УДК 621.391

, к. т.н., доц., докторант

РЕКУРРЕНТНЫЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ

В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ

Васюта аналіз процесів в телекомунікаційних системах. Розглянуто новий метод нелінійного аналізу процесів у телекомунікаційних системах з використанням рекурентних діаграм. Проілюстровано метод реконструкції фазового портрету процесу, що досліджується, на основі часового ряду, проілюстровано метод побудови рекурентних діаграм. Приведено кількісний аналіз структур рекурентних діаграм.

Васюта анализ процессов в телекоммуникационных системах. Рассмотрен новый метод нелинейного анализа процессов в телекоммуникационных системах на основе рекуррентных диаграмм. Проиллюстрирован метод реконструкции фазового портрета исследуемого процесса на основе одиночного временного ряда наблюдения, метод построения рекуррентных диаграмм. Приведен количественный анализ структур рекуррентных диаграмм для классификации наблюдаемых процессов.

Vasyuta K. S. The recurrent analysis of processes in the telecommunication systems. The new method of the nonlinear analysis of processes in telecommunication systems on the basis of recurrent diagram’s is considered. The method of reconstruction of a phase portrait of investigated process on the basis of a single time number of supervision, a method of construction of recurrent diagram’s is illustrated. The quantitative analysis of structures of recurrent diagram’s is resulted.

Активное применение хаотических процессов в телекоммуникационных системах (ТС) в последнее время расширило набор традиционных методов (линейных) обнаружения сигналов нелинейными методами, полученными в теории нелинейных динамических
систем [1]. Однако большинство методов нелинейного анализа требуют достаточно длинные либо стационарные ряды наблюдаемых данных. Кроме того, в [2] показано, что такие методы дают удовлетворительные результаты для идеализированных моделей систем без учета шумов в каналах передачи либо их минимального значения.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В работах [3, 4] предложены методы нелинейного анализа процессов в информационных системах в псевдофазовом пространстве. В [5] предложен метод, расширяющий возможности нелинейного анализа временных рядов и основан на фундаментальном свойстве диссипативных динамических систем – рекуррентности (повторяемости состояний). Очевидно, что данный метод анализа, основанный на представлении свойств процессов в виде геометрических структур, может служить инструментом для обнаружения зависимостей в наблюдаемых процессах и являться одним из критериев оценки
скрытности ТС.

Цель работы – рассмотреть новый метод нелинейного анализа процессов в ТС на основе рекуррентных диаграмм и получить новые численные характеристики рекуррентных диаграмм с использованием BDS-статистики.

При исследовании сложных систем часто либо отсутствует информация обо всех переменных состояния, либо не все из них возможно измерить. Как правило, имеется одно наблюдение , проведенное через дискретный временной интервал. Этот интервал не всегда может быть постоянным и поэтому стандартные методы анализа неприменимы. Взаимодействия в сложных системах и их количество таковы, что даже по одной переменной состояния можно судить о динамике всей системы в целом. Таким образом, эквивалентная фазовая траектория, сохраняющая структуры оригинальной фазовой траектории может быть восстановлена из одного наблюдения процесса или временного ряда, вложенного в псевдофазовое пространство заданной размерности :

(1)

В [5] был предложен способ отображения -мерной фазовой траектории состояний наблюдаемого процесса (рис. 1) на двумерную квадратную двоичную матрицу размером , в которой 1 соответствует повторению состояния при некотором времени в некоторое другое время , а обе координатные оси являются осями времени (рис. 2).

Рис. 1. Временная диаграмма наблюдаемого процесса

Рис. 2. Отображение точек, повторяющих состояние процесса в момент времени

Такое графическое представление процесса названо рекуррентной диаграммой (RP - recurrence plots) и является проекцией - мерного псевдофазового пространства на плоскость. Рекуррентная диаграмма описывается соотношением:

, (2)

где , , - количество рассматриваемых состояний наблюдаемого процесса, - размер окрестности точки в момент , -расстояние между точками, - функция Хэвисайда.

На рис. 3 приведена рекуррентная диаграмма, полученная для гауссовского (белого) шума.

