Расчет на прочность и жесткость балки при прямом изгибе (стр. 1 )

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Кафедра «ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИЕ ДИСЦИПЛИНЫ»

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ

И ЖЕСТКОСТЬ БАЛКИ

ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Сопротивление материалов».

РПК «Политехник»

Волгоград

2006

УДК 539. 3/6 (07)

P 24

Расчет на прочность и жесткость балки при прямом изгибе: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Сопротивление материалов» / Сост. ; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2006. – 43 с.

Содержат краткие теоретические положения о деформации плоский прямой изгиб; методы расчетов на прочность и жесткость статически определимых балок; варианты и пример выполнения индивидуальных заданий.

Предназначены для студентов обучающихся по направлениям 551200 (код ОКСО 260700) «Технология и проектирование текстильных изделий», 552900 (код ОКСО 150900) «Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств». Также рекомендуются для студентов направления 551700 (код ОКСО) «Электроэнергетика».

Ил. 23. Табл. 2. Библиогр.: 3 назв.

Рецензент: к. т. н.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Корзун

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ БАЛКИ ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Сопротивление материалов».

Под редакцией автора

Темплан 2006 г., поз. № 9.

Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать ризографическая.

Усл. печ. л. 2,69. Усл. авт. л. 2,56.

Тираж 100 экз. Заказ №

Волгоградский государственный технический университет

400131 Волгоград, просп. им. , 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.

© Волгоградский

государственный

технический университет, 2006

Тема: Расчет на прочность и жесткость балки при прямом изгибе.

Цель занятия: освоить построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, определение нормальных и касательных напряжений, подбор сечений балки и определение перемещений методом начальных параметров.

Время выполнения: 6 часов.

1.  ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1. Внешние силы

Брус, работающий на изгиб называется балкой.

Плоскость, содержащая продольную ось балки и одну из главных центральных осей инерции ее поперечного сечения, называется главной плоскостью балки (рис. 1.).

Плоскость действия сил называется силовой плоскостью.

Линия пересечения силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения называется силовой линией.

Деформация плоский прямой изгиб имеет место в случае действия на брус уравновешенной системы перпендикулярных его оси сил, плоскость действия которых совпадает с главной плоскостью балки.

1.2. Механизм деформации

В результате такого действия сил на балку происходит следующее (рис. 2):

·  Продольная ось балки искривляется, превращаясь в плоскую кривую, расположенную в силовой плоскости. Это отличительная особенность деформации прямой изгиб от других видов простого сопротивления: например растяжения (сжатие), кручение, при которых продольная ось оставалась прямолинейной.

·  Все волокна балки искривляются, не надавливая друг на друга; при этом с выпуклой стороны они претерпевают растяжение; а с вогнутой – сжатие. Это означает, что каждый элемент волокна испытывает центральное растяжение или сжатие.

·  Поперечные сечения балки поворачиваются вокруг главной центральной оси, перпендикулярной силовой линии, оставаясь при этом плоскими и перпендикулярными деформированной оси балки.

Слой волокон, который является границей между зоной растяжения и зоной сжатия и который не испытывает ни растяжения, ни сжатия, а только искривляется, называется нейтральным слоем.

Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперченного сечения называется нейтральной осью.

1.3. Внутренние силовые факторы

В зависимости от схемы нагружения балки в ее поперечных сечениях могут возникать:

·  один внутренний силовой фактор – изгибающий момент Мх;

·  два внутренних силовых фактора – изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy.

Случай изгиба, при котором в поперечном сечении действует только изгибающий момент, называется чистым изгибом.

Изгиб, при котором в поперечных сечениях действуют одновременно и поперечная сила, и изгибающий момент, называется поперечным изгибом.

С точки зрения внутренних сил упругости:

·  поперечная сила есть равнодействующая внутренних касательных к сечению сил упругости (рис. 3 а);

· 
изгибающий момент есть момент результирующей пары внутренних, нормальных к сечению сил упругости (рис. 3 б).

