Сборник задач по курсу системы передачи и преобразования информации, для студентов специальности 230102 всех форм обучения (стр. 3 )

x(t)=t2e-t (B), t > 0,

при котором ошибка равномерного приближения не превышает 0,02 В при способах воспроизведения: а) ступенчатой экстраполяции; б) линейной интерполяции.

Согласно табл. 3.1

Dtсэ£dД/|x/(t)|max;

.

Для расчета по этим формулам необходимо провести анализ

первой и второй производной сигнала х(t) на интервале его определения (t>0)

x/(t)=t(2-t)e-t, t>0;

x//(t)=(t2-4t+2)e-t, t>0.

Значения производных на границах интервала определения:

x/(t=0)=x/(t=¥)=0; x//(t=0)=2; x//(t=¥)=0.

Найдем точки экстремума функции x’(t), решив уравнение x//(t)=0:

(t2-4t+2)e-t=0.

Корни уравнения: ; ; t3=¥. Вычислим значения çx/(t)ç в точках экстремума:

çx/(t1)ç=0,16; çx/(t2)ç=0,46.

Сравнение значений çx/(t)ç в точках экстремума и на границах интервала определения дает значение çx/(t)çмакс=0,46= и

Dtсэ£0,02/0,46=0,043c.

Найдем точки экстремума функции x//(t), решив уравнение x///(t)=0:

(6t-t2-6)e-t=0.

Корни уравнения: ; ; t3=¥. Вычислим значения çx//(t)ç в точках экстремума

çx//(t1)ç=0,048; çx//(t2)ç=0,41;

Сравнение значений çx//(t)ç в точках экстремума и на границах интервала определения дает значение çx//(t)çмакс=2 и

Dtли£0,283c.

Если в качестве модели непрерывного сигнала принять стационарный случайный процесс, то отклонение воспроизводящей функции от реализации случайного процесса обычно оценивается среднеквадратичным критерием. Характеристиками стационарного случайного процесса служат энергетический спектр G(w) или автокорреляционная функция R(t). Основные формулы для расчета шага дискретизации при среднеквадратичном критерии приближения и способах воспроизведения ступенчатой экстраполяции и линейной интерполяции приведены в табл. 3.2. Обозначения, принятые в табл. 3.2. R(Dt) - автокорреляционная функция сигнала при t=Dt, R(0) – дисперсия процесса.

Таблица 3.2

Полином (способ воспроизведения)	Степень	Уравнение для расчета
Тейлора (СЭ)	0	R(0)-R(Dt)£s2д/2
Лагранжа (ЛИ)	1

Пример 3.2. Стационарный случайный процесс характеризуется корреляционной функцией Rx(t)=2e-5|t|. Определить шаг дискретизации реализации случайного процесса при использовании в качестве воспроизводящей функции: а) полинома Тейлора 0-й степени, б) полинома Лагранжа 1-й степени. Ошибка среднеквадратичного приближения не должна превышать 0,2 условной единицы.

Значение дисперсии R(0)=2.

Шаг ступенчатой экстраполяции найдем на основании решения неравенства (см. табл. 3.2):

Поскольку функция автокорреляции является четной функцией аргумента t, достаточно провести анализ неравенства в положительной области значений t:

2-2e-5Dt£0,02.

Решение неравенства дает шаг дискретизации Dtсэ£0,002c.

Для нахождения шага линейной интерполяции решаем неравенство (см. табл. 3.2)

3-4e-2,5Dt+e-5Dt£0,04.

Введем обозначение и перепишем неравенство в виде

y2-4y=2,96£0.

Найдем корни квадратного трехчлена y2-4y+2,96=0:

y1=3,02; y2=0,98. Неравенству удовлетворяют значения 0,98£y£3,02. С учетом того, что , шаг дискретизации должен удовлетворять условию

,

откуда

Dtли£0,008с.

