Квантовый вариант ФДТ. Формулы Кубо

.

2.Квантовый вариант ФДТ. Формулы Кубо.

Как мы уже знаем, (см. Гл.2 §1 [4]) кинетические коэффициенты в выражениях для потоков непосредственно связаны с теплом, которое выделяется в системе. Эти коэффициенты подчиняются соотношениям симметрии (Онсагера-Казимира) и входят в формулу для плотности источников энтропии. В этом параграфе мы, наконец, получим весьма общее утверждение о связи кинетических коэффициентов с корреляторами флуктуаций и самими флуктуациями, из которых можно будет так же понять природу соотношений симметрии.

Неравновесные процессы в системах часто можно связать с действием внешних по отношению к системе возмущений. Если возмущения в системе могут быть сведены к добавлению в гамильтониан слагаемого, зависящего от времени, " то такое возмущение называют механическим. Другие возмущения, например изменение внешней температуры или обмен веществом, нельзя учесть в гамильтониане и их обычно относят к термическим. Здесь ми будем рассматривать только механические возмущения. Более того, возмущающий гамильтониан будет иметь вид

,

где - классическая переменная (внешняя сила); - оператор, зависящий от квантовых чисел рассматриваемой подсистемы. Обычно оператор содержит только часть степеней свободы системы, которые слабо связаны с остальными, выполняющими роль термостата. Вся система близка к равновесию, что связано с предположением о малости внешних сил. При возмущение отсутствует и, система описывается гамильтонианом Н и соответствующей равновесию матрицей плотности

Временная эволюция матрицы плотности задается уравнением:

Непосредственной проверкой убеждаемся, что формальным решением (2.1) может быть выражение

Малость внешних сил Fa (t) и связанное с ней слабое отклонение

от равновесия позволяют использовать для нахождения итерационную процедуру, которая на первом шаге даёт приближенное решение в виде:

С помощью можно провести усреднение по матрице плотности и получить временное поведение среднего значения физической величины, связанной с любым оператором В:

Отклонение от равновесного значения записывается тогда через обобщенную восприимчивость

,

где обобщённая восприимчивость равна

. Второе равенство в следует из свойств следа матриц:SpABC = SpBCA=SpCAB; Sp[AB]C=Sp[BC]A=Sp[CA]B и определения гейзенбеговского оператора:.

Формулу , в которой восприимчивость задается соотношениями , обычно называют формулой Кубо. Это же название[1], однако, используется и для другой формы записи восприимчивости, которая получается из с помощью операторного тождества Кубо:

. В макроскопике среднее значение оператора временной производной

соответствует потоку величины А. С помощью тождества первое соотношение из можно преобразовать к виду:

Для перехода к классическим величинам формула особенно удобно, поскольку сразу дает формулу (1.37) §1,

При формула может быть записана через корреляторы:

Оба коррелятора имеют смысл при любых и, хотя сама имеет смысл в силу принципа причинности только для и должна обращаться в ноль для. Поэтому справедлива только для. Выясним прежде всего, как сказывается некоммутативность операторов и на спектры корреляторов. Коррелятор в энергетическом представлении может быть записан, как:

Соответственно спектр этого коррелятора имеет вид:

Аналогично можно записать спектр коррелятора :

При выводе последнего из соотношений использован факт, что суммы отличны от нуля только при . Таким образом, зная спектр , согласно , можно для записать следующее соотношение:

Однако под интегралом стоит не спектр функции линейной реакции или восприимчивости , а спектр функции, не обращающейся в ноль для . Для нахождения спектра нужно найти компоненту Фурье от выражения , полагая =0. В результате получим:

Так в силу принципа причинности, восприимчивость аналитична в верхней полуплоскости переменной , мы можем рассматривать эту функцию на вещественной оси как предел при . Такая процедура обеспечит сходимость интеграла по и дает возможность записать соотношение Лемана:

Если функция, которую называют спектральной интенсивность, вещественна, то из , согласно формуле Сохоцкого[2], имеем:

Спектральная плотность коррелятора <В(t)А(0)>0 вещественна, когда операторы В и А имеют одинаковую четность по отношению к операции обращения времени, которая включает в себя не только замену t на – t, но и комплексное сопряжение, а при наличии магнитного поля и обращение его направления на обратное. Чтобы показать это, рассмотрим коррелятор

Произведём процедуру обращения времени . Если при этом, левая часть уравнения не меняется, то получаем:

Сравнивая это равенство с , имеем в отсутствии магнитного поля:

В более общем случае имеет место следующее соотношение [12]:

Если , то спектральная плотность . как следует из , не только вещественная, но и заведомо положительная функция. Более детально свойства симметрии функции мы обсудим в §3. Здесь же ограничимся случаем В = А.

