики и информатики. Здесь ключевым моментом в преодолении профессиональной узости становится забота об интеллектуальном взрослении в отношении алгебраических систем. Это означает, что следует перенести акцент к конструктивным вопросам аксиоматизации, а не только беспокоиться об обосновании ее плодотворности. Для обсуждения рассмотрим теорему Кэли. Всякая группа G изоморфно вкладывается в симметрическую группу (подстановок) на некотором множестве M. В качестве M можно взять при этом множество элементов группы G. Для конструирования аксиоматики следует выбрать «реальную» модель. Такой выбираем группу подстановок G. Клейна и С. Ли, которые, в определенном роде по схожим причинам, отдавали предпочтение группе подстановок, а не понятию группы общей алгебры. (Заметим, что в САМ придется вернуть приоритет общей алгебре). Итак, аксиоматизируем: ассоциативность суперпозиции, наличие для данной a обратной подстановки a-1, наличие тождественной подстановки. Получим необходимые условия для алгебры A=<A|*,-1,1>: (a*b)*c=a*(b*c); a*a-1=a-1*a=1; 1*a=a*1=a. Выявим достаточность этих равенств для выражения всех свойств подстановок. Т. е. в любой ее модели другие равенства, выполнимые для подстановок, также являются верными. Отсюда возникнет идея изоморфизма. Если установим изоморфизм алгебры A группе подстановок G, то достаточность обеспечивается. Изоморфизм устанавливается отображением j: a->lx.(a*x). Другой пример – линейное конечномерное пространство. Вновь, сосредотачиваясь на вопросе аксиоматизации, выбираем «реальную» модель – вещественное линейное пространство. Необходимые условия для алгебры записываются естественно. Достаточные условия затребуют изоморфизма, который задается отображением базисов. Таким же образом можем рассмотреть известную теорему Стоуна и т. д., причем с явной пользой для понимания математических основ ООП. Заметим, что понимание учащимся неформальной сути (в данном случае АМ), как всегда, определяется деятельностью схожей с открытием. Но открытие для понимания проводится в условиях знания (открываемого).

(В) На пути получения аксиоматических описаний нуждаемся в общей алгебре значительно больше, чем в обосновании плодотворности алгебр. (Например, бессмертные направленные отрезки линейной алгебры высшей школы, сравнимые с бессмертными процентами средней школы, могут занять скромные места в «теории».) В качестве подтверждения рассмотрим алгебраическое описание натуральных чисел N =<N|0,s>: 0Ïs(x); s(x)=s(y) -> x=y; "A-подалгебра (AÌN-> A=N). Понадобилось понятие подалгебры (изоморфизм, как мы видели, является рабочим инструментом). Появляется возможность и необходимость завести речь о выразительной мощи логического языка описания.

(С) Займемся границами теорий уровня АМ. В сравнении с неразрешимостью классических задач древности (циркуль и линейка) получаем харак­теристики классов алгебр на основании средств описания. В качестве примера рассмотрим многообразия (тождества) и сопутствующую теорему Биркгоффа. Непустой абстрактный класс алгебр является многообразием в том и только в том случае, когда замкнут относительно подалгебр, фактор-алгебр и прямых произведений. Применим теорему. Примеры для невозможности описания. Группа не является примитивным классом полугрупп. Действительно, существует группа целых чисел Z, в которой натуральные числа N являются подполугруппой (но не группой). Бесконечные циклические группы не аксиоматизируемы, т. к. гомоморфный образ Z может быть конечным (на группу чет-нечет). Пример для возможности описания. Рассмотрим описание группы посредством решения уравнений: "a,b$1x(ax=b), "a,b$1x(xa=b). Введем сколемовские функции wr(a,b) и wl(a,b). Тождеством можем выразить существование и единственность решения: a*wr(a,b)= b, wr(a, a*b)= b.

Для алгоритмической обработки (АТД) важны представления посредством множества образующих и определяющих соотношений, фиксирующие пеановские модели свободных алгебр. Тогда важно следствие теоремы Биркгоффа, что всякая алгебра примитивного класса является гомоморфным образом некоторой свободной алгебры этого класса. И поэтому наследник фиксируется системой определяющих соотношений.

Дальнейшее продвижение в этом направлении ведут к теореме Мальцева о квазимногообразиях, к теореме Геделя-Мальцева о границах описания языка исчисления предикатов.

(D) При возросшей общности следует обратить внимание на необходимость разработки аналитического аппарата, особенно в конечных случаях, когда есть искушение разобраться минимальными средствами. По этому поводу сошлемся на [22], пример 2 в §1. В примере рассматривается конечная интерпретация системы аксиом соединения и параллельности аффинной плоскости. Конечная реализация из 4ех точек и 6ти прямых получается непосредственно. Следующая реализация из 9ти точек и 12ти прямых, проводимая построением конечного поля (p=3), системы координат и линейных уравнений ax+by=c, тем самым обретает логическую ясность. Проверка состоятельности модели устанавливается вычислением. (Первая модель соответствует аналитики для p=2). Для выхода на новые рубежи интеллект нуждается в кажущихся техническими средствах. Но их роль ‑ не «интеллектуальные» костыли, а среда развития новых представлений.