Для того, чтобы непрерывная функция S(t) восстанавливалась по своим отсчетам полином Котельникова (2.9) без ошибки, она должна быть ограничена по времени (при этом число отсчетов N=¥) и иметь спектр, ограниченный частотой wС. Шаг дискретизации в соответствии с теоремой Котельникова связан с максимальной частотой спектра wС соотношением

Dt£p/wС (3.12)

Реальные сигналы имеют конечную длительность и, как следствие, неограниченный спектр. Чтобы воспользоваться теоремой Котельникова, спектр сигнала, подлежащего дискретизации, следует ограничить некоторой частотой wС. Отбрасывание высокочастотной части спектра (при w>wС) ведет к восстановлению сигнала полиномом Котельникова с некоторой ошибкой. Эту ошибку принято оценивать относительной величиной среднеквадратичной ошибки:

. (3.13)

Здесь s2 - абсолютное значение среднеквадратичной ошибки; tm - длительность сигнала; Е - полная энергия сигнала (см. формулы (3.15) или (3.16)).

Формулу (3.13) можно представить в виде

, (3.14)

где - энергия ошибки;

- мощность ошибки;

Р - мощность сигнала (см. формулы (3.17) или (3.18)).

Энергия (мощность) ошибки оценивается энергией (мощность) высокочастотной части спектра (при w>wС). Для детерминированной функции времени согласно равенству Парсеваля (3.20)

или , (3.15)

для модели сигнала в виде стационарного случайного процесса согласно (3.22)

или . (3.16)

Решение задачи дискретизации в соответствии с теоремой Котельникова требует выполнения следующих расчетов: 1) спектра и полной энергии (мощности) заданной функции времени, 2) энергии (мощности) ошибки согласно (3.14), 3) граничной частоты спектра на основании соотношений (3.15) или (3.16), 4) шага дискретизации в соответствии с (3.12).

Пример 3.3. Найти шаг дискретизации сигнала

x(t)=t2e-t(B), t>0,

если способ воспроизведения - полином Котельникова, допустимое значение относительной среднеквадратичной погрешности sдо=0,05.

Спектральная функция сигнала согласно (2.7)

неограничена по частоте. Модуль спектральной функции

уменьшается с увеличением частоты w. Полная энергия сигнала согласно равенству Парсеваля (2.16)

.

Энергия ошибки согласно (3.14)

DE=s2доE=0,01875 (Вт×с).

Граничную частоту wС спектра найдем из решения неравенства (3.15):

.

Подставив сюда значения Е, DЕ, , получим

.

Решение данного трансцендентного уравнения дает значение

wС³6,28 рад/с, при этом шаг дискретизации в соответствии с (3.12)

Dt=0,5 c.

Квантование состоит в том, что диапазон изменения значений сигнала (Smax-Smin) разбивается на N интервалов (квантов, шагов квантования):

. (3.17)

Внутри каждого интервала квантования выбирается значение , i=1,N, называемое уровнем квантования. Любое из значений сигнала S(t) принадлежащее i-му интервалу квантования, заменяется значением , в результате чего исходная функция S(t) аппроксимируется ступенчатой функцией SКВ(t) (рис. 3.1) с некоторой ошибкой.

Рис. 3.1.

Для уменьшения ошибки квантования уровень квантования выбирают в середине кванта, при этом максимальная ошибка, оцениваемая по критерию наибольшего отклонения (3.10),

dкв=max|S(t)-Sкв(t)|=DS/2, (3.18)

ошибка среднеквадратичного отклонения

. (3.19)

При решении задачи квантования необходимо: 1) на основании допустимой величины ошибки квантования рассчитать шаг квантования согласно (3.18) или (3.19), 2) зная диапазон значений сигнала, определить число уровней квантования согласно (3.17), 3) выбрать значения уровней квантования, 4) составить таблицу квантования, в которой отразить правило замены значений сигнала соответствующими уровнями: при Si min £S(t)£Si max, где Si min и Si max - граничные значения интервала квантования (см. рис. 3.1).

