4.1. Введение (стр. 2 )

В приведенных ниже примерах первый иллюстрирует изменения коэффициентов целе­вой функции, второй показывает изменения правых частей, ограничений, а третий — измене­ния технологических коэффициентов модели. В главе 1 мы называли коэффициенты целе­вой функции, правые части ограничений и технологические коэффициенты параметра­ми модели, поэтому иногда исследование воздействия изменений этих величин называют параметрическим анализом. Посмотрим, какую информацию о воздействии изменений первого типа может предоставить нам графический анализ и отчет по устойчивости сред­ства Поиск решения; изменения третьего типа будут исследоваться в разделе 4.9.

4.7. Изменения коэффициентов целевой функции

Предположим, что ограничения неизменны, а изменяются только коэффициенты це­левой функции. Тогда с геометрической точки зрения меняется только угол наклона прямой целевой функции. Что при этом происходит, мы уже наблюдали в разделе 4.3. На рис. 4.5 все данные модели Oak Products остались прежними, лишь удельный доход для стульев Mate возрос с $40 до $80 в расчете на один стул. В результате данного изменения изменился угол наклона прямой целевой функции, поэтому оптимальным стало новое угловое решение.

Экспериментируя с коэффициентами целевой функции модели Oak Products в про­грамме GLP, можно заметить, что некоторые изменения коэффициентов не приводят к изменению оптимального решения, несмотря на то, что прямая целевой функции име­ет другой угол наклона. Например, заменим целевую функцию 56С+ 40М новой функци­ей 56С + 48М. Как показано на рис. 4.4, решением для исходной целевой функции явля­лась пара значений С = 130, М = 60. В новой целевой функции переменной М соответст­вует более высокая удельная прибыль. Поэтому можно ожидать, что новое оптимальное решение будет предусматривать производство большего количества М. Поскольку их прибыльность возросла. Однако, как свидетельствуют представленные на рис. 4.10 ре­зультаты анализа новой модели программой GLP, этого не произошло. Оптимальные значения С и М не изменились, вновь было получено то же самое решение.

Совет. Если щелкнуть правой кнопкой мыши на линии целевой функции поблизости точки ее пересечения с одной из осей, а затем перетащить линию мышью, GLP будет поворачивать линию целевой функции вокруг точки пересечения с другой осью. Это позволяет непосредст­венно увидеть на графике связь между углом наклона линии целевой функции, угловыми точ­ками и перемещениями оптимального решения из одной угловой точки в другую при измене­нии угла наклона линии целевой функции.

Очевидно, что отрицательный наклон линий, связанных с каждой из трех рассмот­ренных целевых функций (рис. 4.4, 4.5 и 4.10), уменьшается по мере увеличения при­быльности М по отношению к С (т. е. при возрастании значения отношения коэффици­ента при М к коэффициенту при С). Однако, хотя целевые функции 56С+40М и 56С + 48М имеют разные углы наклона, эти углы недостаточно различны, чтобы полу­чить новое решение. Для обеих целевых функций оптимальное решение одно и то же: С = 130, М = 60. С другой стороны, поскольку коэффициент целевой функции изменил­ся, оптимальное значение целевой функции изменится, что и показано на трех указан­ных рисунках. Подведем итог.

| Изменение коэффициентов целевой функции приводит к изменению утла наклона прямой целевой функции. Это может отразиться (а может и не отразиться) на опти­мальном решении.

Сравнивая три вышеупомянутых рисунка, можно сделать вывод, что, если значение отношения коэффициента при М к коэффициенту при С равно 1, прямая целевой функ­ции будет иметь тот же наклон, что и линия ограничения для ножек. Более того, как только значение данного отношения превысит 1, новое оптимальное решение (рис. 4.5) станет предпочтительней, чем решение, показанное на рис. 4.4. Если же значение этого отношения равно !, прямая целевой функции параллельна линии ограничения для но­жек, и программам GLP или Поиск решения будет безразлично, какое из угловых реше­ний (на рис. 4.4 или на рис. 4.5) выбрать, поскольку оба решения дают одинаковое зна­чение целевой функции.