Подведем итог. Синтез НАМ, АМ, САМ (в центре АМ) требует, прежде всего, обсуждения изменения характера рационального. Во-первых, следует отдать предпочтение алгебраическим структурам (пушка – что особым образом стреляет, а не из чего состоит). Во-вторых, заметим онтологическую инверсию: у Декарта алгебра использовалась для геометрии, сейчас геометрия – для алгебры (пространства линейные, функциональные).

Современный аксиоматический метод

Обсудим суть предмета информатики с точки зрения вовлечения учащегося в рациональную культуру века систем.

(А) Первый ключевой момент – программирование является творческой деятельностью по доказательству соответствия спецификации программе. Доказательство разворачивается на концептуальном уровне, а затем подробности уточняюся при реализации программы. Такая деятельность в точности соответствует природе рационального постижения.

(B) Второй ключевой момент – информатика позволяет через конкретность формализации конструктивного (теория алгоритмов) понять необходимость концептуальных представлений на основе потенциальной бесконечности, диагонального метода или конкретной математики Кнута [9]. Например, при формализации алгоритмов посредством языка Клини (рекурсивные функции) интеллектуальное действие ведется на двух уровнях. Индуктивное восприятие алгоритмов позволяет воспринимать функции типа s=λx(x+1), 0=λx.0 подходящими для базы формализации. Концептуальное восприятие с необходимым пониманием диагонального метода позволяет осмыслить незамкнутость формализации посредством всюду определенных функций. Замкнутость требует использования частично-рекурсивных функций, а диагональный метод обнаруживает естественность неразрешимых проблем.

(C) Третий ключевой момент – языковая «инкарнация» математики (метаматематика) обнаруживает новое состояние рациональной культуры (CАМ). Представление о предмете разрабатывается на двух уровнях: на уровне собственно ПО и на уровне используемых средств описания (вспомним тезис о требовании на упаковку знания в инфосфере). В этих условиях геделизация должна стать рабочим инструментом (как гомоморфизм в АМ). В конструктивной деятельности при получении универсальной функции приобщение к геделизации происходит естественнее, чем на эпистемологическом уровне при формализации арифметики.

(D) Инкарнация в программировании – комбинаторные (смешанные) вычисления представляют в реальном программировании языковую «инкарнацию» математики. Рассмотрим примеры. Во-первых, рассмотрим вычисление S(K(SI))Kxy, где Kxy=x, Ix=x, Sxyz=xz(yz). Тогда S(K(SI))Kxy = (K(SI)x)(Kx)y = SI(Kx)y = Iy(Kxy) = y(Kxy) = yx. Следует обратить внимание, «данные» x, y и «программы» K, I, S при вычислении не различаются. Во-вторых, подстановочная семантика для рекурсии в императивном программировании (вспомним, передачу параметров по имени) позволяет легче к ней приобщиться. Пусть S(0)=0, S(n)=(n+S(n‑1)). Тогда S(3) = (3+S(3-1)) = (3+(2+S(2-1))) = (3+(2+(1+S(1-1)))) = (3+(2+(1+0)))=…=0. В-третьих, семантика текстового вывода отражает существо логического программирования – программируется перечисление (теории), а не алгоритм. Например, для предиката S(n,0+…+n) перечисление можем задать теорией: S(0,0), S(n, s)=S(n+1,s+(n+1)). Вычислитель, способный строить дерево вывода, посчитает. Программист через порождение доказывает индукцией правильность программы: S(0,0)‑>S(1,1) ‑>S(2,3)… .

(E) Алгебраические структуры нужны для ООП (или наоборот), свободные алгебры с гомоморфизмом нужны для наследования (или наоборот).

(F) Внимание(!) ‑ развитие конкретной математики вносит в культуру улучшающие (упрощающие) коррективы в «незыблимые» традиции.

Рассмотрим две записи кусочного определения функции. Первая запись использует фигурную скобку Она поддерживается семантикой, записанной КНФ и улучшенной для восприятия применением импликации [20] Тогда конъюнктивная роль фигурной скобки не расходится с той же ее ролью при записи систем уравнений. В императивном программировании кусочному определению соот­ветствует команда выбора if (x>=0) ‑> (y:=x)  (x<=0) ‑> (y:=‑x) fi, для которой оста­новились тоже на КНФ-cемантике [23, с. 136].

Вторая запись использует прямую скобку Она поддерживается ДНФ-семантикой [20] Чтобы не возникала связь с импликацией не следует писать «если», Если хотим различать записи, то здесь следует писать «при». В λ-программировании кусочному определению соответствует условная функция COND [21, с. 123, 145]. Аппликация COND P Q R выбирает Q или R в зависимости от значения предиката P. Это происходит обращением COND TRUE Q R или COND FALSE Q R при следующих реализациях COND, TRUE, FALSE: COND=λp.λq.λr(pqr); TRUE=λx.λy. x; FALSE=λx.λy. y. Семантика λ-программирования подстановочная. Например, COND TRUE Q R ‑> (λp.λq.λr(pqr))(λx.λy. x)QR ‑> (λq.λr((λx.λy. x)qr))QR ‑> (λq.λr((λy. q)r))QR ‑> (λq.λr. q)QR ‑> (λr. Q)R‑> Q. При подстановочной семантике запись с прямой скобкой естественна и правильна. Действительно, в λ-записи: (λx.(COND (x>=0) x (‑x)) (‑2) ‑> (‑(‑2)) ‑> 2 .