Индивидуальное задание №1 (стр. 2 )

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆2 = 2∙(9∙(-5)-7∙(-9))-4∙(8∙(-5)-7∙(-8))+2∙(8∙(-9)-9∙(-8)) = -28

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆3 = 2∙(3∙7-3∙9)-4∙(5∙7-3∙8)+2∙(5∙9-3∙8) = -14

Выпишем отдельно найденные переменные Х

Проверка.

2•3+5•2-8•1 = 8

4•3+3•2-9•1 = 9

2•3+3•2-5•1 = 7

Матричный способ

Запишем матрицу в виде:

Вектор B:

BT = (8,9,7)

Главный определить

∆ = 2•(3•(-5)-3•(-9))-4•(5•(-5)-3•(-8))+2•(5•(-9)-3•(-8)) = -14

Транспонированная матрица

Алгебраические дополнения

∆1,1 = (3•(-5)-(-9•3)) = 12

∆1,2 = -(5•(-5)-(-8•3)) = 1

∆1,3 = (5•(-9)-(-8•3)) = -21

∆2,1 = -(4•(-5)-(-9•2)) = 2

∆2,2 = (2•(-5)-(-8•2)) = 6

∆2,3 = -(2•(-9)-(-8•4)) = -14

∆3,1 = (4•3-3•2) = 6

∆3,2 = -(2•3-5•2) = 4

∆3,3 = (2•3-5•4) = -14

Обратная матрица

Вектор результатов X

X = A-1 ∙ B

XT = (3,2,1)

x1 = -42 / -14 = 3

x2 = -28 / -14 = 2

x3 = -14 / -14 = 1

Проверка.

2•3+5•2-8•1 = 8

4•3+3•2-9•1 = 9

2•3+3•2-5•1 = 7

Контрольное задание 5.

Решить системы уравнений методом Жордана-Гаусса. Если система является неопределенной, то в ответ записать одно базисное решение и одно частное, не являющееся базисным.

1.

Решение:

Запишем систему в виде:

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.

Разрешающий элемент равен 1.

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x 1	x 2	x 3	x 4	B
1 / 1 = 1	5 / 1 = 5	-9 / 1 = -9	8 / 1 = 8	1 / 1 = 1

Разрешающий элемент равен -7.

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x 1	x 2	x 3	x 4	B
0 / -7 = 0	-7 / -7 = 1	49 / -7 = -7	-35 / -7 = 5	7 / -7 = -1

4-ая строка является линейной комбинацией других строк.

Необходимо переменную x3, принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.

Находим, x4 = 0.

x1 = 6 – 26x3

x2 = -1 + 7x3

Пусть, x3 = 0;

Базисное решение:

x1 = 6

x2 = -1

x3 = x4 = 0

Частное решение:

x3 = 1

x1 = – 20

x2 = 6

x4 = 0

Индивидуальное задание № 2

Задание №1

Решение задач линейного программирования Симплекс-методом.

Условие задачи.

Предприятие производит 3 вида продукции: А1, А2, А3, используя сырье двух видов: В1 и В2. Известны затраты i – го вида на единицу изделия g – го вида aig, количества сырья каждого вида bi (i=1,2), а так же прибыль, полученная от единицы изделия g-го вида cg (g=1,2,3).

1) Сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получитьмаксимум прибыли?

2) Сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получитьмаксимум товарной продукции?

 

I вариант

Матрица затрат сырья i – го вида на единицу продукции g – го вида A=(aig)
Сырье	Виды продукции	Количество сырья
А1	А2	А3
В1	1	2	2	1100
В2	3	4	2	1500
Прибыль от единицы каждого изделия (с1, с2, с3)	2	1	3

x1 – объем выпуска 1-го вида продукции.

x2 – объем выпуска 1-го вида продукции.

x3 – объем выпуска 1-го вида продукции.

x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 1100

3x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 1500

x1 ≤ 100

x2 ≤ 100

x3 ≤ 300

xi ≥ 0

Сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получить максимум прибыли?

x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 1100

3x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 1500

x1 ≤ 100

x2 ≤ 100

x3 ≤ 300

xi ≥ 0

Целевая функция:

F(x) = 2x1 + x2 + 3x3 → max

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 2x1+x2+3x3 при следующих условиях-ограничений.

x1+2x2+2x3≤1100

3x1+4x2+2x3≤1500

x1≤100

x2≤100

x3≤300

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

1x1 + 2x2 + 2x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 = 1100

3x1 + 4x2 + 2x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 = 1500

1x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 + 0x8 = 100

0x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 + 0x8 = 100

0x1 + 0x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 + 1x8 = 300

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

1	2	2	1	0	0	0	0
3	4	2	0	1	0	0	0
1	0	0	0	0	1	0	0
0	1	0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	0	1

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x4, x5, x6, x7, x8,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,1100,1500,100,100,300)

План	Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
0	x4	1100	1	2	2	1	0	0	0	0
	x5	1500	3	4	2	0	1	0	0	0
	x6	100	1	0	0	0	0	1	0	0
	x7	100	0	1	0	0	0	0	1	0
	x8	300	0	0	1	0	0	0	0	1
Индексная строка	F(X0)	0	-2	-1	-3	0	0	0	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.