Напоминаем, что если в модели с двумя переменными прямая целевой функции парал­лельна прямой какого-либо ограничения (в нашем случае это ограничение для ножек), то су­ществует два оптимальных угловых решения: текущее решение, находящееся на пересечении ограничения для ножек и ограничения для длинных штифтов, и второе решение, задаваемое пересечением ограничения для ножек и ограничения для коротких штифтов. Более того в та­ком случае все точки прямой ограничения для ножек, находящиеся между этими угловыми точками, также являются оптимальными. В ситуации, когда имеется несколько наборов оп­тимальных значений переменных решения, дающих одинаковое значение целевой функции, используется термин множественные (альтернативные) оптимальные решения.

Если задача ЛП имеет более одного оптимального решения, т. е. существуют множест­венные оптимальные решения, то этих оптимальных решений бесконечно много.

Рассмотрим теперь результаты применения средства Поиск решения для этих трех различных целевых функций, чтобы разобраться, как интерпретировать информацию, содержащуюся в отчете по устойчивости, генерируемом этим средством. На рис 4.11 представлена таблица модели Oak Products, в которой показано оптимальное решение за­дачи ЛП из главы 3, только вместо отчета о результатах был выбран отчет по устойчиво­сти. Отчет по устойчивости располагается на отдельном рабочем листе, на котором убра­ны линии сетки (см. рис. 4.11). Вторая строка верхней части отчета, озаглавленной Из­меняемые ячейки, содержит значение 40 в столбце Целевой коэффициент (для стульев Mate), а Допустимое увеличение дня данного коэффициента равно 16. Это означает, что если остальные данные модели останутся неизменными, то, увеличив коэффициент це­левой функции для стульев Mate (т. е. удельный доход в расчете на единицу продукции) не более чем на 16, мы получим то же самое оптимальное решение задачи ЛП, что и в ис­ходном случае; если же прирост составит более 16, текущее решение, полученное с по­мощью Поиск решения, уже не будет оптимальным. Почему так происходит?

Замечание. При составлении отчета по устойчивости Поиск решения для каждой из ячеек левых частей ограничений просматривает таблицу модели справа налево, пока не найдет заго­ловок строки (если таковой существует) в строке данного ограничения. Затем программа про­сматривает таблиц}' вверх от рассматриваемой ячейки, пока не обнаружит заголовок столбца (если он существует) в столбце данного ограничения. Эти два заголовка соединяются и образу­ют заголовок, соответствующий данному ограничению в отчете по устойчивости. Аналогич­ный процесс в отчете по устойчивости выполняется и с целью создания заголовков для ячеек переменных решения. Правильный выбор и размещение заголовков в табличном представлении модели ЛП позволяют создать информативные заголовки в отчете по устойчивости.

Если прирост коэффициента целевой функции при переменной М:

...меньше 16, то значение отношения коэффициента при М к коэффициенту при С бу­дет меньше 1; как мы уже видели ранее в программе GLP, такого изменения целевой функции недостаточно, чтобы решение сместилось из текущей угловой точки;

...больше 16, значение отношения коэффициента при М к коэффициенту при С будет больше 1; как следует из анализа, проведенного в GLP, такое изменение целевой функ­ции приведет к смещению решения из текущей угловой точки в другую угловую точку:

...равно 16, значение отношения коэффициента при М к коэффициенту при С будет равно 1; как следует из анализа, проведенного в GLP, это приведет к тому, что оба угло­вых решения будут давать одно и то же значение целевой функции, т. е. существуют мно­жественные оптимальные решения.

Аналогично, если остальные данные модели остаются неизменными, Допустимое уменьшение целевого коэффициента для стульев Captain, равного 56, составляет 16. Та­ким образом, чтобы значение отношения коэффициента при переменной М к коэффи­циенту при переменной С стало равным 1, нужно уменьшить значение данного коэффи­циента на 16, а это означает, что снижение коэффициента на меньшую величину не при­ведет к изменению текущего решения, предложенного средством Поиск решения.

