Рис. 2.3

Для получения спектра сигнала, математической моделью которого является непериодическая (импульсная) функция времени S(t), следует пользоваться интегральным преобразованием Фурье. Прямое преобразование Фурье

(2.7)

позволяет найти спектральную функцию , соответствующую сигналу S(t). Обратное преобразование

(2.8)

позволяет найти значение сигнала в любой момент времени, если задана спектральная функция.

Модуль и аргумент спектральной функции характеризуют спектр амплитуд и спектр фаз сигнала, не являющегося периодической функцией времени. Интеграл (1.8) представляет сигнал S(t) в виде бесконечной суммы бесконечно малых гармонических составляющих, расположенных на всех частотах. На этом основании говорят о непрерывном (сплошном) спектре, которым обладают импульсы. При этом спектр амплитуд является четной функцией частоты w, спектра фаз - нечетной функцией.

Если импульс S(t) повторять периодически с периодом T, то между коэффициентами разложения в ряд Фурье образованной периодической последовательности ST(t) и значениями соответствующей импульсу S(t) спектральной функции на частотах kw1, w1=2p/Т существует взаимооднозначная связь:

, k = 0, ±1, ±2, ...;

; φk(kω1)= φk; k = 0, 1, 2, ...; (2.9)

; ; k = 0, 1, 2, ...,

где Re[ ] и Im[ ] - действительная и мнимая части числа, заключенного в скобках.

Согласно связи (2.9) дискретный спектр амплитуд сигнала ST(t) вписывать в сплошной спектр амплитуд сигнала S(t) с масштабным множителем T, сплошной спектр фаз сигнала S(t) является огибающим дискретного спектра фаз сигнала ST(t). Это обстоятельство в значительной степени облегчает расчет спектров периодических сигналов по известной спектральной функции импульса в периоде или переход от спектра периодического сигнала к спектральной функции колебания, составляющего период.

Пример 2.3. Построить спектры амплитуд и фаз сигнала:

Поскольку сигнал представляет непериодическую функцию импульса x(t) согласно (2.7):

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Выразим e-j2ω через тригонометрические функции:

e-j2ω=cos 2ω – jsin 2ω; при этом

.

Модуль после несложного преобразования тригонометрических функций может быть представлен в виде:

,

аргумент

.

Для построения графиков табулируем значения и (табл. 2.3). Так как при подстановке значения ω=0 в Sx(ω) получаем неопределенность вида, раскрываем ее по правилу Лопиталя:

.

Учитывая, что является четной, а - нечетной функцией ω, можно вычислять значения только для положительной полуоси частот.

Таблица 2.3.

w

0

p/4

p/2

3p/4

p

5p/4

3p/2

7p/2

2p

5p/2

3p

7p/2

4p

9p/2

Sx(w)

0

1,968

3,242

3,42

2,546

1,074

0,36

1,216

1,273

0,13

0,849

0,066

0,637

0,04

0

-0,75

-1

0,75

0,5

0,25

-1

0,75

0,5

-1

0,5

-1

0,5

-1

Графики Sx(ω) и φx(ω) представлены на рис. 2.4. На рис.

2.4 подтверждена связь (2.9): дискретные составляющие спектра сигнала xT(t) примера 2.2 вписываются в спектры сигнала x(t).

Рис. 2.4

При вычислении значений следует выбирать характерные точки оси ω, отражающие ход изменения функции (например, точки экстремума или нулевых значений ). На графике спектра фаз целесообразно отражать значения фазы от -p до p, учитывая, что e±jπ=1.