Рис. 3. Рекуррентная диаграмма гауссовского (белого) шума

На рис. 4 приведена рекуррентная диаграмма, полученная для “черного” шума (обобщенного броуновского движения с показателем Херста Н=0,7).

Рис. 4. Рекуррентная диаграмма “черного” шума (для показателя Херста

или коэффициента самоподобия )

На рис. 5 приведена рекуррентная диаграмма, полученная для хаотического процесса, фазовый портрет которого имеет палаточное распределение.

Рис. 5. Рекуррентная диаграмма хаотического процесса

Из сравнения рисунков 3…5 видно, что внешний вид диаграмм может дать представление об эволюции траекторий процесса в псевдофазовом пространстве во времени. Это свойство, на основе анализа топологии диаграммы, позволяет классифицировать наблюдаемые процессы:

– однородные RP (рис. 3) типичны для процессов с независимыми, идентично распределенными (IID – independent and identical distributed) случайными значениями;

– дрейф (рис. 4), соответствует процессам с медленно (линейно) меняющими параметрами;

– периодические (рис. 5), повторяющиеся структуры, соответствуют осциллирующим (нелинейным) системам.

Кроме изображения рекуррентности в виде черных точек можно изобразить расстояние между состояниями системы на диаграмме расстояний [6], которая отображается на некоторую цветную палитру:

. (3)

Образуемые структуры рекуррентных диаграмм можно анализировать численно. В [5] впервые предложен инструментарий вычисления мер сложности структур рекуррентных диаграмм, используя для анализа плотность рекуррентных точек и диагональных структур. Рассмотрим некоторые из них.

Мера рекуррентности (RR):

, (4)

показывает плотность рекуррентных точек, подсчитывая их в пределе .

Мера детерминизма (DET) или предсказуемости поведения процесса – это отношение рекуррентных точек, составляющих диагональные структуры, к общему количеству рекуррентных точек:

, (5)

где - частотное распределение длин l диагональных линий в RP,- абсолютное количество диагональных линий (каждая линия считается только один раз). Эта мера не имеет значения реального детерминизма процесса. Поскольку пороговое значение - исключает диагональные линии, образованные тангенциальными движениями траекторий в псевдофазовом пространстве. При .

Мера энтропии (ENTR) соотносится с энтропией Шеннона частотного распределения длин диагональных линий:

, (6)

где и отражает сложность детерминистской составляющей в системе (наблюдаемом процессе).

Тренд (TREND) – это линейный коэффициент убывания частной плотности рекуррентных точек RR, диагоналей, параллельных к диагональной линии, как функция времени (расстояния) между этими диагоналями и диагональной линией:

. (7)

Тренд характеризует нестационарность процесса. Это выражение исключает границы RP (). Выбор значения зависит от характера изучаемого процесса.

Подробнее количественные меры анализа структур рекуррентных диаграмм рассмотрены в [7]. Однако этот количественный анализ может быть дополнен еще одним методом. Он базируется на используемой при анализе финансовых временных рядов
BDS-статистике [8].

BDS-статистика основана на использовании корреляционной размерности (корреляционного интеграла) процесса в псевдофазовом пространстве заданной
размерности . Корреляционный интеграл определяет частоту попадания произвольной пары точек в фазовом пространстве в окрестность -радиус гиперсферы, которая стремиться к определенному пределу (фрактальной размерности) по мере уменьшения . Используя теорему Такенса можно построить псевдофазовое пространство. Выберем произвольный размер , не превышающий размерность наблюдения :

(8)

Тогда для выборки из n наблюдений корреляционный интеграл для фазового пространства размерности вычисляется с использованием следующего выражения:

, (9)

где - функция Хэвисайда.

Значение зависит от размерности псевдофазового пространства.

В [9] показано, что при с вероятностью равной единице справедливо следующее свойство , а разность является нормально распределенной случайной величиной с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Следовательно, для процессов с независимыми значениями, идентично распределенными (IID – independent and identical distributed) случайными величинами,
BDS-статистика имеет нормальный закон распределения с нулевым средним.

В качестве решающей статистики выбирается величина

, (10)

где - стандартное отклонение случайной величины .

Для процессов с наличием зависимостей в значениях разного характера BDS-статистика позволяет выявлять их и классифицировать наблюдаемые процессы.