Итак, значения Допустимое увеличение и Допустимое уменьшение в таблице Изме­няемые ячейки отчета по устойчивости показывают, на сколько можно изменить Целевой коэффициент при заданной переменной решения в целевой функции, оставив неизмен­ными остальные данные модели, чтобы при повторной оптимизации модели получить то же самое решение. Иными словами, диапазоны целевого коэффициента задают пределы изменений данного коэффициента (остальные данные остаются постоянными), которые не вызовут изменений оптимального решения. Программа GLP позволяет увидеть, куда пере­местится оптимальное решение задачи ЛП при изменении целевого коэффициента, выхо­дящего за пределы указанного диапазона. В отчете по устойчивости средства Поиск реше­ния не содержится никакой информации о том, где будет находиться новое угловое реше­ние. Но отчет по устойчивости предоставляет информацию, пусть и ограниченную, для моделей ЛП произвольной размерности, в то время как визуальные возможности програм­мы GLP ограничены моделями с двумя переменными решения. Подведем итог.2

Решение задачи ЛП может оказаться вырожденным, в таком случае перечисленные далее пункты нужно рассматривать как некое упрощение. Более глубоко проблема вырождения в моделях ЛП рассматривается в разделе 4.13.

1.  Значения в столбцах Допустимое увеличение и Допустимое уменьшение раздела Изменяемые ячейки отчета по устойчивости показывают, на сколько можно уве­личить или уменьшить коэффициент при переменной в целевой функции, чтобы оптимальное решение (т. е. значения переменных решения) осталось неизменным, при условии, что остальные данные считаются фиксированными. При этом опти-мальное значение целевой функции может измениться.

2.  Если величина изменения целевого коэффициента меньше допустимой, текущее оптимальное решение остается единственным.

3.  Если коэффициент при переменной в целевой функции увеличить или уменьшить в точности на допустимую величину, появится альтернативное оптимальное решение.

На основании отчета по устойчивости можно сделать еще один интересный вывод о решении : если для некоторой переменной из таблицы Изменяемые ячейки в столбце Допустимое увеличение или Допустимое уменьшение содержится нулевое значение, значит, для данной модели существует по крайней мере одна альтернативная угловая точка оптимального решения. Более того, если альтернативное оптимальное решение существу­ет, обязательно появится такое нулевое значение. Это правило проиллюстрировано на рис. 4.12, где изображена гипотетическая линейная модель максимизации с двумя пере­менными и тремя ограничениями-неравенствами. Прямая целевой функции параллельна прямой второго ограничения (помеченного цифрой 2). Видно, что угловые точки 1 и 11 являются альтернативными оптимумами данной модели. Поскольку Поиск решения ис­пользует для оптимизации моделей ЛП метод, который просматривает угловые решения по очереди, программа укажет в качестве оптимального решения только одно из них, и отчет по устойчивости будет составлен только для этого углового решения. Предполо­жим, что с помощью средства Поиск решения найдено угловое решение I. Из представ­ленной на рис. 4.12 геометрической интерпретации модели следует, что любое увеличе­ние коэффициента при х1 изменит угол наклона прямой целевой функции, например, она приблизится к линии, нарисованной пунктиром, и единственным оптимальным ре­шением станет угловая точка II. Отчет по устойчивости укажет на это, проставив нулевое значение для х1 в столбце Допустимое увеличение.

Увеличивая в нашей модели коэффициент при переменной М (при фиксированном значении коэффициента при переменной С), в конце концов получим новое решение (рис. 4.5), в котором оптимальное значение М больше исходного решения. Этот результат вполне соответствует интуитивным соображениям, поскольку увеличение прибыльности М не должно приводить к снижению их выпуска! Данная ситуация иллюстрирует общее положение.

| В модели максимизации увеличение коэффициента при какой-либо переменной реше­ния (т. е. увеличение прибыльности деятельности, связанной с этой переменной) при условии постоянства остальных данных не может привести к снижению оптимального значения этой переменной (т. е. не снижает уровня данной деятельности).

' Более точно — о невырожденном решении.

При наличии в модели ЛП альтернативных оптимумов незначительные отличия в точности выполнения арифметических вычислений часто приводят к тому, что на одном компьютере Поиск решения находит одно оптимальное решение, а на другом — альтернативное угловое решение.