Для спектрального представления сигналов, математической моделью которых является стационарный случайный процесс, используется прямое преобразование Фурье функции автокорреляции R(τ) случайного процесса (преобразование Хинчина-Винера):

. (2.10)

Функция G(ω) является спектральной плотностью мощности случайного процесса и называется энергетическим спектром (понимается спектр мощности). Обратное преобразование спектральной плотности G(ω) дает функцию автокорреляции:

. (2.11)

Энергетический спектр –действительная и четная функция аргумента ω. По известной функции G(ω) можно вычислить дисперсию D процесса, характеризующую мощность переменной составляющей процесса или мощность флюктуаций. Поскольку R(0)=D, то на основании (2.11)

. (2.12)

Согласно (2.12) энергетический спектр G(ω) показывает частотное распределение мощности флюктуаций процесса.

На основании четности функций R(τ) и G(ω) соотношения (2.10) и (2.11) можно записать в виде

; (2.13)

. (2.14)

Пример 2.4. Определить энергетический спектр случайного процесса, заданного корреляционной функцией Rx(τ)=e-α|τ|.

Согласно (2.13) имеем

График энергетического спектра для a = 0,2 представлен на рис. 2.5.

Рис. 2.5.

По известному спектру можно найти энергетические характеристики сигнала. Удельная энергия Е (энергия, выделяемая электрическим сигналом на сопротивлении 1 Ом)

(2.15)

определяется через спектральную функцию с помощью равенства Парсеваля:

. (2.16)

Энергетической характеристикой периодических сигналов является средняя за период мощность

, (2.17)

которая может быть определена через дискретные составляющие спектра на основании формул

или . (2.18)

Мощность флюктуаций стационарного случайного процесса определяется согласно (2.12):

. (2.19)

Под практической шириной DwПР спектра понимается диапазон частот, в котором содержится определенная доля g энергии или мощности сигнала. Практическая ширина спектра импульса S(t) определяется на основании равенства Парсеваля:

, (2.20)

где wС – граничная частота спектра (частота среза), DwПР =wC.

Пример 2.5. Определить практическую ширину спектра сигнала x(t)=e-t, t > 0 для значения g = 0,9.

Спектральная функция сигнала согласно (2.7)

,

модуль спектральной функции

.

Удельная энергия сигнала согласно (1.15)

,

этот же результат можно получить на основании (2.16):

.

Определим граничную частоту wС спектра согласно (2.20), положив g = 0,9:

.

Решение данного неравенства дает значение wC≥g0,45=8,3рад. Таким образом, DwПР =6,3 рад/с.

Практическая ширина спектра сигнала, описывающегося периодической функцией времени, находится из решения неравенства, имеющих место на основании (2.18):

или , (2.21)

при этом DwПР=nω1, где w1=2π/T.

Практическая ширина спектра стационарного случайного процесса определяется на основании (2.19) согласно

, (2.22)

при этом DwПР=ωC.

Пример 2.6. определить практическую ширину спектра сигнала, заданного в примере 1.4, для значений α=0,2, γ=0,95.

Энергетический спектр сигнала . Мощность переменной составляющей сигнала P=RX(0)=1. Тот же результат можно получить согласно (2.19):

.

Согласно (2.22)

,

на основании чего

ωC ≥1/5 tg 0,475 π =2,54 рад/с; DwПР =2,54 рад/с.

ЗАДАЧИ

2.1. Представьте тригонометрическим и комплексным рядом Фурье и изобразите спектры амплитуд и фаз периодических сигналов, представленных на рисунке.

2.2. Найдите спектральную функцию импульса, составляющего один период колебания сигналов задачи 2.1. Изобразите графические спектры амплитуд и фаз в виде зависимостей модуля и аргумента спектральной функции от частоты. Проверьте связь (2.9).

2.3. Определите функцию времени x(t), которой соответствует спектральная функция:

а) ; б) .

2.4. Найдите практическую ширину спектра сигналов задачи 1.1 в предположении, что: а) γ=0,9; б) γ=0,95.

2.5. Сигнал хТ(t), представляющий собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов с отношением Т/t = 8, где Т - период последовательности, t - длительность импульса, аппроксимируется рядом Фурье:

.

Определите, какая часть мощности сигнала хТ(t) содержится в сигнале х/Т(t).

