Теория массового обслуживания (стр. 2 )

Целесообразно для этой цели использовать корреляционный момент двух произвольных сечений и случайного процесса

, (2.13)

где - разности между случайными процессами в сечениях и соответствующими математическими ожиданиями, называемые центрированными значениями случайного процесса. Варьируя произвольно значения и аргумента случайного процесса , получим в общем случае функцию двух переменных , которая называется корреляционной функцией случайного процесса.

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Таким образом, корреляционной функцией случайного процесса будем называть такую неслучайную функцию двух аргументов и , которая для любой пары значений аргументов равна корреляционному моменту соответствующих сечений и случайного процесса (случайных величин и ).

Корреляционная функция (2.13) при совмещении сечений случайного процесса равна его дисперсии:

. (2.14)

Следовательно, задав корреляционную функцию случайного процесса, мы одновременно задаем и его дисперсию. Поэтому в качестве основных вероятностных характеристик случайного процесса достаточно рассматривать математическое ожидание и корреляционную функцию.

Для математического определения корреляционной функции необходимо знать двумерный закон распределения случайного процесса - совместный закон распределения значений (сечений) и случайного процесса при двух произвольно взятых значениях аргумента . Тогда корреляционная функция вычисляется по формуле

. (2.15)

Так как при значения (сечения) и случайного процесса совпадают, то её двумерная плотность вероятности выразится в виде

. (2.16)

Подставляя (2.16) в формулу (2.15) и выполнив интегрирование по , получим выражение (2.5):

.

Двумерная плотность вероятности определяет и одномерную плотность случайного процесса :

. (2.17)

Поэтому, зная - мерную плотность вероятности случайного процесса

,

можно определить все её плотности вероятности чисел измерений, меньших чем , например, для

(2.18)

Как было показано выше, размерность плотности вероятности случайного процесса определяется числом рассматриваемых сечений этого процесса. Очевидно, что случайный процесс является развитием понятия случайный вектор. Чем большее число сечений случайного процесса рассматривается, тем более полно описываются свойства этого процесса.

Если значения случайного процесса при любых значениях аргумента (сечениях) представляют собой независимые случайные величины , то - мерная плотность вероятности согласно теореме умножения плотностей вероятностей для независимых случайных величин выражается через одномерные плотности формулой

. (2.19)

Из (2.19) следует, что исчерпывающей характеристикой случайного процесса с независимыми сечениями является её одномерная плотность вероятности.

Часто вместо корреляционной функции используется нормированная корреляционная функция

. (2.20)

Нормированная корреляционная функция ограничена по модулю единицей

(2.21)

2.3. Классификация и основные типы случайных процессов

Основные признаки классификации случайных процессов связаны с природой пространства состояний случайного процесса , параметра времени и отношений зависимости между сечениями случайного процесса.

Пространство состояний - это пространство, которому принадлежат все возможные значения, принимаемые всеми случайными величинами . В случае, если , то случайный процесс относится к классу целочисленных процессов или процессов с дискретными состояниями. Если , т. е. совпадает со всей действительной осью, то процесс называется действительным случайным процессом.

Если параметр времени принимает значения , то случайный процесс является процессом с дискретным временем. В этом случае вместо будем использовать обозначение . Если , то случайный процесс называется процессом с непрерывным временем.

Важной чертой случайного процесса является зависимость (независимость) между случайными величинами (сечениями) .

Характер этой зависимости в общем случае может определяться заданием совместных законов распределения для каждого конечного семейства сечений случайного процесса .

Случайный процесс можно считать полностью заданным, если определены его пространство состояний, временной параметр и семейство конечномерных распределений его сечений.

В зависимости от того, непрерывное или дискретное множество значений принимают случайная величина (сечение) и её параметр , различают следующие основные виды случайных процессов.

Таблица 2.1

Классификация случайных процессов

1. Дискретная случайная последовательность или дискретный случайный процесс с дискретным временем (табл. 2.1). В данном случае время пробегает дискретный ряд значений и случайная величина может принимать лишь дискретное множество значений .

Множества значений и могут быть конечными и бесконечными . Такие случайные процессы непосредственно встречаются на практике (радиотелеграфия, радиолокация), а также могут быть получены путем квантования по уровню и по времени непрерывных случайных процессов с непрерывным временем. На практике такое квантование часто применяется при автоматической (цифровой) обработке различной информации.