Для расчета на прочность балок необходимо знать наибольшее значение Q и M и положение сечений, в которых они действуют (опасных сечений).

б

С этой целью определяют значения Q и M в так называемых характерных сечениях балки и строят эпюры «Q» и «М».

Эпюрой поперечных сил (изгибающих моментов) называется графическое изображение закона изменения величины поперечной силы (изгибающего момента) по длине балки.

Характерными сечениями (точками) балки являются:

·  концевые сечения балки;

·  сечения в которых приложены нагрузки (точки приложения сосредоточенных сил и моментов, начало и конец действия распределенной нагрузки).

Чтобы определить величину поперечной силы и изгибающего момента необходимо сделать следующее:

1. Определить опорные реакции балки.

2. Обозначить характерные точки.

3. Мысленно разрезать балку сечением, отбросить более сложную часть балки (ту к которой приложено больше сил), и составить выражение для определения Q (а затем М) пользуясь правилами.

Правила для определения поперечной силы.

1. Поперечная сила Qy численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, приложенных к оставшейся части балки, на ось Y.

.

2. Если при подходе к сечению слева внешняя сила направлена снизу вверх, то ее следует взять со знаком «+», а если сверху вниз – то со знаком «-» (рис. 4 а).

При подходе к сечению справа используется обратное правило знаков (рис. 4 б).

Возможна и иная интерпретация правила знаков для поперечной силы.

Если внешняя сила стремиться повернуть оставшуюся часть балки относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке, то ее следует взять со знаком «+», а если против часовой, то со знаком «-» (см. рис. 4).

Правила для определения изгибающего момента.

1.  Изгибающий момент численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных к оставшейся части балки, относительно центра тяжести рассматриваемого сечения.

,

где точка с – центр тяжести рассматриваемого сечения.

2. 

Правило знаков. Если внешняя сила изгибает балку относительно рассматриваемого сечения выпуклостью виз, то ее момент следует взять со знаком «+», а если выпуклостью вверх, то со знаком минус (рис. 5).

Примечание:

·  сечение, в котором определяется изгибающий момент, жестко закрепляем;

·  действие каждой силы рассматривается в отдельности.

Правило знаков для изгибающего момента может иметь и другое истолкование.

Если внешняя сила стремиться повернуть оставшуюся часть балки по часовой стрелке, относительно рассматриваемого сечения при подходе к сечению слева, то ее момент следует взять со знаком «+», а если против часовой стрелки, то со знаком «-».

При подходе к сечению справа используется обратное правило знаков.

По полученным значениям Q и M стоят эпюры, аналогично тому, как в свое время строились эпюры «Nz» и «Mz».

При построении эпюры «Q» положительные значения откладывают вверх, а отрицательные вниз от оси.

При построении эпюры «М» положительные значения откладывают вверх от оси, а отрицательные вниз, т. е. эпюра изгибающих моментов строится со стороны сжатых волокон балки.

По окончании построения эпюр «Q» и «М» необходимо проверить правильность их построения.

Правила контроля эпюр «Q» и «М» вытекают из дифференциальных зависимостей Журавского между q, Q и М и основаны на геометрическом смысле I производной.

Первая производная от данного значения функции по данному значению аргумента есть тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна данному значению аргумента.

Так, например, на основании зависимости следует, что если

q = 0, то и угол наклона касательной к графику функции«Q» (эпюра «Q») равен 0, т. е. эпюра «Q» изображается прямой, параллельной оси эпюры (рис. 6 а).

Если q ≠ 0, и q = const это означает что касательная к графику функции Q (к эпюре «Q») имеет постоянный угол наклона, а это значит, что эпюра «Q» изображается прямой, наклонной к оси эпюры (рис. 6 б).

Аналогично использование зависимости:

Правила контроля эпюр основаны также и на свойстве первой производной: если первая производная положительна, то функция возрастает; если первая производная отрицательна – то убывает.