2.6. Найдите энергетический спектр сигналов, математической моделью которых является стационарный случайных процесс с корреляционной функцией: а) ; б) ; в) R3(τ)=sin 2τ/2τ. Изобразите графики энергетического спектра.

2.7. Определите практическую ширину спектра случайного сигнала, заданного корреляционной функцией , для значений: а) γ=0,9; б) γ=0,95.

2.8. Определите практическую ширину спектра случайного сигнала, заданного корреляционной функцией , для значений: а) γ=0,95.

3. Дискретизация и квантование сигналов

Литература: основная [3, c. 10-37];

дополнительная [1, c.54-91].

Переход от аналогового представления сигнала к дискретному связан с его дискретизацией по времени и квантованием по уровню.

При дискретизации по времени непрерывная по аргументу функция S(t) преобразуется в функцию дискретного аргумента ti, i=0, 1, 2, ... или отображается конечным числом некоторых величин (например, коэффициентов разложения функции S(t) по системе заранее заданных базисных функций). В простейшем случае переход от функции непрерывного аргумента к функции дискретного аргумента может быть выполнен путем отсчетов функции в определенные дискретные моменты времени ti, i = 0, 1, 2, ... . В результате функция S(t) заменяется последовательностью своих отсчетов S(ti). В настоящее время наиболее широко применяется равномерная дискретизация, при которой интервал (шаг) дискретизации ∆t=ti-ti-1 остается неизменным.

При решении задачи дискретизации (выборе величины шага Dt) должны быть известны; а) математическая модель сигнала, подлежащего дискретизации; б) способ воспроизведения аналогового сигнала (математическая модель оценки, или воспроизводящая функция); в) критерий качества приближения сигнала и его оценки и численное его значение.

Общепринятой моделью воспроизводящей функции S*(t), представляющей собой оценку поведения сигнала S(t) на интервале дискретизации Dt, является усеченный полиноминальный ряд:

, tÎ[ti,ti+Dt), k = 0, 1, 2,

Здесь - система линейно-независимых базисных функций; ak - коэффициенты (координаты сигнала), зависящие от поведения функции S(t) на интервале tÎ[ti,ti+Dt).

Способ воспроизведения характеризуется: а) типом базисных функций; б) формой представления коэффициентов ak; в) числом членов (степенью n) аппроксимирующего ряда (3.1).

Наибольшее практическое применение нашли системы базисных функций в виде степенных полиномов.

При использовании степенных полиномов и координат сигнала в виде

a0 =S(ti); ak=S(k)(ti)/k! (3.2)

где S(ti) - отсчет сигнала S(t) в начальный момент ti интервала дискретизации, S(k)(ti) k-я производная сигнала S(t) в тот же момент ti, аппроксимирующеий ряд (2.1) представляет известный ряд Тейлора:

, (3.3)

tÎ[ti,ti+Dt), i = 0, 1, 2, ... .

Приближение с помощью полиномов Тейлора основано на предсказании (экстраполяции) возможного поведения сигнала на интервале Dt по коэффициентам (3.2), соответствующим начальному моменту интервала дискретизации. Поэтому задержка при воспроизведении сигнала отсутствует.

В инженерных приложениях преимущественно используются полиномы Тейлора нулевой и первой степени. В случае n = 0 дискретным представлением сигнала на интервале дискретизации является отсчет сигнала S(ti), воспроизводящая функция имеет вид:

S*(t)=S(t), tÎ[ti, ti+Dt), i = 0, 1, 2,

и этот способ воспроизведения получил название ступенчатой экстраполяции (СЭ). В случае n = 1 дискретным представлением сигнала на интервале Dt служат отсчет S(ti) и первая производная сигнала S/(ti), воспроизводящая функция имеет вид:

S*(t)=S(ti)+S/(ti)(t-ti), tÎ[ti, ti+Dt), i = 0, 1, 2,

и этот способ воспроизведения получил название линейной экстраполяции (ЛЭ).

