Вторая часть (стр. 1 )

Вторая часть

Далее приводятся некоторые возможные решения отдельные задач второй части книги авторов , и др. «Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе». В ряде случаев эти решения снабжены комментариями. Иногда приводятся несколько возможных способов решения той или иной задачи. Еще раз отметим, что не следует считать единственно верными приведенные решения и форму их записи.

Выражения и их преобразования.

Многие формулировки заданий этого раздела содержат требования упростить выражение, либо разложить данное выражение на множители. Уточним эти «требования».

А. Упростить выражение – значит заменить данное выражение тождественно равным ему выражением, содержащим минимально возможное количество операций на том же множестве, на котором определено исходное выражение.

Б. Разложить многочлен на множители – значит представить его в виде произведения максимально возможного количества множителей (коэффициенты множителей – целые числа, показатели степеней - натуральные).

1.2. Разложите на множители .

Решение. 1 способ.

.

2 способ.

.

Безусловно, оба эти способа равнозначны, и учащийся может выбрать любой из них, впрочем, как и другие.

Ответ: .

1.6. Сократите дробь .

Решение. Найдем корни квадратного трехчлена .

; или .

Тогда .

Значит, .

Ответ: .

1.11. Упростите выражение .

Решение. Сначала упростим выражения, стоящие в каждой из скобок

1) .

2) .

Следовательно,

.

Ответ: .

1.12. Упростите выражение.

Решение.

.

Ответ: .

Возможен ответ в виде , так как это выражение содержит столько же операций.

1.16. Упростите выражение .

Решение.

.

Ответ: .

Следует отметить, что последние два преобразования не являются необходимыми и ответ можно оставить в виде .

1.22.  Докажите, что .

Наиболее часто встречающийся способ доказательства подобных тождеств состоит в последовательном преобразовании одного из данных выражений в другое. Общее требование состоит в том, что в приведенном решении должны быть «видны» те тождества, которые использовались при этих преобразованиях. Таким образом, решение может выглядеть так.

Доказательство. 1 способ. , ч. т.д.

2 способ. Заметим, что , т. е. , значит

, ч. т.д.

При выборе второго способа указание того, что разность положительна, следует считать необходимым элементом решения.

1.26. Разложите на множители .

Решение. Приведем несколько способов решения данной задачи.

1 способ. Пусть , тогда данное выражение примет вид . Корни этого квадратного трехчлена 1 и , следовательно, .

А значит, .

2 способ. .

Очевидно, корни первого трехчлена 1 и , а второго и -1. Значит,.

3 способ. Выражение является квадратным трехчленом относительно . Его корни 1 и , следовательно,

.

Ответ: .

1.40. При каких значениях переменной не имеет смысла выражение ?

Решение. 1 способ.

Данное выражение имеет смысл, если ; ;

; ; ; ; . Значит, выражение не имеет смысла, если и .

2 способ. Данное выражение не имеет смысла при тех значениях , которые являются решениями хотя бы одного из трех следующих уравнений: 1) , 2) ,

3) .

1) ; .

2) ; ; ; .

3) ; ; ; ; ;

. Последняя система, а значит, и соответствующее уравнение решений не имеют. Следовательно, исходное выражение не имеет смысла при и .

Ответ: 0; -1.

1.46. Докажите, что .

Доказательство. Из условия задачи следует, что и , тогда

, ч. т.д.

1.49. Докажите, что при любых значениях переменной, выражение принимает положительные значения.

Доказательство.

1 способ. . Заметим, что , а , т. к. дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицательный, а старший коэффициент положительный. Значит, при любых значениях , как сумма положительного и неотрицательного числа, ч. т.д.

2 способ. при любых значениях, как сумма трех положительных слагаемых, ч. т.д.

(Выражение , являясь неполным квадратом разности, при любых значениях принимает положительные значения).

1.50. При каких значениях и выражение принимает наибольшее значение?

Решение.

.

Равенство достигается при , т. е. при и .

Ответ: при , .

1.51. Найдите наибольшее значение выражения и определите, при каких значениях и оно достигается.