Экстремум (максимум или минимум) функции имеется при тех значениях аргумента, при которых первая производная равна нулю, т. е. касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (рис. 7).

Основываясь на выше рассмотренном, правила контроля эпюр можно свести к следующему.

Контроль эпюры «Q» (рис. 8 а) (производится слева направо).

Предположим, что материальная точка стремится двигаться по горизонтальной линии, на которой построена эпюра «Q», начиная от точки, соответствующей левому концу балки, и кончая точкой, соответствующей правому, но, попадая на линию действия силы, она смещается этой силой на величину силы по направлению ее действия.

Например: (рис. 8 а) точка смещается вниз на величину VA = 10 кН. Затем точка движется горизонтально до сечения С.

Дальше равномерно распределенная нагрузка q1 смещает постепенно точку вниз; к концу участка (точка D). Общая высота смещения составит 30 кН, то есть поперечная сила в сечении D QD = (10 + 30 = 40 кН), 30 = qI × lСД = 30 × 1 = 30. Затем сила F смещает точку вверх на величину 30 кН. Далее нагрузка q2 постепенно смещает точку вверх; общая высота смещения точки к концу участка (точка В) должна составить q2 × lDВ = 20 × 1 = 20 кН.

Рис. 8

Затем сила VB возвращает точку на ось эпюры.

Точка вышла из оси и вернулась на ось, значит, эпюра «Q» построена правильно.

Контроль эпюры «М» (рис. 8 б).

·  В сечениях балки, где действует сосредоточенный момент на эпюре, имеется скачек, равный по величине этому моменту (сечение А) m - 35 кН×м.

· 

На участках балки, свободных от распределенной нагрузки, эпюра «М» изображается прямой, наклонной оси эпюры (участок АС).

·  На участках балки, где действует распределенная нагрузка, эпюра «М» изображается параболой, выпуклость которой обращена в сторону противоположную действию нагрузки q (участок СD – выпуклость параболы обращена вверх; на участке ВD выпуклость параболы обращена вниз).

·  В сечениях, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре «М» имеется излом, острие которого направлено в сторону противоположную действию силы (сечение D).

·  Если поперечная сила положительна, то изгибающий момент возрастает, если отрицательна то убывает (участок АС и СD Q < 0 изгибающий момент убывает – эпюра М «идет» вниз, в «-», то же на участке DК; на участке КВ, где Q > 0, изгибающий момент возрастает эпюра «М» идет вверх в «+»).

1.4. Общий порядок определения величины

поперечных сил и изгибающих моментов

1.  Составляется расчетная схема балки с изображением действующих на нее внешних сил активных и реактивных и определяется величина неизвестных опорных реакций (для консолей определять реакции не обязательно).

2.  Балка разбивается на участки, границами которых являются:

·  точки приложения сосредоточенных сил;

·  точки приложения сосредоточенных пар сил;

·  начало и конец распределения нагрузки, проводится ось эпюры, параллельно оси балки.

Границы участков переносятся на ось эпюры.

3.  На каждом участке составляются уравнения для изгибающего момента «М» и поперечной силы «Q» согласно зависимости 1 и 2 и правилам знаков.

4.  По полученным уравнениям определяются значения «М» и «Q» для характерных точек (границ участков). По полученным значениям «Q» и «М» строят график зависимости Q и М от Z.

При этом:

·  положительные значения поперечной силы и изгибающего момента откладываются вверх от оси,– (эпюра М строится на сжатых волокнах).

5.  Если на каком-либо участке эпюра «Q» изменяясь по линейному закону пересекает ось эпюры в точке К, следовательно в этой точке

Q = 0, и здесь необходимо определить экстремальное значение М (рис. 8 а).

6.  Расстояние от начала участка до сечения, в котором Q = 0, (Zк) определяют как частное от деления значения Q в крайнем сечении этого участка, на интенсивность нагрузки q:

.