2. Непрерывнозначная случайная последовательность или непрерывный процесс с дискретным временем (табл. 2.1). Этот процесс отличается от процесса первого вида лишь тем, что теперь случайная величина может принимать бесконечное множество значений. Примерами такого процесса могут служить выборки из непрерывного случайного процесса.

3. Дискретный случайный процесс или дискретный процесс с непрерывным временем (табл. 2.1). В этом случае случайный процесс принимает дискретные значения , а время - бесконечное множество значений , где - длина временного интервала, на котором задан процесс . Примерами могут служить показания счетчика случайного числа частиц, результат квантования непрерывного процесса по уровню, число занятых каналов обслуживания системы массового обслуживания.

4. Непрерывнозначный (непрерывный) случайный процесс принимает значения из некоторого непрерывного множества значений, а аргумент изменяется также непрерывно . Реализации такого случайного процесса плавно изменяются, не имеют скачков и разрывов (табл. 2.1). Примерами могут служить реализации параметров полета летательных аппаратов, сигналов в электрических, радиосистемах, авиационных комплексах.

2.4. Марковский случайный процесс

Марковским* случайным процессом называется случайный процесс , сечения которого при любых образуют случайный вектор, для которого условная плотность вероятности случайной величины зависит только от значения - предыдущего сечения – и не зависит от случайных величин, то есть не зависит от “предыстории” процесса (рис. 2.7).

На этом основании марковский процесс называют процессом без последействия.

Рис. 2.7. К определению марковского случайного процесса

Обозначая , запишем определение марковского процесса в виде соотношения

. (2.22)

Покажем, что полной вероятностной характеристикой марковского процесса является вторая плотность вероятности . Для этого используем известное соотношение

. (2.23)

На основании (2.23) можно выразить условную плотность (2.22) в виде:

. (2.24)

Аналогично -мерную плотность вероятности для сечений случайного процесса , представленную в виде произведения условных плотностей

, (2.25)

можно выразить с учетом (2.24) в следующем виде:

. (2.26)

Так как первая условная плотность вероятности получается из совместной второй плотности по формуле

, (2.27)

то отсюда следует вывод: - мерная плотность вероятности марковского случайного процесса при любом может быть определена, если известна его двумерная (вторая) плотность вероятности. Таким образом, двумерный закон распределения является исчерпывающей характеристикой марковского случайного процесса.

Марковские процессы широко применяются в приложениях для моделирования процессов эксплуатации и применения АК.

Глава 3. Постановка задачи исследования СЛОЖНЫХ Систем с использованием марковских процессов

Понятие “система” ассоциируется с множеством взаимосвязанных и взаимодействующих между собой элементов, каждый из которых прямо или косвенно связан с другими элементами. Система должна состоять, по крайней мере, из двух элементов и связей между ними. Система может являться подсистемой более сложной системы.

Состояние системы в момент времени определяется множеством её существенных свойств в данный момент. Число свойств системы, вообще говоря, может быть достаточно большим, однако для каждого конкретного исследования системы существенны лишь некоторые из них. В ряде случаев исследователя могут интересовать только два возможных состояния системы, например, отказ или безотказная работа в течение определенного времени . В других случаях важно учитывать большее число состояний и параметров системы их определяющих.

В данной главе мы будем рассматривать в общем случае физическую систему , случайный процесс в которой описывается марковским процессом с дискретными состояниями. Состояния системы могут быть качественными (описываться словесно) или же характеризоваться случайной величиной.

Марковский случайный процесс определяется как случайный процесс без последействия, для которого состояние в данный момент зависит только от его состояния в предшествующий момент и не зависит от того, как система пришла в состояние .

Для описания (моделирования) случайных процессов, протекающих в сложных системах и, в частности, в авиационных системах, будем использовать марковские процессы с дискретными состояниями следующих типов, описанные выше:

1)  дискретную случайную последовательность или дискретный случайный процесс с дискретным временем , называемый марковской цепью;

2)  дискретный случайный процесс или дискретный марковский процесс с непрерывным временем .

Для описания случайного процесса, протекающего в сложной системе, удобно рассматривать его, связывая с возможностями системы переходить из состояния в состояние непосредственно или через другие состояния. С этой целью применяется наглядная схема динамики функционирования системы, так называемый граф состояний системы. Приведем необходимые термины и определения из теории графов, которые будут использоваться в дальнейшем.