Решение.

.

Так как при любых значениях и , то .

Равенство достигается при и .

Ответ: 10; при ,.

1.53. Чему равно наибольшее значение произведения , если и ?

Решение. Так как , то . При каждый из множителей выражения принимает положительные значения. Тогда, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, получаем . Равенство достигается при , т. е. .

Ответ: 6.25.

1.59. Между какими соседними целыми числами заключено значение выражения ?

Решение.

.

Так как , то ; ; .

Ответ: между числами 1 и 2.

1.60. Найдите наименьшее значение выражения и укажите пары значений и , при которых оно достигается?

Решение.

Очевидно, при всех допустимых значениях и .

Равенство достигается, когда оба слагаемых одновременно равны нулю, т. е. когда и являются решением системы ; ; ; ;

.

Ответ: 0; при , .

2. Уравнения и системы уравнений..

2.3. Решите уравнение .

Решение. ;

;

;

или ;

или ;

или .

Ответ: -3;

2.6. Решите уравнение .

Решение. Пусть , тогда ; или .

Вернемся к старой переменной.

1) ; или .

2) - корней нет.

Ответ:

2.8. Решите уравнение .

Решение. ;

1 способ..

; ; ;

или . Оба корня удовлетворяют неравенству системы.

Ответ: -3; .

2 способ. О. О.У.

и

.

На области определения имеем

;

;

;

; или . Оба значения входят в область определения уравнения.

Ответ: -3; .

3 способ. ;

;

;

; или .

Проверка: 1) ; ; ; - верно, значит - корень уравнения.

2) ; ; -верно, значит -3- корень уравнения.

Ответ: -3; .

2.21. Вычислите координаты точек пересечения парабол и .

Решение. Абсциссы точек пересечения парабол являются корнями уравнения ; ; ; .

Если , то .

Если , то .

Значит, параболы имеют две точки пересечения, координаты которых и .

Ответ: ; .

2.22. Решите уравнение .

Решение. .

1) Так как 1-25+60-36=0, то 1 – корень исходного уравнения.

.

2) .

Так как - верно, то 2 – корень этого уравнения.

.

3) ; или .

Ответ: -6; 1; 2; 3.

2.30. Найдите все целые значения , при которых уравнение имеет два корня.

Решение. При имеем ; - это уравнение имеет один корень.

При исходное уравнение квадратное. Оно имеет два корня тогда и только тогда, когда . .

Решим систему ; ; ; ; ; .

Это множество содержит четыре целых числа: -2; -1; 1; 2.

Ответ: -2; -1; 1; 2.

2.31. При каком значении уравнение имеет два корня? Найдите эти корни.

Решение. ; ; или .

Исходное уравнение может иметь два корня в двух случаях.

1)  Уравнение имеет один корень, отличный от нуля, т. е. если - полный квадрат, значит, . . Тогда .

2)  Один из корней уравнения равен нулю, а другой отличен от нуля, значит, . ; ; или .

Ответ: 0 и -3 при ;

0 и -6 при .

2.32. При каких значениях уравнение имеет корни?

Решение. 1 способ.; . Это квадратное уравнение имеет корни, если .

.

при , т. е. .

Ответ: при всех .

2 способ. ;

;

.

Это уравнение имеет корни при , т. е. при .

Ответ: при всех .

2.41. Решите систему уравнений .

Решение. Данная система является симметричной системой четвертой степени, значит, она имеет не более четырех решений. Очевидно, решениями являются следующие пары чисел ; ; ; .

Ответ: ;;;.

2.50. Решите систему уравнений .

Решение. Система из двух первых уравнений имеет единственное решение, т. к. коэффициенты при неизвестных непропорциональны. Если это решение удовлетворяет третьему уравнению, то оно и есть решение исходной системы. Если это решение не удовлетворяет третьему уравнению, то система решений не имеет.

1) ; ; ; ; .

2) - неверно, значит, исходная система решений не имеет.

Ответ: решений нет.

2.59. При каких значениях один корень квадратного уравнения больше , а другой меньше ?