Преобразование сигнала в дискретный выполняется с помощью операций квантования по уровню и дискретизации по времени. Ошибка преобразования определяется погрешностью квантования отсчетов сигнала и погрешностью дискретизации по времени. Обе эти составляющие независимы, поэтому суммарная среднеквадратичная погрешность преобразования

, (3.20)

максимальная ошибка равномерного приближения

då=dКВ+dД. (3.21)

При использовании в качестве воспроизводящих функций полиномов Тейлора или Лагранжа 1-ой степени оценка сигнала (3.5) или (3.8) формируется на основе двух отсчетов сигнала на интервале дискретизации. Очевидно, точность ее моделирования зависит от точности измерения каждого отсчета, поэтому погрешность квантования входит в общую погрешность два раза и формулы (3.20) и (3.21) соответственно примут вид:

, (3.22)

då=2dКВ+dД. (3.23)

Пример 3.4. Математическая модель сигнала представляет собой стационарный нормальный случайный процесс с математическим ожиданием mx=2B и автокорреляционной функцией Rx(t)=4e-çtç.

Провести квантование по уровню и дискретизацию по времени, если способ воспроизведения - полином Котельникова, допустимая величина суммарной среднеквадратичной погрешности преобразования не должна превышать 1 % диапазона изменения

значений сигнала.

Поскольку сигнал представляет собой нормальный процесс для определения диапазона изменения значений сигнала воспользуемся известным правилом "трех сигма":

xmax=mx+3sx; xmin=mx-3sx.

Здесь sх - среднеквадратичное отклонение величины сигнала:

; Dx=Rx(0)=4B2; sx=2B;

xmax=8B; xmin =-4B; xmax - xmin =12B; sS =0,6B.

Распределим суммарную среднеквадаратичную погрешность så по операциям квантования и дискретизации в соответствии с (3.20), положив

В.

Определим на основании (3.19) шаг квантования:

В.

Число уровней определяем согласно (3.17)

.

Округлим полученное значение до ближайшего по значению целого числа: N = 9.

Строим таблицу квантования, при этом целесообразно совместить один из уровней квантования со значением математического ожидания (уровень № 5).

Для расчета шага дискретизации в соответствии с теоремой Котельникова определим энергетический спектр сигнала согласно (2.10)

.

Мощность флуктуаций случайного процесса согласно (2.19)

Вт,

этот же результат можно получить: Px-Rx(0)=4 Вт.

На основании (3.23) и (3.14) допустимая потеря мощности за счет ограничения спектра

DPx=s0Px=s2Д=0,18 Вт.

Граничную частоту wС спектра находим из решения неравенства:

,

,

откуда wС ³31,82 рад/с. Шаг дискретизации в соответствии с (3.12)

с.

Таблица квантования.

Значения уровня квантования (В)	Граничные значения кванта
xNmin (в)	xNmax (В)
-3,88	-¥	-3,145
-2,41	-3,145	-1,675
-0,94	-1,675	-0,205
0,53	-0,205	1,265
2,00	1,265	2,735
3,47	2,735	4,205
4,94	4,205	5,675
6,41	5,675	7,145
7.88	7,145	¥

Задачи

3.1. Диапазон изменения значений сигнала составляет 100 условных единиц. Определить параметры квантующего устройства, если а) ошибка наибольшего отклонения не превышает 2,5% от диапазона изменения, б) среднеквадратичная ошибка составляет 5 % от диапазона изменения сигнала.

3.2. Сигнал x(t)=cos t квантуется с шагом Dx=0,1 условной единицы. Рассчитать ошибку равномерного и среднеквадратичного приближений.

3.3. Рассчитать шаг дискретизации сигнала, математическая моделью которого задается функцией времени u(t)=2et (B), t>0 для способов воспроизведения: ступенчатая и линейная экстраполяция, ступенчатая и линейная интерполяция. Максимальная ошибка по критерию наибольшего отклонения не должна превышать 0,1 В.