При изложении теории случайных процессов с дискретными состояниями будем изображать состояние системы и переходы из состояния в другие с использованием ориентированного графа. Граф будем обозначать буквой .

Ориентированный граф – совокупность точек (вершин) и ориентированных отрезков (стрелок), соединяющих некоторые из них. Вершины графа будут соответствовать состояниям системы , их мы будем изображать прямоугольниками, в которые вписываются обозначения состояний . Стрелка из вершины , направленная в вершину , будет изображать возможность перехода системы из состояния в состояние (рис. 3.1). Переход по стрелке, ведущей из состояния обратно в него же, означает задержку системы в этом состоянии (рис. 3.2). В дальнейшем “обратные стрелки” будут опускаться без ущерба для расчетов. Стрелки на графе могут изображаться как прямолинейными, так и криволинейными отрезками (рис. 3.3).

Рис. 3.2

Рис. 3.1

Рис. 3.3

Пример 3.1. Состояние системы – технического устройства (ТУ) – и переходы представлены на рис. 3.3. Возможные состояния:

– ТУ работает исправно;

– ТУ неисправно, но неисправность еще не обнаружена;

– неисправность обнаружена, ведется поиск источника;

– источник неисправности найден, идет ремонт ТУ;

– проводится послеремонтная проверка ТУ;

– ТУ списано, за неспособностью функционировать в заданном режиме;

– ведется профилактический осмотр ТУ – при обнаружении неисправности ТУ отправляется в ремонт.

В дальнейшем изложении будем всегда считать, что переход системы из состояния в состояние (или “перескок”) осуществляется мгновенно, а сама система может находиться только в одном из своих возможных состояний. Будем так же придерживаться следующей классификации состояний системы.

Состояние называется источником, если система может выйти из него, но не может попасть обратно – состояние и на рис. 3.4.

Состояние называется концевым (поглощающим), если система может попасть в него, но не может выйти обратно – состояния и на рис. 3.5.

Рис. 3.4

Рис. 3.5

Состояние называется соседним по отношению к состоянию , если система может перейти из состояния непосредственно в – состояние по отношению к , по отношению к (рис. 3.5).

Состояния и называются соседними, если система может переходить из в и обратно из в – состояние и , и на рис. 3.4.

Состояние называется транзитивным, если система может войти в него и выйти из него – все состояния на рис. 3.1, все состояния кроме на рис. 3.3.

Состояние называется изолированным, если в него нельзя попасть ни из одного состояния и из него нельзя попасть ни в одно из состояний системы – на рис. 3.3. В примере 3.1 может означать, например, нахождение ТУ на складе хранения.

Наряду с отдельными состояниями системы в ряде приложений требуется вводить в рассмотрение некоторые подмножества состояний системы.

Обозначим – множество всех состояний системы и рассмотрим подмножество этих состояний.

Подмножество называется замкнутым (концевым), если система , попав в одно из состояний этого подмножества, не может выйти из этого подмножества состояний – на рис. 3.4, и на рис. 3.6.

Подмножество состояний называется эргодическим или связным, если из любого состояния, входящего в , можно попасть в любое другое состояние из этого подмножества – подмножества и на рис. 3.6. Эргодическим может быть и все множество состояний системы , например, множество всех состояний на рис. 3.1. В эргодическом множестве состояний нет ни источников, ни поглощающих состояний.

Рис. 3.6

Подмножество называется транзитивным, если система может войти в него и выйти из него – подмножество на рис. 3.7.

В заключение отметим, что случайный процесс, протекающий в системе , можно трактовать как процесс блуждания системы по множеству состояний . Если подмножество является концевым, то, попав в него, система будет продолжать блуждание уже только по этому подмножеству состояний . Если все множество состояний эргодично, то блуждание системы будет происходить по всем состояниям этого множества.

Рис. 3.7

На практике часто встречаются системы, состояния которых образуют цепь (рис. 3.8), в которой каждое состояние кроме крайних состояний связано прямой и обратной связями

Рис. 3.8

с двумя соседними состояниями и , а каждое из крайних состояний и связано прямой и обратной связью только с одним соседним состоянием .Такая схема случайного процесса называется схемой гибели и размножения, а сам процесс – процессом гибели и размножения.