Использование степенных полиномов и координат сигнала в виде (n + 1)-го его отсчета на интервале Dt приводит ряд (3.1) к известному полиному Лагранжа:

; tÎ[ti, ti+Dt), i = 0, 1, 2,

Полином Лагранжа можно вычислить только после того, как станут

известны n + 1 отсчетов сигнала S(tk), k=0,1,...,n, поэтому воспроизведение сигнала сопровождается задержкой.

Практическое применение получил способ воспроизведения полинома Лагранжа нулевой и первой степени. В случае n = 0 дискретным представлением сигнала на интервале дискретизации является отсчет S(ti0) в момент времени ti0, соответствующий середине интервала: ti0=(ti+Dt)/2, воспроизводящая функция имеет вид

S*(t)=S(ti0); , i = 0, 1, 2, ... , (3.7)

и задержка при воспроизведении сигнала составляет Dt/2, способ воспроизведения получил название ступенчатой интерполяции (СИ). В случае n = 1 дискретным представлением сигнала на интервале Dt служат его отсчеты S(ti) и S(ti+1) в начальный и конечный моменты интервала (при этом второй отсчет i-го интервала является и начальным отсчетом (i + 1)-го интервала), воспроизводящая функция имеет вид

;

tÎ[ti, ti+Dt), i = 0, 1, 2,

и задержка при воспроизведении сигнала составляет Dt, способ воспроизведения получил название линейной интерполяции (ЛИ).

Непрерывная функция S(t), tÎ[0,tm], удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть воспроизведена по своим отсчетам S(ti) в соответствии с рядом Котельникова:

, (3.9)

при этом N=tm/Dt+1 - число отсчетов функции на интервале ее определения [0, tm], wС - наивысшая частота в спектре сигнала S(t).

Качество способа дискретизации оценивают по той ошибке, с которой удается воспроизвести исходную функцию. Отклонение воспроизводящей функции S*(t) от исходного сигнала S(t) на каждом из интервалов дискретизации чаще всего оценивают с помощью следующих критериев приближения:

1) наибольшего отклонения (равномерного приближения)

di=max|S(t)-S*(t)|£dД, tÎ[ti, ti+Dt), i = 0, 1, 2, ... , (3.10)

2) среднеквадратичного

, tÎ[ti, ti+Dt), i = 0, 1, 2, ... , (3.11)

где dд и sд - допустимые значения ошибки.

Расчет шага дискретизации выполняется в зависимости от применяемого способа воспроизведения, критерия качества приближения и вида математического описания сигнала, подлежащего дискретизации.

Если в качестве математической модели сигнала принята детерминированная функция, непрерывная на всем интервале наблюдения и имеющая конечные и непрерывные производные, выбор шага дискретизации можно производить, принимая в качестве воспроизводящей функции экстраполяционный полином Тейлора (3.5) или (3.6) или интерполяционный полином Лагранжа (3.7) или (3.8). Расчетные формулы сведены в табл. 3.1, где |S/(t)|max и |S//(t)|max - абсолютные максимальные значения первой и второй производных сигнала.

Таблица 3.1

Критерий

приближе-ния

Cтепень

полинома

n

Полином

(способ

воспроизведе-ния)

Шаг

Dt £

Задержка

при воспроиз-

ведении

Равно-

мерный

0

Тейлора (СЭ)

dд/|S/(t)|max

-

Лагранжа (СИ)

2dд/|S/(t)|max

Dt/2

1

Тейлора (ЛЭ)

-

Лагранжа (ЛИ)

Dt

Средне-

квадратич-ный

0

Тейлора (СЭ)

-

Лагранжа (СИ)

Dt/2

1

Тейлора (ЛЭ)

-

Лагранжа (ЛИ)

Dt

Пример 3.1. Определить шаг дискретизации сигнала

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3