3.4. Среднеквадратичная ошибка дискретизации сигнала, представленного функцией времени x(t)=ln(1+t), 0£t£10 c не должна превышать 1% от диапазона изменения значений сигнала. Рассчитать число отсчетов сигнала в случае а) линейной экстраполяции, б) линейной интерполяции.

3.5. Определить шаг дискретизации сигнала, заданного функцией времени u(t)=5e-t (B), t>0 на основании теоремы Котельникова. Величина относительной среднеквадратичной ошибки s0=0,1.

3.6. Сигнал x(t)=sin t подвергается дискретизации с шагом Dt=0,125 c. Рассчитать ошибки равномерного и среднеквадратичного приближений для способов воспроизведения экстраполяции и интерполяции полиномами 0-й и 1-й степени. Найти граничную частоту спектра сигнала.

3.7. Заданы автокорреляционные функции четырех сигналов:

, , , .

Реализация какого сигнала будет передана меньшим числом отсчетов за один и тот же интервал времени Т, если способ воспроизведения а) ступенчатая экстраполяция, б) линейная экстраполяция; среднеквадратичная ошибка sД=0,1 условной единицы.

3.8. Математическая модель сигнала - стационарный нормальный случайный процесс с автокорреляционной функцией . Рассчитать шаг дискретизации по теореме Котельникова при условии, что среднеквадратичная ошибка sД=0,01 условной единицы.

3.9. Математическая модель сигнала представлена функцией времени: u(t)=sin t + cos 10t, -¥<t<¥. Представить сигнал в дискретной форме таким образом, чтобы суммарная среднеквадратичная ошибка не превышала 2 % от диапазона изменения сигнала. Способ воспроизведения - полином Котельникова.

3.10. Математическая модель сигнала - случайный стационарный нормальный процесс с mx=0, Rx(t)=sint/t. Представить реализацию случайного процесса в дискретной форме. Среднеквадратичная ошибка не должна превышать 1 % от диапазона изменения сигнала, способ воспроизведения - полином Котельникова.

3.11. Рассчитать параметры процесса квантования и дискретизации сигнала u(t)=10cos t. Максимальная ошибка по критерию равномерного приближения не должна превышать 2 % от диапазона значений сигнала, способ воспроизведения: а) ступенчатая экстраполяция; б) линейная экстраполяция.

3.12. Математическое ожидание случайного процесса mx=1; автокорреляционная функция . Рассчитать параметры процесса квантования и дискретизации. среднеквадратичная ошибка преобразования så=0,03 условной единицы, способ воспроизведения: а) ступенчатая экстраполяция; б) линейная экстраполяция.

4. кодирование

Литература: основная [3, c. 37-89];

дополнительная [1, c. 96-180].

Избыточное кодирование применяется для коррекции (обнаружения, исправления) ошибок, возникающих при передаче кодированной информации, в связи с этим избыточные коды принято называть корректирующими.

Наиболее обширную группу корректирующих кодов составляют систематические или линейные коды. Теоретической основой построения этих кодов служит аппарат линейной алгебры, в частности теория групп, поэтому эти коды называют также групповыми.

Групповой корректирующий код строят на основе первичного (безызбыточного) кода, задаваемого числом m информационных элементов. Число комбинаций двоичного группового кода при этом составит M=2m. Избыточность в первичный код вводят путем добавления к m информационным разрядам k контрольных (проверочных), которые формируют по определенным правилам посредством линейных операций (сложения по модулю 2) над информационными разрядами.

Построение группового кода сводится к выбору необходимого числа k контрольных элементов, обеспечивающих заданное кодовое расстояние, и правил формирования контрольных элементов по известным информационным.

Алгоритм построения кода сводится к выполнению следующих этапов.

1. Расчет числа контрольных элементов производится в соответствии с оценками Хемминга

при d - нечетном, (4.1)

при d - четном, (4.2)

где cqn - число сочетаний из n по d.