Ситуация для модели минимизации прямо противоположна. Поскольку в этом случае минимизируются общие затраты, то увеличение затрат на некую деятельность при неиз­менности остальных параметров не может привести к повышению оптимального уровня

данной деятельности. Еше одно общее положение выглядит следующим образом.

...

В модели минимизации увеличение коэффициента при какой-либо переменной реше­ния (т. е. увеличение затрат на деятельность, связанную с этой переменной) при посто­янстве остальных данных не может привести к увеличению оптимального значения \ этой переменной (т. е. не повышает уровень данной деятельности).

4.8. Изменение правых частей ограничений

Теперь от изменения коэффициентов целевой функции перейдем к рассмотрению изменений правых частей ограничений. Начнем обсуждение с общих наблюдений, ка­сающихся влияния изменений правых частей ограничений в виде неравенств. Чтобы продемонстрировать воздействие изменений этих параметров, вновь обратимся к графи­ческому анализу. Предлагаем поэкспериментировать, перемещая линии ограничений модели Oak Products на рис. 4.3 путем присвоения различных значений правым частям ограничений, чтобы увидеть разнообразие допустимых областей, получаемых в результа­те этих простых манипуляций. В программе GLP это можно делать, вводя различные значения правых частей неравенств, перетаскивая линии ограничений или щелкая на кнопках со значками + и —, находящихся справа от каждого поля ограничения в окне GLP. В результате экспериментов с перемещением ограничений модели Oak Products на рис. 4.3 можно сделать вывод, что увеличение правой части ограничения вида >= усилива­ет ограничение, т. е. такое ограничение становится сложнее удовлетворить. Аналогично, если правая часть ограничения вида < уменьшается, такое ограничение также становится сложнее удовлетворить, следовательно, оно усиливается.

Усиление ограничения-неравенства означает, что такое ограничение становится слож­нее удовлетворить. Для ограничения вида > это происходит при увеличении правой час - \ ти. Для ограничения вида < это происходит при уменьшении правой части.

Процесс уменьшения правой части ограничения вида >=, напротив, называется ослаб­лением ограничения. Как показано на рис. 4.3, с уменьшением правой части ограничения вида > появляется все больше комбинаций значений С и М, удовлетворяющих данному ограничению. Таким образом, данное ограничение становится проще удовлетворить. Аналогично при увеличении правой части ограничения вида < его становится проще удовлетворить, следовательно, происходит ослабление данного ограничения.

Ослабление ограничения -неравенства означает, что данное ограничение становится легче удовлетворить. Для ограничения вида > это происходит при уменьшении правой части, а для ограничения вида < — при ее увеличении.

Подытожим наши наблюдения геометрических последствий усиления и ослабления ограничений-неравенств.

Усиление ограничения-неравенства приводит к уменьшению допустимой области тли оставляет ее неизменной. Ослабление ограничения-неравенства приводит к расшире­нию допустимой области или оставляет ее неизменной.

Данные выводы справедливы для всех ограничений-неравенств и не зависят ни от размерности модели (числа переменных решения), ни от вида ограничений (<= или >=). Следует подчеркнуть, что при осуществлении анализа мы исходили из предположения, что изменения затрагивают только одно ограничение, в то время как остальные ограни­чения остаются фиксированными. Одновременное усиление (ослабление) нескольких ограничений также приведет к уменьшению (расширению) допустимой области или ос­тавит ее неизменной. Однако если одни ограничения усиливаются, а другие в то же время ослабляются, вряд ли можно сказать что-либо определенное о воздействии этих измене­ний на допустимую область в общем случае. Наконец, как мы уже видели, чрезмерное ог­раничение может привести к недопустимости модели. Эти выводы справедливы для мо­делей с произвольным числом переменных решения.

Посмотрим теперь, как эти выводы отражаются в отчете по устойчивости в таблице Ограничения.

Устойчивость к изменениям правых частей ограничений и теневые цены

Рассмотрим сначала ситуацию, при которой все числа в модели Oak Products остаются фиксированными, за исключением запаса длинных штифтов. Что если вместо 1280 штук их запас составит 1281? Как это отразится на оптимальном значении целевой функции? Поскольку данное ограничение имеет вид <. можно заключить, что увеличение правой части приведет к ослаблению ограничения, т. е. его будет проще удовлетворить. Следова­тельно, данное изменение определенно не уменьшит значения целевой функции. Однако произойдет ли его увеличение, и если да, то насколько?

