Теория массового обслуживания (стр. 5 )

Здесь будем рассматривать систему массового обслуживания с ожиданием смешанного типа с ограниченным числом мест в очереди. При получим, как частный случай, СМО с отказами, а при чистую систему с ожиданием.

Будем считать, что система имеет каналов обслуживания, а на вход системы поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Простейший поток обслуживания характеризуется интенсивностью каждого канала .

Поступившая заявка обслуживается сразу и до конца (заявки “терпеливые”), если хотя бы один канал оказывается в этот момент свободным. Если все каналы в момент прихода заявки заняты, то заявка встает в очередь с местами и “терпеливо” ждет обслуживания. Заявка, заставшая занятыми все мест в системе и мест в очереди, – -я заявка – получает отказ и уходит из системы необслуженной. Наконец, каждая заявка обслуживается только одним каналом.

Величины (параметры) являются основными параметрами данной СМО с ожиданием.

Состояния рассматриваемой СМО будем связывать с числом заявок, находящихся в данный момент времени в системе – на обслуживании или же в ожидании обслуживания в очереди:

– в системе нет ни одной заявки – все каналы обслуживания свободны, очереди нет (система “простаивает”);

– в системе имеется заявок , которые обслуживаются каналами, очереди нет;

– в системе имеется заявок , из которых заявок обслуживаются каналами (все каналы заняты) и заявок стоят в очереди;

– в системе имеется заявок – все каналов заняты обслуживанием заявок, в очереди все мест заняты, а следующая -я заявка получает отказ.

Таким образом, данная СМО имеет состояний

Граф возможных состояний рассматриваемой СМО представлен на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Граф состояний СМО с отказами смешанного типа

Система дифференциальных уравнений (СДУ) для вероятностей состояний СМО с отказами смешанного типа, составленная в соответствии с мнемоническим правилом для размеченного графа её состояний (рис. 6.1), имеет следующий вид

(6.1)

При решении СДУ следует учесть нормирующее условие:

. (6.2)

Система уравнений решается, например, при следующих начальных условиях

.

Из анализа графа состояний (рис. 6.1) следует, что рассматриваемая система эргодична, так как нет групп состояний без выхода или без входа и все потоки событий, переводящие систему из состояния в другие состояния, простейшие. Поэтому существует стационарный режим работы при , когда и СДУ вырождается в систему алгебраических уравнений с неизвестными :

(6.3)

Добавим нормирующее условие (6.2)

. (6.4)

Выведем формулы для предельных вероятностей состояний СМО с ожиданием в установившемся режиме работы, аналогичные формулам Эрланга.

Рассмотрим -е уравнение системы (6.3)

. (6.5)

Решим уравнение (6.5) относительно вероятности и учтем выражения (5.15) и (5.13): .

Итак, получили

. (6.6)

Здесь обозначено как потому, что при его определении будут учтены вероятности состояний , которых не было при определении для СМО с отказами. Рассмотрим -е уравнение системы (6.3) и решим его относительно вероятности

. (6.7)

В общем случае, вероятность выражается в виде

. (6.8)

Определим вероятность , используя нормирующее условие (6.4)

.

Отсюда следует

. (6.9)

Введем обозначение

, (6.10)

имеющее смысл отношения интенсивности потока заявок к полной интенсивности обслуживания поступающих в - канальную систему заявок.

Сумма, стоящая в знаменателе выражения (6.9) для , как сумма членов арифметической прогрессии, может быть представлена в виде

. (6.11)

С учетом (6.10) и (6.11) формула, выражающая вероятность , примет следующий вид

. (6.12)

Формула для вероятности (5.15) для данного случая СМО с ожиданием примет вид

. (6.13)

Формула для вероятности (6.8) с учетом (6.10) примет вид

(6.14)

Для оперативных расчетов вероятностей состояний с использованием таблиц пуассоновских сумм и (5.16), (5.17) представим формулы для в следующей форме

, (6.15)

, (6.16)

. (6.17)

Выражая вероятность через пуассоновские суммы (5.16), получим выражение

.

Подставляя его в формулы (6.15) … (6.17), получим окончательно:

, (6.18)

, (6.19)

. (6.20)

…

Аналогичные формулы получатся при использовании других таблиц пуассоновских сумм (5.17)

, (6.21)

(6.22)

(6.23)

Перечислим основные показатели эффективности (параметры), характеризующие работу СМО с ожиданием.