Ранее вычисление BDS-статистики осуществлялось для процессов, погруженных в псевдофазовое пространство размерности . В данной работе предложено использование (10) для численного анализа рекуррентных диаграмм.

Пользуясь (10) было проведено численное моделирование зависимости среднего значения BDS-статистики от показателя Херста (самоподобия) для 20 реализаций обобщенного броуновского движения [10] с n=300000 независимыми отсчетами, при , ,, . Результаты моделирования приведены на рис. 6. Для процесса, погруженного в псевдофазовое пространство размерности 5, результаты приведены штриховой кривой, а для процесса проанализированного с помощью
BDS-статистики и рекуррентной диаграммы результаты представлены сплошной кривой. По вертикальной оси отмечены средние значения , по горизонтальной оси приведены значения .

Рис. 6. Зависимость среднего значения BDS для обобщенного

броуновского движения от Н.

Из рис. 6 видно, что полученные зависимости качественно не отличаются для процесса, погруженного в псевдофазовое пространство размерности 5, и для процесса, проанализированного с помощью BDS-статистики на рекуррентной диаграмме. На интервале среднее значение убывает. Это говорит об уменьшении зависимости в данных и наблюдается антиперсистентность (розовый шум) – если значения процесса возрастают в предыдущий период времени, наиболее вероятно, что они будут снижаться в следующий период, и наоборот. При наблюдаются независимые, одинаково распределенные приращения обобщенного броуновского движения. На интервале среднее значение резко возрастает. Это говорит об увеличении зависимости в данных и наблюдается персистентность (черный шум).

Учитывая тенденции в поведении BDS можно осуществлять распознавание цвета шума на рекуррентной диаграмме и классифицировать наблюдаемые процессы. Результаты моделирования показали, что при наблюдается коричневый шум, на интервале – белый гауссовский шум, на интервале – серый шума, а при – черный шум.

Таким образом, в данной работе был представлен результат численного анализа рекуррентных диаграмм с использованием непараметрического метода BDS-статистики. Результаты численного моделирования показали, что BDS позволяет принимать решение с заданной вероятностью о присутствии в наблюдении признаков линейной или нелинейной зависимости, решать задачи распознавания “цвета” шума в наблюдении. Однако еще предстоит оценить возможности BDS в способности различить нелинейную детерминированную систему (хаос) и нелинейную стохастическую систему (“цветные” шум).

Литература

1. , , Фрактальные процессы в телекоммуникациях. – М.: Радиотехника, 2003. – 480 с.

2. Ecmann J. P., Kamphorst S. O., Ruelle D., Recurrence plots of dynamical systems.// Europhysics Letters 5. – 1987. – Р. 973-977.

3. Костенко бинарного сообщения, маскируемого хаотическим процессом Маккея-Гласса, методом регуляризации / , , С. И. Сиващенко, // Зб. наук. праць ХУПС, Харків. – 2007. – 3(15). – С. 37-40.

4. , Устойчивое к шуму наблюдения восстановление бинарного сообщения, замаскированного хаотическим колебанием системы с запаздыванием / П. Ю. Костенко, , // Изв. вузов. Радиоэлектроника. – 2008. – Т. 51, № 2.
– С. 58-64.

5. Eckmann J. P., Kamphorst S. O., Ruelle D., Recurrence Plots of Dynamical Systems.// Europhysics Letters 5. – 1987. – Р. 973-977.

6. Iwanski J. S., Bredley E. Recurrence plots of experimental data: To embed or not to embed? // Chaos. – 1998. –№8(4). – Р. 861-871.

7. Marwan N., Wessel N., Meyerfeldt U., Schirdewan A., Kurths J., Recurrence-plots-based measures of complexity and application to heart-rate-variability data.// Physical Review, E66, 026702. – 2002.

8. Kanzler Ludwig Very Fast and Correctly Sized Estimation of the BDS Statistic / Ludwig Kanzler // Christ Church and Department of Economics University of Oxford. – 1999. – 95 c.

9. T. Schreiber Discrimination power of measures for nonlinearity in a time series / A. Schmitz // Physical Review E. – 1997. – V.55, №5. – Р. 5

10. Фракталы. М.: Мир, 1991. – 261 с.