Значение d находится в зависимости от заданных корректирующих способностей кода на основании соотношений

d³r+1, либо d³2S+1, либо d³S+r+1 (4.3)

где r - кратность гарантировано обнаруживаемых кодом ошибок;

S - кратность гарантировано исправляемых кодом ошибок. Под кратностью ошибки понимается число позиций кодовой комбинации, на которых под действием помехи исходные символы (0 или 1) заменены на противоположные (1 или 0).

Зная d и m и учитывая n=m+k, можно найти на основании (4.1) и (4.2) необходимое число контрольных элементов. Трансцендентные неравенства (4.1) и (4.2) решаются путем подбора минимального числа k, удовлетворяющего неравенству. Общая длина комбинации корректирующего кода составит n=m+k.

2. Построение образующей матрицы группового (n,m) кода

Gm, n=çIm, Rm, kç

сводится к построению подматрицы Rm,k контрольных элементов. В качестве строк подматрицы Rm,k следует выбирать двоичные k - разрядные последовательности, удовлетворяющие двум условиям:

а) содержать не менее d-1 единиц;

б) отличаться друг от друга не менее чем в d-2 разрядах.

Если для выбранного значения k не удается подобрать m последовательностей (по числу строк в образующей матрице), отвечающих указанным правилам, значение k следует увеличить.

Кодовая комбинация группового кода образуется поразрядным сложением по модулю 2 тех строк образующей матрицы, которым соответствуют позиции информационных элементов, содержащие "1". Полное множество кодовых комбинаций получается поразрядным суммированием по модулю 2 строк образующей матрицы во всевозможных сочетаниях.

3. Транспонированием подматрицы Rm,k и присоединения к ней справа единичной подматрицы Ik образуется проверочная матрица

Hk, n=çRTm, k Ikç.

В строках матрицы Hk,n записан состав проверочных уравнений для формирования контрольных элементов по известным информационным. Эти же уравнения используются для коррекции ошибок. Столбцы проверочной матрицы совпадают с корректорами соответствующих однократных ошибок.

4. Согласно проверочной матрице выписывается состав проверок на четность, по которым формируется корректор ошибки. Число проверок равно числу k контрольных элементов.

Если код исправляет ошибки, необходимо составить таблицу декодирования. В таблице декодирования каждому варианту исправляемой ошибки ставится в соответствие свой корректор. Если код при исправлении ошибок кратности S позволяет обнаруживать ошибки больше, чем S, кратности, это обстоятельство следует отразить в таблице декодирования.

При использовании кода в режиме обнаружения ошибок таблица декодирования не нужна.

5. Приводятся примеры коррекции ошибок заданной кратности.

Пример 4.1. Построить групповой код, исправляющий одиночные ошибки, с числом информационных элементов m=3.

Так как S=1, согласно соотношению d³2S+1 находим, что d=3. Число контрольных элементов в соответствии с (3.1) определяется решением неравенства

k³log2(c0m+k+ c1m+k)=log2(4+k).

Неравенству удовлетворяет значение k=3. Общая длина кодовой комбинации n=6.

Единичная матрица I3 образующей матрицы

.

В качестве строк подматрицы R3,3 можно выбрать любые три из четырех наборов: 011, 101, 110, 111.

.

Для того чтобы получить кодовую комбинацию, соответствующую информационным элементам 101, необходимо сложить поразрядно по модулю 2 первую и третью строки матрицы G3,6.

Получим 10101 ..

Полное множество кодовых комбинаций:

000000.

Проверочная матрица

.

Проверки для получения корректора D=d1 d2 d3:

d1=в1Åв3Åс1, d2=в1Å в2Åс2; d3=в2Å в3Åс3.