1. Вероятность отказа в обслуживании, очевидно, равна вероятности того, что заняты все каналов и все мест в очереди

. (6.24)

2. Вероятность обслуживания заявки (относительная пропускная способность системы) равна вероятности того, что в момент поступления очередной заявки окажется свободным хотя бы один канал обслуживания или хотя бы одно место в очереди

. (6.25)

3. Абсолютная пропускная способность СМО равна

. (6.26)

4. Среднее число занятых каналов (3.5.50) равно

. (6.27)

5. Среднее число заявок, ожидающих обслуживания в очереди (средняя длина очереди), определяется как математическое ожидание случайной величины – числа заявок, стоящих в очереди

. (6.28)

Формула справедлива для (получена ). В частном случае, при , формула (6.28) примет следующий вид:

. (6.29)

6. Среднее время ожидания обслуживания заявкой в очереди вычисляется по формуле

. (6.30)

7. Среднее время нахождения заявки в системе обслуживания (ожидания в очереди и обслуживания одним из каналов) равно

. (6.31)

8. Вероятность занятости канала обслуживанием равна

. (6.32)

9. Вероятность полной загрузки системы равна вероятности того, что в системе будут заняты все каналы

. (6.33)

В частном случае, при неограниченном числе мест в очереди, стационарный режим работы СМО существует только при условии

. (6.34)

Смысл этого условия состоит в том, что среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени всеми каналами, должно быть больше, чем среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени. При вероятность обслуживания , так как заявка, вставшая в очередь, обязательно дождется обслуживания.

В случае сумма (6.11) будет равна сумме бесконечной геометрической прогрессии

. (6.35)

С учетом этого формулы для вероятностей и примут следующий вид

(6.36)

или . (6.37)

(6.38)

или . (6.39)

(6.40)

или .

При среднее число заявок, ожидающих обслуживания в очереди (6.28), будет равно

. (6.41)

Преобразуем сумму в правой части формулы

.

С учетом этого преобразования окончательно получим

. (6.42)

Среднее число занятых каналов (6.27) при станет равным

. (6.43)

Формулы для среднего времени ожидания заявкой обслуживания в очереди (6.30) и среднего времени нахождения заявки в системе обслуживания (6.31) не изменятся.

Пример 6.1. Система ремонта авиационных агрегатов имеет 5 линий ремонта , на каждой из которых агрегат восстанавливается в среднем за 4 суток. Агрегаты, требующие ремонта, поступают в систему ремонта в среднем 1 раз в сутки. На складе хранения могут ожидать ремонта (стоять в очереди) не более 3-х агрегатов.

Определим относительную и абсолютную пропускную способность системы ремонта, рассматривая её как СМО с ожиданием.

Решение. Относительная пропускная способность СМО – системы ремонта, как системы с ожиданием и очередью , определяется по формуле (6.25) с учетом (6.23) при значениях параметров:

,

, ,

.

Абсолютная пропускная способность системы ремонта вычисляется по формуле (6.26)

Другие характеристики системы ремонта читатель может определить самостоятельно по формулам (6.в качестве упражнения.

ГЛАВА 7. СИСТЕМЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ.

ФОРМУЛА ЛИТТЛА

Известно, что, имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, а также алгебраические уравнения для финальных вероятностей и решить их. Для некоторых случаев удается последние уравнения решить заранее, в буквенном виде. В частности, это удается сделать, если граф состояний системы представляет собой так называемую «систему гибели и размножения» [6].

Рис. 7.1

Граф состояний для системы гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 7.1. Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний – правым и левым, а крайние состояния – только с одним соседним состоянием. Термин «система гибели и размножения» ведет начало от биологических задач, где подобной системой описывается изменение численности популяции.

Система гибели и размножения очень часто встречается в разных задачах практики, в частности – в теории массового обслуживания, поэтому полезно, один раз и навсегда, найти для нее финальные вероятности состояний.

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, – простейшие (для краткости будем называть и систему и протекающий в ней процесс – простейшим).

Пользуясь графом рис. 7.1, составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний (их существование вытекает из того, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое, и число состояний конечно). Для первого состояния имеем

. (7.1)

Для второго состояния

.

В силу (7.1) последнее равенство приводится к виду

;

далее, аналогично

и, вообще,

,

где принимает все значения от 0 до . Итак, финальные вероятности удовлетворяют уравнениям

, (7.2)

кроме того, надо учесть нормировочное условие

. (7.3)

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (7.2) выразим через

. (7.4)

Из второго, с учетом (7.4), получим