Чтобы ответить на эти вопросы, воспользуемся испытанным средством — графиче­ским анализом, а затем свяжем результаты анализа с данными отчета по устойчивости, генерируемого средством Поиск решения. Обозначим через L значение правой части ог­раничения для длинных штифтов. Тогда первоначально L = 1280. В ходе экспериментов

с представленной на рис. 4.4 моделью будем менять ограничение для длинных штифтов, подставляя значения L— 1281, L =1320 и L= 1350. Как мы показали в разделе 4.2, эти новые значения L геометрически соответствуют параллельному переносу (в направлении от начала координат) линии ограничения.

Поскольку увеличение L означает ослабление данного ограничения, в геометриче­ском представлении допустимая область может измениться только в сторону расширения (если она вообще будет меняться). Новые множества ограничений совместно с опреде­ленными программой GLP оптимальными решениями, соответствующими значениям запаса длинных штифтов 1281, 1320 и 1350, представлены на рис. 4.13, 4.14 и 4.16 соот­ветственно. Эти рисунки позволяют обнаружить некоторые интересные факты, которые можно проверить, непосредственно изменяя модель Oak Products в программе GLP.

При L = 1281 (рис. 4.13) ограничения для ножек и длинных штифтов продолжают ос­таваться лимитирующими, новое решение: С= 130,25, М = 59,75, оптимальное значение целевой функции равно $9684. Заметим, что последнее значение увеличилось на $4 по сравнению с исходной моделью (было $9680).

Данный прирост $4 является, как показано на рис. 4.11, теневой ценой, соответствую­щей ограничению для длинных штифтов. Теневая цена ограничения для длинных штифтов в отчете по устойчивости показывает, насколько изменится оптимальное значение целевой функции, если правую часть данного ограничения увеличить на единицу при условии, что остальные данные останутся фиксированными. Термин цена означает, что данная величина отражает максимальную цену, которую можно согласиться заплатить за приобретение до­полнительного длинного штифта. Термин теневая означает, что ее значение скрыто до тех пор, пока не будет оптимизирована модель и проведен анализ чувствительности. В эконо­мической теории теневую цену иногда называют ценой резервирования.

Теневую цену для заданного ограничения можно рассматривать как коэффициент из-менения оптимального значения целевой функции при увеличении правой части этого-ограничения при условии, что остальные данные остаются неизменными.

На рис. 4.14 показано, что при L = 1320 оптимальным решением является С= 140, М — 50, лимитирующими становятся три ограничения — для длинных штифтов, для но­жек и прочных сидений, а оптимальное значение целевой функции равно $9840.

Решение, предложенное средством Поиск решения, и отчет по устойчивости для дан­ной модели показаны на рис. 4.15. Мы видим нулевые значения конечного запаса для трех лимитируюших ограничений. В предыдущих случаях (при L = 1280 и 1281) в точке оптимальности обе переменные решения были положительными и только два ограниче­ния были лимитирующими. В данном случае в точке оптимальности обе переменные ре­шения положительны, но связывающих лимитируюших ограничения — три. Нестрого говоря, решение задачи ЛП, для которого лимитирующих ограничений больше, чем по­ложительных переменных, называется вырожденным, что может приводить к определен­ным аномалиям при интерпретации отчета по устойчивости. Так, например, на рис. 4.15 показано, что допустимое увеличение и допустимое уменьшение для некоторых теневых цен равны нулю.5

Совет. Отчет по устойчивости — это обычный рабочий лист с отключенной сеткой. Мож­но изменить форматирование его содержимого, чтобы придать ему более удобную форму. Важно отметить, что теневая цена по умолчанию имеет тот же числовой формат, что и ячейка левой части соответствующего ограничения в исходной таблице Excel. Если в фор­мате этой ячейки десятичные знаки после запятой отсутствуют или их недостаточно, это может привести к тому, что будет указано нулевое значение теневой цены, в то время как фактически оно равно небольшому дробному числу, скажем, 0,023. Поэтому нужно взять за правило просматривать нулевые элементы в отчете по устойчивости, чтобы про­верить, действительно ли данный элемент равен 0, или же это небольшое число, требующее числового формата с большим количеством знаков после запятой.