1.4.1. Построение эпюр «М» и «Q» для балок

на 3 участка (аналитический метод)

Пример. Для заданной расчетной схемы балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 9 а).

Определяем опорные реакции:

,

,

,

,

,

,

Проверка:

.

·  Разбиваем балку на участки. Границы участков – точки приложения сосредоточенных сил и пар сил, начало и конец распределенной нагрузки.

·  Рассматриваемая балка имеет 3 участка: I – AC; II – CB; III – BD.

·  Построение эпюры «Q» (рис. 9).

Участок АС – рассмотрим сечение 1-1 на расстоянии Z1, от левой опоры. Абсцисса на участке АС меняется по величине в пределах от 0 до 2 м, 0 £ Z1 ³ 2 (рис. 10).

Составим уравнение проекций всех сил, расположенных слева от сечения на ось у:

, Q = VA,

т. е. величина Q1 не зависит от Z1. Q1 = 3 (кН).

Следовательно, эпюра «Q» на участке АС имеет вид прямой, параллельной оси Z (рис. 9).

Участок СВ – 0 £ Z2 £ 4 рассмотрим левую часть балки (рис. 11):

,

при Z2 = 0 QС = VA – F – 0 = 1 (кН),

при Z2 = 4 QВ = VA – F – q × 4 = -7 (кН)

Очевидно, что эпюра «Q» представляет прямую, наклонную к оси эпюры, которая пересекает эту ось в некоторой точке К. Определяем расстояние от этой точки до точки С:

QК = 0; Z2 = ZК,

VA – F – q × ZК = 0, .

Участок ДВ – (0 £ Z3 £ 2 м) рассмотрим правую часть балки (рис. 12):

,

эпюра совпадает с осью Z (рис. 9).

Построение эпюры «М».

Участок АС – рис. 10. (0 £ Z1 £ 2 м),

М1 = å m1(Fлев) = VA × Z1 = 3Z1 – прямая пропорциональная зависимость.

При Z1 = 0 МА = 0.

При Z1 = 2 МС = 3 × 2 = 6 кН×м.

Участок СВ – рис. 11. (0 £ Z2 £ 4 м),

– квадратная парабола.

При Z2 = 0 МС = 3 × 2 = 6 кН м.

При Z2 = 0,5 м кН×м.

При Z2 = 4 м кН м.

По трем точкам строим эпюру (рис. 9).

Участок DB – рис.12. (0 £ Z3 £ 2 м); M3 = - m = const, M3 = -6 кН×м – прямая параллельная оси Z.

·  Проверяем правильность построения эпюр по правилам контроля.

Индивидуальные задания по построению эпюр «Q» и «М» смотреть в приложении.

1.5. Напряжения в поперечном сечении

В случае прямого поперечного изгиба в поперечных сечениях балки возникают нормальные (σ) и касательные (τ) напряжения.

Нормальные напряжения распределяются по высоте по линейному закону и в любой точке сечения определяются по формуле:

где Мх – изгибающий момент, действующий в данном сечении (берется из эпюры «М»);

Jх – осевой момент инерции сечения относительно нейтральной оси;

y – расстояние от точки, в которой определяется напряжение, до нейтральной оси.

Знак у напряжения устанавливается по физическому смыслу.

Если точка находится в растянутой зоне, то напряжение σ в этой точке имеет знак «+», а если в сжатой зоне, то «-».

При положительном изгибающем моменте балка искривляется выпуклостью вниз(рис. 9 а, б)., то есть точки а и в находятся в растянутой зоне и напряжение в этих точках положительны: σа > 0; σb > 0, а напряжение в точках, расположенных выше нейтральной оси отрицательны σс < 0.

При отрицательном изгибающем моменте (рис. 13 в) точки а и в сечения находятся в сжатой зоне и нормальные напряжения в этих точка отрицательны.

По ширине сечения величина нормальных напряжений не меняется, т. е. постоянна для всех точек, находящихся на одном и том же уровне σa = σв (рис. 13 а).

