Система счисления – это совокупность приемов и правил наименования и обозначения чисел, позволяющих установить взаимно однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде конечного числа символов. Основанием системы счисления называется количество символов, с помощью которых изображается число в данной системе счисления.
Все системы счисления можно разделить на позиционные и непозиционные.
Непозиционные системы счисления – система, в которой символы, обозначающие то или иное количество, не меняют своего значения в зависимости от своего местоположения (позиции) в изображении числа.
Запись числа А в непозиционной системе счисления D может быть представлена выражением:
N
AD = D1 + D2 + … + DN = S Di,
i=1
где AD – запись числа А в системе счисления D; Di – символы системы.
Непозиционной системой счисления является самая простая система с одним символом (палочкой). Для изображения какого-либо числа в этой системе надо записать количество палочек, равное данному числу. Например, запись числа 12 в такой системе счисления будет иметь вид: , где каждая «палочка» обозначена символом 1. Эта система не эффективна, так как форма записи очень громоздка.
В общем случае непозиционные системы счисления характеризуются сложными способами записи чисел и правилами выполнения арифметических операций. В настоящее время все наиболее распространенные системы счисления относятся к разряду позиционных.
Позиционной системой счисления называют систему счисления, в которой значения цифры определяется ее местоположением (позицией) в изображении числа.
Упорядоченный набор символов (цифр) {a0, a1, …, an}, используемый для представления любых чисел в заданной позиционной системе счисления, называют ее алфавитом, число символов (цифр) алфавита p = n + 1 - ее основанием, а саму систему счисления называют p-ичной. Основание позиционной системы счисления – количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.
При работе с компьютерами приходится параллельно использовать несколько позиционных систем счисления (чаще всего двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную). Большое практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы счисления в другую.
Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе.
При переводе чисел из одной системы счисления в другую следует придерживаться следующих правил:
1. Перевод чисел в двоичную систему счисления
1.1. Из восьмеричной системы счисления:
Нужно каждую цифру восьмеричного числа записать триадой (тройкой) цифр двоичной системы счисления.
Например: 2748 = 1002.
Десятичный индекс внизу числа указывает основание системы счисления.
1.2. Из десятичной системы счисления:
Нужно делить число нацело на 2, пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю, и переписать остатки в обратном порядке.
Например: 81 : 2 =
40 : 2 =
20 : 2 =
10 : 2 = 5 (0)
5 : 2 = 2 (1)
2 : 2 = 1 (0)
1 : 2 = 0 (1)
Ответ: 8110 = .
Для перевода дробной части (или числа, у которого «0» целых) умножаем ее на 2, целая часть произведения – первая цифра числа в двоичной системе; затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т. д. Следует заметить, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной (периодической) двоичной. Например: 0,73 × 2 = 1,46 (целая часть 1);
0,46 × 2 = 0,92 (целая часть 0);
0,92 × 2 = 1,84 (целая часть 1);
0,84 × 2 = 1,68 (целая часть 1) и т. д.; в итоге
0,73 10 = 0,1011…2.
1.3. Из шестнадцатеричной системы счисления:
Нужно каждую цифру шестнадцатеричного числа записать тетрадой (четверкой) чисел двоичной системы счисления.
Например: 9C516 = 1
2. Перевод чисел в восьмеричную систему счисления
2.1. Из двоичной системы счисления:
Нужно разбить число влево и вправо от запятой на триады цифр и каждую из них представить восьмеричным числом.
Например: 1012 = , 1012 = 67,58.
2.2. Из десятичной системы счисления:
Нужно делить число нацело на 8, пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю, и переписать остатки в обратном порядке.
Например: 265 : 8 =
33 : 8 = 4 (1)
4 : 8 = 0 (4)
Ответ: 26510 = 4118.
2.3. Из шестнадцатеричной системы счисления:
Нужно сначала представить число в двоичной системе счисления, а затем в восьмеричной.
Например: С6, 816 = 1, 10002 = , 1002 = 306,48.
3. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
Нужно представить число в виде суммы произведений коэффициентов и степеней основания системы счисления.
Например: = = 1*26 + 0*25 + 0*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20 = 32 + 0 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1 = 3510.
4. Перевод чисел в шестнадцатеричную систему счисления
4.1. Из двоичной системы счисления:
Нужно разбить число влево и вправо от запятой на тетрады цифр и каждую из них представить шестнадцатеричным числом.