Операторы и, могут быть некоммутативны, поэтому аналогом классического выражения для коррелятора должна быть симметризованная комбинация

Согласно формулам (2.10), (2.11), и (2.15), спектр этой величины выражается через мнимую часть восприимчивости

.

Сам коррелятор тогда будет равен:

При получается соотношение Кэллена-Велтона для флуктуаций:

Напомним, что мнимая часть восприимчивости нечетная функция от , поэтому в можно оставить интегрирование только по положительным частотам.

Если температура , где - максимальная частота, при которой отлична от нуля (частота, выше которой вклад в интеграл пренебрежимо мал) в формулах и пропадает постоянная Планка ћ. Соответствующие этому случаю формулы, можно рассматривать, как классический предел.

При τ=0 мы получаем формулу для флуктуаций классической величины <А2 >0 ( предполагается, что <А>0=0 ).

Записывая последнее равенство, мы воспользовались аналитичностью и её свойствами: Reχ(ω)=Reχ(-ω) и Imχ(ω) = -Imχ(-ω), которые сразу следуют из .

Итак, формулы - дают утверждение ФДТ теоремы о связи временных корреляций и флуктуаций с мнимой частью восприимчивости и со статической восприимчивостью.

Известно, что мнимая часть восприимчивости определяет диссипацию энергии, поступающую от внешнего источника. Приведем здесь квантовый вывод этого утверждения:

Последнее слагаемое обращается в нуль из-за возможности циклических перестановок под знаком Sp. Поэтому можно написать:

Пусть внешний источник создает "силу" Fα(t). Тогда средняя мощность, поглощаемая телом от внешнего источника, усреднённая по достаточно большому промежутку времени Т, равна[3]:

Для случая гармонического возмущения Fα(t)=Fα(ω)cosωt можно записать поглощаемую энергию на частоте ω :

.

Пока мы не разделяли систему с гамильтонианом на две слабо взаимодействующие части: подсистему () и термостат (). Обычно внешняя сила действует на подсистему, и энергия от внешнего источника сначала поступает в подсистему, а потом за счет взаимодействия между подсистемой и термостатом передаётся термостату. Если, как и в §1, предположить, что термостат велик и обладает достаточной теплопроводностью, то вся поглощенная энергия диссипируется, превращаясь в тепло. Бесконечная теплоемкость термостата обеспечивает стационарность процесса поглощения, поэтому W=<Q>.

Величину называют потоком. Согласно и , среднее количество тепла, выделяющееся в системе за единицу времени, можно записать как

,

где вместо мнимой части восприимчивости мы используем реальную часть комплексной проводимости, связь между которыми следует из соотношений:

Флуктуацию токов можно легко получить из коррелятора . Для классических величин мы имеем обобщенную теорему Найквиста:

По крайней мере, для классических величин из видно, что потоки Y и силы F входят в выражение для диссипации энергии равноправно. Поэтому всегда формально можно, например, в качестве сил взять распределение токов в среде, а роль "токов" отвести электрическим полям.

Приведенные в этом параграфе соотношения формально применимы к дискретным системам. Обобщённая сила вызывает линейный отклик величины, соответствующей оператору . Однако все результаты легко переносятся и на распределенные в пространстве величины. Необходимо только считать, что индекс "включает" в себя и указанные точки , к которой относится интересующая нас величина, а суммирование пo "включает" в себя и интегрирование по . Естественно, что величины, входящие в интеграл, приобретают смысл плотностей величины А или ее потока в данной точке . Восприимчивость станет функцией двух точек . Иными словами, возникает пространственная дисперсия восприимчивости и соответственно вопросы, связанные с её симметрией.

§3.Соотношения симметрии и флуктуации плотностей токов и полей в объеме.

Общее линейное соотношение между токами и полями (силами) в каждой точке среды мы уже записывали в §1 Главы 2 первой части пособия [4]. Здесь мы дополним эти соотношения учетом временной зависимости сил :

Соответствующее потоку соотношение для линейного отклика выражается через восприимчивость как:

Поэтому кинетические коэффициенты и восприимчивость связаны между собой соотношением

Соответствующая формула для их фурье - образов по t имеет вид:

Таким образом, выяснив свойства симметрии для восприимчивости

мы получим соотношения симметрии Онсагера - Казамира для кинетических коэффициентов. Особенно просто и наглядно они получаются для классических величин и.. Поскольку восприимчивость по формуле выражается через спектр коррелятора , то, показав, что

,

мы получим соотношения симметрии для восприимчивости и кинетических коэффициентов. Проследим, как меняется коррелятор в

цепочке соотношений.