Вырожденность — просто обозначение особенности модели (указывает на то, что некоторые ограничения избыточны — Прим. ред.) однако она требует более тщательной интерпретации содержащейся в отчете по устойчивости информации. Подробнее тема избыточности рассмотрена в разделе 4.13.

При L = 1320 значение правой части ограничения для длинных штифтов увеличилось на 40 единиц по сравнению с исходным значением 1280. В соответствии с определенной ранее теневой ценой (которая равна 4) значение целевой функции увеличилось на 9== = 160 = 4x40.

Если значение L превышает 1320, то, как показано на рис. 4.14 и рис. 4.16, ограничение для длинных штифтов перестает быть лимитирующим, более того, оно становится избы­точным, поскольку теперь его удаление никак не отражается на решении. Оптимальное ре­шение остается точно таким же, как на рис. 4.14 и 4.15. Решение, предложенное средством Поиск решения, и отчет по устойчивости для значения L = 1350 представлены на рис. 4.17.

Заметим, что теперь лимитирующими являются ограничения для ножек и коротких штифтов (см, также рис. 4.16). Кроме того, теневая цена для ограничения длинных штифтов снизилась с 4 до 0. Это изменение теневой цены показывает, что предыдущая ее интерпретация верна только для определенного диапазона значений правой части огра­ничения. Диапазон значений правой части ограничения, для которого теневая цена оста­ется постоянной, называется допустимым. Соответствующий диапазон указан в таблице Ограничения отчета по устойчивости в столбцах Допустимое увеличение и Допустимое уменьшение.

Таким образом, из отчетов по устойчивости, приведенных на рис. 4.11, 4.15 и 4.17, можно извлечь следующую информацию.

a. При L— 1280 (см. рис. 4.11) теневая цена равна 4, допустимое увеличение вели­
чины L для ограничения длинных штифтов составляет 40 штук, а допустимое
уменьшение — 180. Как можно убедиться, для значений L, находящихся в диа­
пазоне , при каждом увеличении запаса (правой части ограничения) на
единицу при условии, что остальные данные остаются неизменными, прирост оп­
тимального значения целевой функции составит $4.

b. При L= 1320 (см. рис. 4.15) теневая цена остается равной 4, но допустимое
увеличение становится равным 0, а это означает, что для данных правой части
ограничения, превышающих 1320. значение 4 уже не будет верным. Геометри­
ческий анализ свидетельствует, что при L > 1320 данное ограничение становит­
ся нелимитируюшим и, более того, избыточным. Незначительные изменения
правой части нелимитирующего ограничения не могут повлиять на оптимальное
значение целевой функции, следовательно, для нелимитирующего ограничения те­
невая цена всегда равна 0.

c. При L =1350 (см. рис. 4.17) данное ограничение является нелимитируюшим, те­
невая цена равна нулю, а допустимое увеличение — бесконечности.6 Таким обра­
зом, при дальнейшем увеличении L данное ограничение останется нелимити­
руюшим, а теневая цена — равной 0. Допустимое уменьшение имеет значение 30,
при этом правая часть ограничения вновь примет значение 1320. Для значений L,
меньше 1320, как показано на рис. 4.15, теневая цена составляет $4, а не 0.

Подведем итог.

1.  Теневая цена определенного ограничения может интерпретироваться как коэф­фициент изменения оптимального значения целевой функции при увеличении значения правой части данного ограничения на единицу при условии, что все ос­тальные данные остаются неизменными. Данная интерпретация теневой цены верна только в определенном диапазоне значений правой части. Этот диапазон за­дается значениями, указанными в столбцах Допустимое уменьшение и Допусти­мое увеличение в таблице Ограничения отчета по устойчивости. Именно в этом диапазоне теневая цена постоянна и имеет указанное значение. Вне допустимого диапазона теневая цена может принимать другие значения.

