Вторая часть (стр. 2 )

Решение. Рассмотрим функцию , графиком которой является парабола. Так как старший коэффициент положительный, то ветви параболы направлены вверх. По условию задачи корни лежат по разные стороны от числа , значит, , т. е. ; ; ; ; ; или .

.

Ответ: .

2.60. При каких значениях уравнение имеет два различных положительных корня?

Решение. Данное квадратное уравнение имеет два различных корня и , если (). Поскольку , а , то положительными корни будут, если . Значит, условию задачи удовлетворяют все решения системы ; .

Ответ: при всех .

2.62. Докажите, что уравнение не имеет корней.

Доказательство. Преобразуем левую часть данного уравнения . Равенство достигается только, если имеет решения система . Так как эта система решений не имеет, то выражение в левой части уравнения при любых значениях больше 1. Следовательно, исходное уравнение корней не имеет, ч. т.д.

2.63. Докажите, что число 1 является корнем уравнения и других корней у этого уравнения нет.

Доказательство. 1 способ. . Обозначим , тогда и уравнение примет вид ; ; или . Значит, или . Первое уравнение имеет единственный корень, равный 1. Второе уравнение корней не имеет. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень, который равен 1, ч. т.д.

2 способ. При имеем ; - верно, значит 1 – корень уравнения.

Пусть , тогда

, значит при исходное уравнение корней не имеет. Следовательно, - единственный корень, ч. т.д.

2.71. Решите систему уравнений .

Решение. ; ; .

- квадратное уравнение относительно , решая его, получаем или .

1) ; ; ; - решений нет.

2) ; - симметричная система второй степени, которая имеет не более двух решений. Очевидно, это пары чисел и .

Ответ: ; .

2.74. При каких значениях система имеет единственное решение?

Решение. ; ; ; . Система имеет единственное решение, если у второго уравнения системы дискриминант равен нулю. .

; .

Ответ: при или .

2.77. Решите систему уравнений .

Решение. 1 способ. ; ; ; ; ; .

Ответ:

2 способ. Сложив все четыре уравнения системы, получим уравнение , т. е. . Вычитая почленно из него каждое из уравнений данной системы, последовательно получаем

Ответ:

3. Неравенства.

3.3. При каких целых положительных значениях верно неравенство ?

Решение. Сначала найдем все решения данного неравенства ; ; ; ; .

Единственным целым положительным числом, удовлетворяющим неравенству, является 1.

Ответ: 1.

3.6. Решите систему неравенств .

Решение. ; ; ; ; .

Ответ: .

3.12. Найдите область определения выражения .

Решение. Область определения данного выражения совпадает с множеством решений неравенства .

Корни: ; ; или .

x

Ответ: .

3.14. Какое из чисел больше или ?

Решение. 1 способ. Рассмотрим разность .

Так как знаменатель первой дроби меньше, чем знаменатель второй дроби, то первая дробь больше второй, а значит, разность положительна. Следовательно .

Ответ: .

2 способ. и

и

и

и

45  и 48

Так как , то .

Ответ: .

3.15. Сравните числа и 12.

Решение. При сравнении чисел и 12, воспользуемся соотношением между средним арифметическим и средним квадратичным двух положительных чисел.

. Так как , то .

Ответ: .

3.19. Решите неравенство .

Решение. Так как , то . Тогда данное неравенство равносильно неравенству ; ; .

Ответ: .

3.21. Докажите, что дробь ни при каких значениях не принимает отрицательные значения.

Доказательство. Выражение , являясь неполным квадратом разности, при любых значениях принимает положительные значения. Значит, дробь тоже положительна при всех значениях , ч. т.д.

3.33. Сравните числа и .

Решение. 1 способ.

..

Так как знаменатель первой дроби меньше, чем знаменатель второй дроби, а их числители равны, то первая дробь больше второй. Следовательно, .

Ответ: .

2 способ. Рассмотрим отношение

. Так как отношение двух положительных чисел больше 1, то числитель больше знаменателя, т. е. .

Ответ: .

3.39. Решите неравенство .

Решение. Обозначим , тогда неравенство примет вид .

; или .

t

Значит или , т. е.

или ;

или ;

или ;

, , .

Ответ: .

3.45. При каких значениях система неравенств имеет решения?

Решение. ; ; ;

Эта система будет иметь непустое решение тогда и только тогда, когда , т. е. ; .

Ответ: при всех .

3.46. При каких значениях система неравенств имеет ровно три целых решения?

Решение. ; ; .

Эта система имеет решение тогда и только тогда, когда . Решением же системы является промежуток .

Чтобы этому промежутку принадлежали ровно три целых числа, необходимо выполнение следующего условия , т. е. .

Ответ: при всех .

4.Функции

4.4. Постройте график функции . Укажите наибольшее значение этой функции.

Решение. 1) График функции - парабола.

1. Ветви направлены вниз.

2. ; ; - вершина параболы.

3. : . Так как , то график не пересекает ось .

4. : ; - точка пересечения с осью .

5. Если , то ; ;

.

2) Наибольшее значение функции достигается при и равно -1.

4.13. Постройте график функции . При каких значениях значения функции положительны?

Решение. 1) Так как , то .

Область определения функции – множество . На указанной области определения данная функция может быть задана формулой .

Построим график функции и исключим из него точку с абсциссой .

График функции - парабола, ветви которой направлены вверх.

: ; или ; ; .

; ; .

: .

; ;

; .

Следовательно, график искомой функции выглядит так, как показано на рисунке.

2) Функция принимает положительные значения на множестве .

4.22. Постройте график функции , где .

При каких значениях прямая имеет с графиком этой функции две общие точки?

Решение. а) На множестве функция задана формулой . Построим график функциии исключим из него точки, абсциссы которых больше 1.

1. График – парабола, ветви которой направлены вниз.

2. : ; или ; ; .

3. ; ; .

4. : ; .

5. ; .

б) На множестве функция задана формулой . Построим график функции и оставим только те точки, абсциссы которых больше 1.

1 способ.

1. График – парабола, ветви которой направлены вверх.

2. : ; или ; ; .

3. ; ; .

4. : ; .

5. ; .

2 способ. Так как , то график функции симметричен графику функции относительно оси . Воспользовавшись симметрией, построим график функции и оставим только те точки, абсциссы которых больше 1.

Объединяя оба графика, получим график искомой функции.

в) Прямая имеет с графиком данной функции две общие точки при и .

4.25. Постройте график функции .

Решение. Так как ,

,

, то .

Область определения функции найдем из условия , т. е. и . Значит, множество является областью определения.

На этом множестве функция задается формулой .

Построим график функции и исключим из него точки с абсциссами и .