Таблица декодирования кода

Корректор ошибки D d1 d2 d3	Номер исправляемой позиции информационных элементов
	в1 в2 в3
	Информационные элементы приняты без ошибок
	Информационные элементы получателю не выдаются

Поскольку в случае k=3 можно построить 7 ненулевых корректоров ошибки, а позиций комбинации (следовательно, и вариантов однократной ошибки) шесть, корректор 111 соответствует ошибке кратности q > 1. Например, такой вид примет корректор двухкратной ошибки, искажающей позиции в1 и с3 или в2 и с1, или трехкратной ошибки, соответствующей разрядам в2, в3 и с3. Поскольку установить, какой именно вариант ошибки имел место в действительности, не представляется возможным, при получении корректора 111 целесообразно стирать принятые информационные элементы, не выдавая их получателю.

Приведем пример исправления ошибки построенным кодом. Пусть передавалась комбинация а на приемную сторону поступила комбинация 111101. Применим систему проверок к принятой комбинации:

d1=1Å1Å1=1; d2=1Å 1Å0=0; d3=1Å 1Å1=1

Таким образом, D = 101. По таблице декодирования устанавливаем, что ошибочно принята позиция в3. Получателю будут выданы информационные элементы 110.

Важными представителями групповых кодов являются циклические коды. Формирование кодовых комбинаций и процедура коррекции ошибок в циклическом коде полностью определяются образующим полиномом р(х). Образующий полином выбирается из условия обеспечения заданного кодового расстояния d при известном числе информационных элементов m.

Алгоритм построения циклического кода сводится к выполнению следующих этапов.

1. Расчет необходимого числа k контрольных элементов осуществляется по оценкам Хемминга (3.1) или (3.2), при этом число разрядов кода n=m+k.

2. Выбор образующего полинома р(х) производится на основании следующих условий: а) старшая степень полинома равна числу k контрольных разрядов; б) число членов полинома должно быть не менее числа d - требуемого кодового расстояния; в) полином является неприводимым (простым) сомножителем в разложении двучлена xn+1 (не исключается выбор произведения двух простых полиномов из разложения xn+1). Если в разложении двучлена xn+1 на простые сомножители нет полинома, удовлетворяющего условиям а) и б), то выбирается разложение , n1>n, в котором имеется полином, отвечающий выше указанным условиям. В этом случае строится укороченный циклический код.

Приведенные условия являются необходимыми, но не всегда достаточными. Выбранный полином подвергается дополнительной проверке на удовлетворение заданной корректирующей способности. Эту проверку можно совместить с процедурой построения образующей матрицы.

3. При построении образующей матрицы можно использовать формализованный прием, заключающийся в следующем. Образующий полином записывается в виде двоичной комбинации, длина которой равна k+1. Двоичная последовательность в виде единицы с рядом нулей делится на комбинацию, соответствующую образующему полиному. Первые m промежуточных остатков деления анализируются с целью проверки обеспечения заданного d выбранным полиномом: вес остатка должен быть не менее чем d-1, и отличаться остатки друг от друга должны не менее чем в d-2 разрядах. Если эти условия не выполняются, следует увеличить число k и вернуться ко второму этапу.

Записанные в обратном порядке остатки деления составляют подматрицу Rm,k образующей матрицы Gm,n.

4. Устанавливается правило коррекции ошибок.

Коррекция ошибок основана на анализе остатка R(x) от деления комбинации b¢(x), поступившей на декодирование, на образующий полином:

R(x)=b¢(x) по модулю р(х). (4.4)

Обнаружение ошибок производится согласно правилу

R(x)¹0 по модулю р(х). (4.5)

Для исправления однократных ошибок необходимо определить корректор ошибки Dn-1(x), соответствующий искажению старшего разряда кода. Этот корректор представляет собой остаток от деления одночлена xn-1 на образующий полином:

Dn-1(x)ºxn-1 по модулю р(х). (4.6)

Определение номера искаженной позиции вj осуществляется в соответствии с правилом:

xiR(x) ºDn-1(x) по модулю р(х), (4.7)

при этом j=n-1-i. Значение целочисленной переменной i, удовлетворяющей условию (3.7), определяется последовательным ее изменением от i = 0.