2.  Теневая цена нелимитирующего ограничения всегда равна 0. ("Нелимитируюшее" означает, что в точке оптимальности данное ограничение имеет ненулевой резерв или излишек.)

3.  Таблица Ограничения отчета по устойчивости не содержит информации о том, как меняются оптимальные значения переменных С и М. В ней только показано, как будет меняться оптимальное значение целевой функции при изменении пра­вой части ограничения.

Наибольшее число, которое можно представить в Excel, равно 1E+30, т. е. 1 и 30 нулей. Это чист можно считать бесконечно большим по сравнению с другими числами, фигурирующими в модели.

Линейное программирование помогает

компании экономить материалы

Компания Welborn Cabinet занимается производством шкафов в штате Алабама. Производство состоит из лесопилки, четырех сушильных камер и сборочного завода с фабрикой, производящей компоненты шкафов. Компания получает пиломатериа­лы для производства шкафов; 1) приобретая бревна, которые обрабатываются на ле­сопилке, чтобы получить доски, используемые затем на сборочном заводе; 2) приоб­ретая доски у внешних поставщиков. В настоящее время около 73% досок поступает с собственной лесопилки компании.

Бревна и доски относятся к первому или второму сорту, пиломатериалы первого сорта более качественные и дорогие. В настоящее время около двух третей общего объема закупленных компанией Wellborn бревен составляют бревна 1-го сорта. Заку­пленные доски, составляющие около 27% общего объема используемых досок, были двух видов: сырые (18%), которые необходимо сушить в сушильных камерах компа­нии, и сухие (9%). Практически все сухие доски также были 1 - го сорта.

Стоимость пиломатериалов составляет около 45% всех материальных затрат на изготовление шкафов. Поэтому руководство компании хотело узнать, является ли используемый компанией подход к покупке древесины наиболее экономичным. Чтобы ответить на данный вопрос, Центр технической помощи при университете Оборна в содружестве с Лесотехническим институтом проанализировали деятель­ность компании. Была создана линейная оптимизационная модель производства заготовок, ограничения которой учитывали производственные мощности лесопилки и сушильных камер, требуемый объем производства заготовок и возможный объем поставок сырья.

В результате оптимизации обнаружилось, что компания может минимизировать затраты на производство заготовок, покупая только два вида древесины: бревна 2- о сорта с диаметром тонкого конца 9—15 дюймов (88% объема закупок) и сырые доски 2-го сорта (12%). Такая политика закупок может почти на треть снизить затраты компании Wellborn на сырье, что позволит сэкономить около $в год. Модель также предоставила менеджерам множество дополнительной информации.

•  Теневые цены показывают возможность сделать более выгодную закупку бревен различных размеров.

•  Анализ чувствительности позволяет узнать диапазоны цен, для которых решение, предлагаемое моделью, будет оставаться оптимальным. В частности, он свиде­тельствует, что снижение цен на сухие доски или бревна 1-го сорта вплоть до 20% не повлияет на оптимальную политику закупок.

• Нулевое значение резерва для процесса работы сушильных камер показывает, что
данный процесс является узким местом, т. е. производственная мощность сушиль­
ных камер — единственный фактор, сдерживающий увеличение производства. По­
вышение производственной мощности сушильных камер на 22% позволит увели­
чить выпуск заготовок на 29% безо всяких дополнительных изменений. [51

4.9. Анализ чувствительности с помощью надстройки SolverTable

К недостаткам отчета по устойчивости, генерируемым средством Поиск решения, от­носится то, что, во-первых, он предоставляет информацию по устойчивости решения лишь в непосредственной близости от полученного оптимального решения, причем в от­вет на изменения только одного параметра. Во-вторых, предоставляемая информация касается только воздействия на оптимальное значение целевой функции, и. в-третьих, в нем нет данных по устойчивости решения при изменении технологических коэффици­ентов модели (т. е. коэффициентов в левых частях ограничений). Чтобы выяснить, каким будет решение при значительных изменениях параметров, при одновременном измене­нии нескольких параметров либо при изменении технологических коэффициентов, не­обходимо вручную вносить новые данные, повторно находить решение задачи и вручную фиксировать полученные результаты. В главе 2 при анализе чувствительности мы ис­пользовали таблицы подстановки Excel, чтобы зафиксировать сразу несколько сценариев "Что-если". К сожалению, таблицы подстановки нельзя использовать для фиксирования результатов оптимизации модели ЛП, поскольку в процессе создания таблиц подстанов­ки Excel просто пересчитывает рабочий лист, но не может самостоятельно вызвать сред­ство Поиск решения.