При выводе предполагалась только статистическая стационарность по времени t ( или t') и коммутативность А и В, которая всегда имеет место для классических величин. Знак в зависит от того, какую четность по времени имеют величины (операторы) А и В. Если их четность одинакова, то надо брать знак плюс, а если разная, то знак минус.

В электродинамике сплошных сред роль операторов А и В обычно выполняют различные компоненты одного и того же вектора, поэтому их четность одинакова и в следует брать верхний знак. Заметим только, что при обращении времени в системах с магнитным полем В это поле должно заменяться на - В. Таким образом, для Фурье-компонент восприимчивости имеем:

Можно считать, что в формуле роль индекса или выполняют координата и индекс компоненты вектора, что вполне согласуется с их ролью в формуле. Тогда для порождаемого в системе джоулева тепла вместо формулы имеем:

.

Искомые соотношения симметрии по отношению к перестановкам индексов тогда имеют вид:

Эти соотношения вполне согласуются с общим принципом Онсагера-Казимира, при этом сопряженные силы и потоки отвечают выражению для плотности производимого необратимого тепла.

Корреляция плотностей тока в точках и , согласно запишется через тензор проводимости, как:

Для статистически однородной среды удобно определить Фурье-образ коррелятора по-другому:

При этом

при этом тензор обобщенной проводимости задает линейную связь Фурье-компонент обобщённого тока

компонентой Фурье внешней "силы"

Заметим, что и симметричным образом входят в формулу, поэтому все формулы можно переписать, считая "током" , a "силой". При этом связь и будет задаваться оператором, обратным к оператору обобщенной проводимости. Для Фурье-компоненты это будет означать следующее.

Поэтому для коррелятора в статистически однородной среде будем иметь фурье - образ :

Поскольку вещественная величина, то из и следует, что

Воспользуемся и тем, что В результате получим.

Сравнивая и, мы видим, что, согласно (3.20), Фурье-компоненты корреляторов "токов" и "полей" связаны следующим соотношением:

• ^

Формулу легко истолковать самым естественным образом: случайные "поля" вызываются "сторонними " токами, чей коррелятор задается формулой. Связь между полями и "сторонними" токами задается формулой, тем самым становятся понятными обозначения и, введенные для Фурье-компонент корреляторов. .

Сопряженные токи и силы в формуле могут быть выбраны. неоднозначно. Роль "новых" токов могут играть линейные комбинации. Можно проверить, что сопряженными полями для "новых" токов с Фурье - компонентами будут величины . Соответственно ,поэтому фурье-образ коррелятора "новых" токов естественным образом выражается через коррелятор "старых" токов:

Подробнее с корреляторами равновесных случайных полей и токов можно ознакомиться в Приложении к книге [13].

В качестве примера приведем вычисление пространственного коррелятора электрических полей в максвелловской равновесной плазме. Поскольку скорости частиц в максвелловской плазме, электрические поля плазмы квазистатические, поэтому можно ограничиться потенциальными полями, для которых можно записать соотношения

и получить для Фурье-компонент связь между

полем и током:

которая представляет собой простой конкретный пример связи или.

Обратим внимание, что при связи “току» сопряжена сила , соответственно Q = JE. Согласно и определенно фурье - образа коррелятора , имеем:

Заметим, что обладает всеми свойствами линейной реакции или восприимчивости, поскольку формулу можно переписать в виде: ,

Рис. 1

соответствующей реакции потенциала на сторонний заряд. Таким образом, подынтегральная функция в последнем из соотношений не может иметь особенностей в верхней полуплоскости кроме простого полюса в нуле, поэтому интегрирование по можно свести к вычислению полу вычета в нуле, если провести интегрирование по контуру, изображенному на Рис.1. Подставив в (3.25) выражение для , получаем

.

Из этого коррелятора при r —> 0 можно получить энергию электромагнитного поля, исключив из нее собственную энергию зарядов. На единицу объёма имеем:

Замечаем, что соответствует дебаевской поправке во внутренней энергия плазмы (глава 2, (5.6)).

[1] Дифференцируя по соотношение можно убедиться в справедливости тождества Кубо.

[2]

[3] Следует заметить, что такой же результат получится, если под энергией системы E понимать только среднее значение гамильтониана H, а не Htot.