Если код, исправляющий однократные ошибки, позволяет обнаруживать ошибки большей кратности (например, S=1, r=2), то правило обнаружения ошибок следующее: нулевой остаток R(x) свидетельствует о наличии ошибки, условие (3.7) не выполняется ни для одного .

5. Приводятся примеры коррекции ошибок.

Пример 3.2. Построить циклический код с кодовым расстоянием d = 3 (S = 1) и числом информационных элементов m = 3.

Согласно оценке Хемминга (3.1) число контрольных разрядов

.

Неравенству удовлетворяет значение k = 3, следовательно, длина кодовой комбинации n = 6.

Образующий полином третьей степени выбираем из разложения двучлена x7+1 [1, c. 8б, табл. 3.3]:

p(x)=x3+x2+1»1101,

то есть код является укороченным. Полином р(х) подвергнем дополнительной проверке:

Остатки 101, 111, 011 удовлетворяют требованиям по весу и расстоянию между ними. Образующая матрица

.

Полное множество кодовых комбинаций:

000000.

Вычислим корректор одиночных ошибок

по модулю x3+x2+1.

Правило коррекции ошибок:

1)  определяется остаток R(x)=b¢(x) по модулю x3+x2+1;

2)  если R(x)=0, то ошибка отсутствует;

3)  если R(x) ¹ 0, то номер искаженной позиции j, определяется условием

xi R(x)=D6(x) по модулю x3+x2+1,

при этом j=5-i.

Так как длина кодовой комбинации n = 6, а число различных ненулевых остатков, обеспечиваемых полиномом x3+x2+1, равно 7 (в чем можно убедиться непосредственной проверкой), код позволяет обнаружить некоторые ошибки кратности q >1. Это имеет место в том случае, когда условие

xi R(x)=D6(x) по модулю x3+x2+1

не выполняется ни для одного .

Рассмотрим примеры коррекции ошибок. Пусть при передаче комбинации 100011 произошла ошибка в разряде в3. На декодирование поступит комбинация 101011~ x5+ x3+x+1. Для нее

по модулю x3+x2+1.

Производим поиск искаженной позиции:

i = 0, x2+1¹x+1;

i = 1, x(x2+1)=x3+xºx2+x+1 по модулю x3+x2+1;

x2+x+1¹x+1;

i = 2, x(x2+x+1)=x3+x2+xºx2+x+1 по модулю x3+x2+1;

x+1=D6(x).

Следовательно, номер искаженной позиции j=5-2=3. Значение символа на позиции в3 заменяется на противоположное (исправляется ошибка), получателю выдаются информационные элементы 100.

Пусть при передаче комбинации 100011 произошли две ошибки и на декодирование поступает комбинация 001011~ x3+x+1. Для нее

по модулю x3+x2+1.

Применим процедуру поиска искаженной позиции:

i = 0, x2+1¹x+1;

i = 1, x(x2+1)=x3+x2º1 по модулю x3+x2+1;

1¹x+1;

i=2, x¹x+1

i=3, x2¹x+1

i=4, x3ºx2+1 по модулю x3+x2+1, x2+1¹x+1;

i=5, x(x3+1)=x3+xºx2+x+1 по модулю x3+x2+1;

x2+x+1¹x+1.

Следовательно, кратность ошибки q>1. Информационные элементы получателю не выдаются.

Однако можно привести пример двукратной ошибки, которая не обнаруживается и приводит к неправильному приему. Пусть при передаче комбинации 010111 в результате двух ошибок на декодирование поступила комбинация 00011~x+1.

R(x) ºx+1 по модулю x3+x2+1;

R(x)=D6(x), следовательно i=0, j=5.

Будет исправлен разряд в5, и получатель получит информационные элементы 100 вместо 010.

Задачи

4.1. Чему равно расстояние между комбинациями 10011, 01111, 01101?

4.2. Чему равно кодовое расстояние, если кодовые слова 1011, 0001, 0111, 1111?