На прилагаемом к данной книге компакт-диске имеется надстройка SolverTable. xla. Это средство содержит макрос, создающий таблицы, подобные таблицам подстановки, для вновь оптимизированной модели ЛП после каждого изменения ее параметров. Кроме того, SolverTable знает про отчет по устойчивости и может также фиксировать содержащуюся в нем информацию. Наконец, возможности SolverTable не ограничивается моделями с дву­мя переменными (в отличие от GLP), она может работать с оптимизационными моделями любой размерности, допустимой для встроенной в Excel надстройки Поиск решения или программы Premium Edition Solver for Education. В данной главе мы проиллюстрируем ис­пользование надстройки SolverTable на примере упрощенной модели Oak Products.

Для начала откройте с прилагаемого к книге компакт-диска рабочую книгу OakProd. xls. Затем с помощью команды Файл ->Открыть откройте файл надстройки SolverTable. xla. Excel откроет диалоговое окно с предупреждением, показанное на рис. 4.18, в этом окне щелкните на кнопке Не отключать макросы. После этого в меню Сервис появится новая команда SolverTable. Однако, как и при создании таблиц подстановки, сначала необходимо сформировать таблицу результатов.

Изменение правых частей ограничений

Чтобы проиллюстрировать работу с SolverTable, проведем анализ чувствительности решения к изменениям правой части ограничения по длинным штифтам. Подобный анализ мы проводили в главе 3 с помощью таблицы подстановки с одним входом На­помним, что таблица подстановки с одним входом позволяет менять только один пара­метр, при этом можно фиксировать любое количество выходов модели. Сначала размес­тим диапазон значений правой части ограничения в одном столбце (или строке) — на рис. 4.19 значения правой части от 399 до 1350 внесены в ячейки 17:117. Затем, как к при создании таблицы подстановки с одним входом, в верхнюю часть таблицы в ячейки.16:Р6 введем ссылки на ячейки, содержащие выходы модели (формулы в этих ячейках показа­ны на рис. 419 в виде выносок). Формулы в ячейках J6:M6 ссылаются на значение левой части ограничения подлинным штифтам, на два значения переменных решения и значе­ния прибыли (целевой функции) соответственно. Формулы в ячейках N6:P6 указывают на ячейки отчета по устойчивости средства Поиск решения, содержащие теневую цену, допустимое увеличение и допустимое уменьшение для данного ограничения (ячейки, на которые указывают ссылки, можно увидеть на рис. 4.11). Заголовки в ячейках I5:PS яв­ляются необязательными и служат для удобства документирования.

Замечание. При использовании SolverTable требуется, чтобы модель ЛП была предвари­тельно оптимизирована с помощью Поиск решения. Если в создаваемой таблице предпо­лагается фиксировать какие-либо элементы отчета по устойчивости, необходимо, чтобы этот отчет был сгенерирован средством Поиск решения.

Затем созданную таблицу следует выделить и выбрать команду SolverTable из меню Сервис. Как и при создании таблиц подстановки, SolverTable предлагает диалоговое ок­но с двумя полями ввода, в которых указывается, где на рабочем листе расположены ячейки, куда подставляются введенные значения. Поскольку в данном случае изменяется только один параметр — правая часть ограничения длинных штифтов, и в созданной таб­лице его значения помещены в столбец, адрес ячейки F6 вводится в поле Input Соlumn Cell7, а другое поле в диалоговом окне SolverTable остается пустым. После этого SolverTable будет запускать Поиск решения для каждого из указанных значений правой части ограничения. В данном случае будет выполнено 11 оптимизаций, и для каждой из них зафиксируются перечисленные в таблице результаты модели (рис. 4.20).