Например: 1 1112 = 0, 11102 = 7В, Е16.
4.2. Из десятичной системы счисления:
Нужно делить число нацело на 16, пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю, и переписать остатки в обратном порядке.
Например: 1756 : 16 = = С)
109 : 16 = 6 (13 = D)
6 : 16 = 0 (6)
Ответ: 175610 = 6DC16.
4.3. Из восьмеричной системы счисления:
Нужно сначала представить число в двоичной системе счисления, а затем в шестнадцатеричной.
Например: 672, 58 = , 1012 = 0, 10102 = 1BA, A16.
Таблица 2
Таблица представления чисел в различных системах счисления
Десятичная | Двоичная | Восьмеричная | Шестнадцатеричная |
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 10 | 2 | 2 |
3 | 11 | 3 | 3 |
4 | 100 | 4 | 4 |
5 | 101 | 5 | 5 |
6 | 110 | 6 | 6 |
7 | 111 | 7 | 7 |
8 | 1000 | 10 | 8 |
9 | 1001 | 11 | 9 |
10 | 1010 | 12 | A |
11 | 1011 | 13 | B |
12 | 1100 | 14 | C |
13 | 1101 | 15 | D |
14 | 1110 | 16 | E |
15 | 1111 | 17 | F |
16 | 10000 | 20 | 10 |
Задание 2. Составить программу вычисления значений функции y = f (x) на промежутке [a, b] с шагом h (на языке Basic):
Таблица 3
Вариант | f(x) | a | b | h |
1, 31, 61 | 1/x2 - Ö x+1 | 1 | 2 | 0,15 |
2, 32, 62 | x2- 4sin (x) | 0 | 2 | 0,16 |
3, 33, 63 | 3x + cos (x) - 1 | 1 | 3 | 0,17 |
4, 34, 64 | Ö x2 - 1 + 2 sin (x) | 2 | 4 | 0,18 |
5, 35, 65 | 2 cos (x2) - 1/ ( x - 1) | 2 | 4 | 0,12 |
6, 36, 66 | 5 sin (x) - Ö x + 2 | 1 | 2 | 0,11 |
7, 37, 67 | 1/ (Ö x – 1 ) + 5 cos (x) – 1 | 2 | 4 | 0,13 |
8, 38, 68 | 2 sin2 (x) + 4 cos (x2) | 0 | 2 | 0,14 |
9, 39, 69 | 1 – 3 Ö x+ 1 – cos (x) | 1 | 3 | 0,10 |
10, 40, 70 | 2 + sin2 (x) – 3 | 0 | 2 | 0,19 |
11, 41, 71 | 4cos (x) – 5/x3 +2 | 2 | 4 | 0,12 |
12, 42, 72 | 7sin (x) + 4/x3 - 5 | 1 | 3 | 0,14 |
13, 43, 73 | cos (x2) + 5/x3 - 2 | 0 | 2 | 0,12 |
14, 44, 74 | 8cos (x) + sin (x)/x2 | 2 | 5 | 0,18 |
15, 45, 75 | cos (x2) + x3/ (Ö x +1 ) | 1 | 4 | 0,14 |
16, 46, 76 | 4sin (x) + x3/ (Ö x +2 ) | 0 | 3 | 0,18 |
17, 47, 77 | cos (x)/x2 + 7sin2 (x) - 5 | 1 | 4 | 0,15 |
18, 48, 78 | sin (x) + 5/x3 – 3x | 1 | 3 | 0,12 |
19, 49, 79 | 2cos (x2) + 3sin2 (x) + 1 | 0 | 2 | 0,14 |
20, 50, 80 | sin (x) - x3/ (Ö 3x +1 ) | 1 | 3 | 0,15 |
21, 51, 81 | 3cos (x) sin (x) – x3 | 2 | 4 | 0,12 |
22, 52, 82 | x3/ (Ö x +2 ) + 2x2 | 2 | 5 | 0,14 |
23, 53, 83 | 2x2 – 3x + 2cos (x2) | 1 | 3 | 0,12 |
24, 54, 84 | sin (x)/5x + x3 – 2 | 2 | 5 | 0,18 |
25, 55, 85 | cos (x) + 4x3 + 2 | 0 | 3 | 0,15 |
Продолжение таблицы 3
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
