Индивидуальное задание №1 (стр. 1 )

Индивидуальное задание №1.

Контрольное задание 1.

Для матрицА и В определить:

Номер варианта	А	В
1.

Решение:

1) Матрица 4А

Матрица 3В

4А + 3В

2) Матрица ВА

(2•1)+(5•3)+(6•2)	(2•(-3))+(5•(-4))+(6•(-5))	(2•2)+(5•1)+(6•3)
(1•1)+(2•3)+(5•2)	(1•(-3))+(2•(-4))+(5•(-5))	(1•2)+(2•1)+(5•3)
(1•1)+(3•3)+(2•2)	(1•(-3))+(3•(-4))+(2•(-5))	(1•2)+(3•1)+(2•3)

=

29	-56	27
17	-36	19
14	-25	11

Матрица АB

(1•2)+(-3•1)+(2•1)	(1•5)+(-3•2)+(2•3)	(1•6)+(-3•5)+(2•2)
(3•2)+(-4•1)+(1•1)	(3•5)+(-4•2)+(1•3)	(3•6)+(-4•5)+(1•2)
(2•2)+(-5•1)+(3•1)	(2•5)+(-5•2)+(3•3)	(2•6)+(-5•5)+(3•2)

=

1	5	-5
3	10	0
2	9	-7

Матрица 2АB

2	10	-10
6	20	0
4	18	-14

BA – 2AB

29	-56	27
17	-36	19
14	-25	11

Контрольное задание 2.

Вычислить определители матрицА и В:

Номер варианта	А
1.

Решение:

Запишем матрицу в виде:

Найдем определитель:

Минор для (1,1):

Найдем определитель для этого минора.

∆1,1 = 7•(2•2-1•7)-(-9•(-1•2-1•4))+(-6•(-1•7-2•4)) = 15

Минор для (2,1):

Найдем определитель для этого минора.

∆2,1 = -5•(2•2-1•7)-(-9•(1•2-1•2))+(-6•(1•7-2•2)) = -3

Минор для (3,1):

Найдем определитель для этого минора.

∆3,1 = -5•(-1•2-1•4)-7•(1•2-1•2)+(-6•(1•4-(-1•2))) = -6

Минор для (4,1):

Найдем определитель для этого минора.

∆4,1 = -5•(-1•7-2•4)-7•(1•7-2•2)+(-9•(1•4-(-1•2))) = 0

Главный определитель:

∆ = 2•15-(-3•(-3))+5•(-6)-4•0 = -9

Контрольное задание 3.

Используя матрицы А и В, вычислить методом Жордана-Гаусса:

Номер варианта	А	В
1.

Решение:

Матрица В-А

Нахождение обратной матрицы методом Жордано-Гаусса относится к точным (прямым) методам.

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана.

После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A-1.

Запишем систему в виде:

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.

Разрешающий элемент равен 1.

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	B	0
1 / 1 = 1	8 / 1 = 8	4 / 1 = 4	1 / 1 = 1	0 / 1 = 0	0 / 1 = 0	0 / 1 = 0

Разрешающий элемент равен 22.

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	B	0
0 / 22 = 0	22 / 22 = 1	12 / 22 = 0.55	2 / 22 = 0.09	1 / 22 = 0.05	0 / 22 = 0	0 / 22 = 0

Разрешающий элемент равен -5.73.

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	B	0
0 / -5.73 = 0	0 / -5.73 = 0	-5.73 / -5.73 = 1	-0.4545 / -5.73 = 0.08	-0.7273 / -5.73 = 0.13	1 / -5.73 = -0.17	0 / -5.73 = 0

Контрольное задание 4.

Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом. После решения необходимо выполнить проверку.

1.

2.

Решение:

ПО формулам Крамера

Запишем систему в виде:

BT = (8,9,7)

Главный определитель:

∆ = 2∙(3∙(-5)-3∙(-9))-4∙(5∙(-5)-3∙(-8))+2∙(5∙(-9)-3∙(-8)) = -14 = -14

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆1 = 8∙(3∙(-5)-3∙(-9))-9∙(5∙(-5)-3∙(-8))+7∙(5∙(-9)-3∙(-8)) = -42