4.3. Чему равно число комбинаций пятиразрядного двоичного кода с постоянным весом w=2? Построить этот код.

4.4. Требуется построить код с постоянным весом w=3 для передачи 32 сообщений. Какова минимальная комбинация такого кода?

4.5. Показать процесс обнаружения ошибок четырехразрядным кодом с постоянным весом w=2.

4.6. Построить для передачи 16 сообщений: а) код с контролем на четность; б) корреляционный код; в) код с прямым дополнением. Подсчитать избыточность кодов и число вариантов необнаруживаемых кодами ошибок.

4.7. Определить минимальное кодовое расстояние, необходимое для: а) обнаружения трехкратной ошибки; б) исправления двухкратной ошибки; в) исправления однократной и обнаружения трехкратной ошибок.

4.8. Даны кодовые слова 00001, 11100, 10110, 01110. Можно ли этим кодом исправить одиночную ошибку?

4.9. Какое количество ошибок может исправить код с кодовым расстоянием d=7?

4.10. Определить количество контрольных разрядов, необходимое для: а) обнаружения двухкратных ошибок; б) исправления однократных ошибок в коде с числом информационных элементов m=5.

4.11. Определить максимальное количество информационных разрядов группового кода, исправляющего одиночные ошибки, если допустимая длина кодовой комбинации n =10.

4.12. Определить корректирующую способность кода (15,11).

4.13. Построить образующую матрицу группового кода, способного исправлять однократные ошибки при передаче 32 сообщений.

4.14. Установить правила коррекции ошибок кодом (8,4), образующая матрица которого

.

4.15. Построить групповой код с числом информационных элементов m=6 и кодовым расстоянием d=4.

4.16. Чему равно количество контрольных разрядов циклического кода, исправляющего однократные ошибки, если число информационных элементов m=7?

4.17. Определить длину комбинации циклического кода с d=3 и m=5.

4.18. Какой вид имеет комбинация циклического кода, если информационные элементы 1011 и образующий многочлен p(x)=x3+x2+1?

4.19. Многочлен p(x)=x4+x+1 образует код (9,4). Какую корректирующую способность имеет код?

4.20. Построить образующую матрицу циклического кода (9,4), если p(x)=x4+x+1.

4.21. Установить правила коррекции ошибок кодом (9,4), заданного полиномом p(x)=x4+x+1.

4.22. Обнаружить, какая из трех комбинаций 0 0 1010011 циклического кода принята с ошибкой, если p(x)=x3+x2+1. Можно ли исправить ошибку?

4.23. Выбрать образующий полином для построения циклического кода, обнаруживающего все трехкратные ошибки при передаче 16 сообщений.

4.24. Построить циклический код с d=4 для передачи 16 сообщений.

4.25. Показать процесс исправления одиночной ошибки в принятой комбинации на примере кода, полученного в задаче 4.24.
Литература

Основная

1. Методические указания и задания на контрольные и курсовую работы по курсу "Теоретические основы кибернетики". - Таганрог: ТРТИ, 19с.

2. Методически указания по повторению разделов математики к курсу "Теоретические основы кибернетики". Для студентов специальностей 0606. - Таганрог: 19с.

3. основы передачи непрерывных сообщений по дискретным каналам связи: Учебн. пособие. - Таганрог: 19с.

4. Математические основы теории автоматического регулирования /Под ред. . - М.: Высшая школа, 19с.

Дополнительная

1. , , Дмитриев основы информационной техники. - М.: Энергия, 19с.

Оглавление

1. Основы теории информации 4

2  Спектральное представление сигналов......................

3. Дискретизация и квантование сигналов...................

4. Избыточное кодирование............................................... 38

Литература.................................................................

Методические указания

для практических занятий, выполнения контрольных

работ по курсу

"СИСТЕМS ПЕРЕДАЧИ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ"

Для студентов специальности 230102

Ответственный за выпуск

Редактор ЛФ. Белова

Корректор