Наибольшие по величине нормальные напряжения возникают в крайних верхних и нижних точках сечения (опасные точки) и определяются по формуле:

,

где Wx – момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси.

Для сечения простой формы Wх определяется

по формулам, для проката – по таблицам сортамента.

Таблица 1

форма сечения
Wx			0,1×D3	0,1×D3×(1-C4)	По табл. сортамента	По табл. сортамента 2×Wx и 2×Ix
Ix			0,5×D4	0,5×D4×(1-C4)
τmax

1.6. Касательные напряжения

Касательные напряжения также постоянны по величине в точках, находящихся на одном и том же уровне, а по высоте сечения изменяются по криволинейному закону. Например, для прямоугольного сечения и производных от него по закону квадратной параболы.

В любой точке поперечного сечения касательные напряжения определяются по формуле Журавского:

,

где Q – поперечная сила, действующая в данном поперченном сечении (берется из эпюры «Q»);

– статический момент отсеченной части сечения (расположенной выше или ниже уровня данной точки) относительно нейтральной оси;

Jх – момент инерции сечения относительно нейтральной оси;

b – ширина сечения на уровне рассматриваемой точки.

В отличие от нормальных напряжений, касательные напряжения максимальны в точках, принадлежащих нейтральной оси; в крайних же верхних и нижних точках сечения они равны нулю; касательные напряжения имеют один и тот же знак во всех точках сечения; он соответствует знаку поперечной силы. Если Q > 0, то и τ > 0 (рис. 13 г) при Q < 0 и τ < 0.

1.7. Напряженное состояние и главные напряжения

При чистом изгибе во всех точках балки имеет место линейное напряженное состояние, и наиболее опасными точками являются крайние верхние и нижние точки балки.

В случае поперечного изгиба напряженное состояние в различных точках по высоте балки неоднородно.

В крайних верхних и нижних точках балки напряженное состояние, как и в случае чистого изгиба линейное (рис. 14 а). Главные площадки здесь совпадают с поперечными сечениями и главные напряжения равны нормальным напряжениям, действующим в поперечных сечениях, т. е:

.

В точках, расположенных в нейтральном слое, имеет место особый случай плоского напряженного состояния – чистый сдвиг, при котором по четырем граням, выделенного двумя поперечными и двумя горизонтальными сечениями элемента, действуют касательные напряжения (рис.14 б).

Главные напряжения равны в этом случае касательным напряжениям, действующим в площадках чистого сдвига (в поперечных сечениях) , а τmax зависят от формы сечения (см. табл. 1).

Главные площадки расположены под углом 45° к площадкам чистого сдвига.

В произвольных точках, расположенных выше или ниже нейтрального слоя имеет место плоское напряженное состояние (рис. 14 в).

Главные напряжения определяются по формулам:

где σa – нормальное напряжение, действующее в поперечном сечении;

τa – касательное напряжение в поперечном сечении.

Положение главных площадок определяется углом a0, между направлением главной площадки и площадки a (поперечным сечением):

.

1.8. Расчет на прочность

В зависимости от постановки задачи различают три вида расчета на прочность.

1. Проверочный расчет, осуществляется:

·  в сечении балки, где действует максимальный изгибающий момент в крайних верхних (нижних) точках сечения:

,

где [s] – допускаемое нормальное напряжение для материала балки;

·  в сечении балки, где действует наибольшая по величине поперечная сила, в точках принадлежащих нейтральной оси по условию:

tmax £ [t],

где [s] – допускаемое нормальное напряжение для материала балки;

τmax определяется в соответствии с табл. 1;

·  в сечениях балки, где действует одновременно значительные по величине поперечная сила и изгибающий момент в точках сечения, где действует значительное по величине нормальное и касательное напряжение по условию:

,

или:

.

2. Проектный расчет осуществляется в следующем порядке:

·  определяют требуемый момент сопротивления: