Техника счета (стр. 2 )

При нахождении произведения с применением данно-
го метода наиболее сложным является третий шаг, где
в уме надо находить и запоминать три произведения.
Рекомендуем следующую последовательность вычисле-
ний;

579

Ж

568

(последовательность нахождения произведений произ-
вольная, какая вам больше нравится):= 24,
2) 5-9 = 45, 3) 24+45 = 69, 4) 6*7 = 42, 5) 69+42=111.
Суть рекомендации сводится к тому, чтобы запоминать
не более двух чисел, найдя два произведения -- сложить
их, и затем, запоминая только одно число (сумму), про-
должать вычисление.

На первых порах, может быть, будет даже целесооб-
разно выполнять вычисления этого шага письменно.

Описанный выше метод справедлив и при умножении
чисел разной разрядности. Для того чтобы умножить
трехзначное число на двузначное, достаточно предста-
вить мысленно двузначное число как трехзначное:

242 представим как 242
Х 54 Х054

Теперь к данному примеру полностью применим метод

25

Ответы для проверки:;;*
4) 31899;

Доказательство правильности метода проще всего
провести, выполнив обычным способом умножение чисел
в общем виде. Обозначим трехзначное число 100а+

складывая, окончательный результат запишем в строчку:

Теперь остается только внимательно посмотреть на по-
лученный результат и убедиться, что, используя пред-
лагаемый метод, мы не отклонились от классической
схемы умножения «столбиком». Этот же метод дает от-
личные результаты и при умножении двузначных чисел
на двузначные.

Например:

26

Общий метод сокращенного умножения многозначных чисел. При необходимости умножить многозначное число
на число той же значности можно рекомендовать следую-
щий метод, который опишем на примере умножения чи-
сел

354

*261

1) Производим умножение цифр, стоящих друг под
другом;

Обратим внимание на то, что для записи каждого произ-
ведения отводится 2 разряда.

2) Производим умножение накрест соседних цифр.
Результат пишем под результатом первого шага со сдви-
гом на 1 знак влево

(5*1+4*6=29; 2*5+3*6=28)

3) Умножаем накрест крайние цифры и их сумму за-
сываем под результатом второго шага со сдвигом
на 1 знак влево

27

(3. 1+2-4=11)

Схема, по которой ведется расчет, очень легко запоми-|
нается

В случае умножения четырехзначных чисел на четы-
рехзначные схема приобретает следующий вид:

Из приведенной схемы легко вывести алгоритм для
вычисления произведения двух чисел произвольной знач-
ности: первый шаг — перемножение цифр, стоящих друг
под другом, второй и остальные шаги вычислений дела-
ются по общей схеме —сначала перемножаются накрест
рядом стоящие цифры, затем перемножаются накрест
цифры, отстоящие друг от друга на одну цифру, затем
отстоящие друг от друга на две цифры, и т. д.

В каждом шаге, начиная со второго, надо найти ряд
сумм, каждая из которых состоит из двух слагаемый
где слагаемое —произведение двух цифр. Для записи

каждой суммы отводитсл 2 разряда (если сумма полу-
чается трехзначной, старший разряд суммы запоминает-
ся и прибавляется к последующей сумме слева). Каждая
последовательность записей следующего шага записыва-
ется со сдвигом влево на 1 разряд по сравнению с пре-
дыдущим шагом. Если в множителях различное число
знаков, то меньшее число рассматриваем как число, у
которого старшие разряды равны нулю.

X

2742
377

рассматриваем как

2742
Х0377

Это дает возможность умножать с помощью данного при-
ема числа с различным числом разрядов.
Рассмотрим два примера на использование метода:

29

Решите самостоятельно следующие примеры, используй
описанный метод:

1) у8
Х458 Х3564 Х67 Х 634 Х 634

Ответы для проверки:;;
4) ;

Доказательство метода аналогично доказательству,
приведенному в предыдущем пункте.

Метод сдвига. К общим методам, упрощающим вы-
числение произведений чисел произвольной значности,
относится и метод сдвига, который является разновид-
ностью метода, изложенного выше.

Рассмотрим применение метода на конкретном при-

мере

362
Х 145

Запишем второй множитель в обратном порядке

541
Ниже запишем первый множитель так, чтобы число еди-
ниц первого множителя стояло под цифрой сотен второ-
го множителя (в обратной его записи)

541
1
362

1) перемножим цифры, стоящие друг под другом. По-
лучим единицы окончательного результата. Если число
двузначное — десятки запомним:

541
1
362

'0

2) мысленно сдвинем влево первый множитель на
1 знак. Стоящие друг под другом цифры перемножим и
произведения сложим. Сумма (с учетом запомненного
числа) даст нам десятки окончательного результата:

11 2X4+5x6 = 38, 38+1=39
362
390

30

Каждый последующий шаг будет заключаться в сдвиге
верхнего множителя влево на один разряд, нахождении
произведений стоящих друг под другом цифр и нахож-
дений этих произведений суммы, единицы которой за-
писываются в окончательный результат.

При использовании метода не забудьте, что один из
сомножителей должен быть записан в обратном порядке.
Числа должны быть записаны так, чтобы единицы чисел,
которые необходимо перемножить, были подписаны друг
под другом.

4X7+6X1=34

31

7) 1453 3X2 = 6 6+1=7 3541X2167 = 7 673 347

2167

7

Метод применим для умножения чисел любой знач.
ности и чисел, имеющих различное число разрядов.

Проделайте самостоятельно приводимые ниже вы-
числения, используя метод сдвига:

1) 52
X X X X X

427 4321 349 24 239

Ответы для проверки:;
3) ;;

Доказательство правильности метода совпадает с
доказательством корректности предыдущих приемов!
(выполняем умножение двух чисел в общем виде стол-|
биком и затем убеждаемся в том, что слагаемые в обоих*
случаях одни и те же).

3. РУССКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ
(способ изменения сомножителей)
Изложение метода в общем виде. Если один из со]
множителей увеличить в т раз, а второй сомножитель
во столько же раз уменьшить, то произведение не изме-
нится. Этим свойством произведения можно пользовать-
ся для облегчения вычислений. Например:

25X24= (25X4) X (24:4) = 100X6=600,
13X18= (13Х6)Х(18:6) =78X3=234.
Прием дает хорошие результаты при умножении на
двузначные числа. Применяя его, очень часто удается
свести умножение на двузначное число к умножению на
однозначное число с последующим умножением опять
на однозначное число

23X15=115X3=345.

Активное усвоение метода заключается в том, чтобы

в каждом отдельном случае быстро сообразить, как мож-

но упростить множимое или множитель. При этом све-

дение к умножению на однозначное число — только част-

ный случай.

35X55= (34:2) X (55X2) = 17Х110.

32

Умножать на 11О проще, чем на 55.

умножение на число вида 5-10п. Способ изменения
сомножителей упрощает умножение на числа вида 5-1011.
Если необходимо умножить

246X5,
то, уменьшая первый множитель в 2 раза, а второй мно-
житель увеличивая в 2 раза, получим:

(246:2) X (5X2) = 123X10= 1230,
257X5=128,5X10=1285,
349X5=174,5X10=1745.
Отсюда вытекает правило: чтобы умножить число на
5 его необходимо умножить на 10 и разделить на 2
257X5 = 2570:2=1285,
349X5 = 3490:2=1745.
Аналогично происходит умножение на 5-10п.
7292X5-10П =п
273Х500=136,5Х10Х100=
43X0,005=43X5-10-3=215-10~3=0,215.
Решите самостоятельно:

1) 397X50= 3) 12,54X500=X0,005=*

2)  423X5-107=,54X5-10-4=X0,5 =

Ответы для проверки:;;;
4) ; 5) 92,5; 6) 79,5.

Умножение на 25 10п. Чтобы умножить число на 25,
его необходимо умножить на 100 и разделить на 4:
1232X25=123200:4 =
9532X25 = 953200:4 =
Множитель 10±п не меняет алгоритма нахождения произ-
ведения:

378X25-104 =:4-104= 96= 96-10б,
36X25-10-2=3600:4-10-2==9,
157X2500=15700:4-100 =

Найдите самостоятельно:

1) X2500=X0,25=»

2)  458X25-107=X0,025 =

3)  236X25-10-2=Х25-102 =

Ответы для проверки:;Ю8; 3) 59;
4) 74,25; 5) 16,65;

Умножение на 125-10п. Чтобы умножить число на 125,
Не°бходимо это число умножить на 1000 и разделить на 8.

453X125 = :8 =,
129X125= :8=

3- А - С. Сорокин 33

Так же, как и в предыдущих случаях, наличие множите-
ля 10±п не изменяет характера вычислений

354-0,125=:8-10-3;
множитель 10±п проще учитывать на конечной стадии
числений.
Решите самостоятельно:

1)  1253X125-103=X1=

2)  459X12 500=X125-104=

3) 174X0,0125=X125000=

Ответы для проверки:;
3) 2,175;"2;;
Деление на 5 10п; 25-10п; 125-10п. Освоив умножение
на 5, 25, 125, легко перейти и к делению на эти числа.
Чтобы разделить число на 5, его надо умножить на 2 в
разделить на 10:

537:5= (537X2) ::10-107,4,
254:5= (254Х2):10= 508:10= 50,8.

Чтобы разделить число на 25, его надо умножить на 4 и
разделить на 100:

120:25-(120X4) :100 = 4,8,
231:25= (231X4): 100-9,24.
Чтобы разделить число на 125, необходимо его умножить
на 8 и разделить на 1000:

6:125= (6X8) :1000=0,048,
2431:125-(2431X8) :1000= 19,448.

Наличие в делителе множителя вида 10±п не меняет
порядка вычислительного процесса. Множитель 10±п
проще всего учитывать в конечном результате, не забы-
вая, что при этом меняется знак у п:

231:(5-104)«=(231Х2):10*10-4=46,2-10-4=
= = 0,00462,
229: (25-10-3) = (229X4): 100*103 = 9160,
130:12 500= (130X8) := ,

Выполните самостоятельно вычисления:

1)  293: ()= 3) 6:(125-103) =: =

2)  124:500= 4) 51:25=:1,25=

Ответы для проверки:,4; 2) 0,248; 3) 48; 4) 2,04
5) ;,2.

34

4. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОЖИТЕЛЕЙ НА СЛАГАЕМЫЕ

Иногда один из сомножителей можно представить в
виде суммы чисел, умножение на которые легко выпол-
няется. Этим можно воспользоваться для упрощения
вычисления. Предположим, необходимо найти произве-
дение
1254X175.

Существуют простые способы умножения на 125 и 50
(смотри пункт 3 данной главы). Если вам хорошо изве-
стны эти способы упрощенного умножения, то целесооб-
разно представить множитель в виде суммы 175=
= 125+50:

1254Х (125+50) = +62 700 =
При реальном счете тоже приходится делать промежу-
точные записи, но их выгоднее делать так:
1254X175=
+

Еще один пример на применение метода:

325X36=325Х (25+11)= 8125

+3575
11 700

Применение данного метода требует знания упрощен-
ных методов умножения на отдельные числа, поэтому
практическое применение он может найти только после:
освоения основного материала данной главы.

б. МЕТОД, УПРОЩАЮЩИЙ УМНОЖЕНИЕ НА ЧИСЛО,

В СОСТАВ КОТОРОГО ВХОДЯТ ЦИФРЫ 6, 7, 8 И 9

(«метод отрицательных цифр»)

Хорошо известно, что умножать на цифры 1, 2, 3, 4
легче, чем на цифры 6, 7, 8, 9. Ниже излагается метод,
позволяющий сводить умножение на 9 умножением на 1,
Умножение на 8 умножением на 2 и т. д. Этот прием ча-
ще используется при работе с арифмометром, но и при
письменном нахождении произведения может упростить
выкладки. Заменяем каждое из чисел б, 7, 8, 9 разностью
10-4, 10—3, 10—2, 10—1, записываем их в виде суммы
10+4, 10 + 3, 10+2, 10+1, обозначая отрицательные чис-

ла знаком «минус» сверху. Теперь любое натуральное-

число можно записать, не пользуясь цифрами 6—9. На-
пример, вместо 27 пишем 33, вместо 168 пишем 232, вме-
сто 2994 пишем 3014. Применяя такую запись многознач-
ного множителя, мы будем иметь наряду с обычными
положительными частными произведениями также
частные произведения отрицательные. Пример такого ум-
ножения с применением «отрицательных цифр»:

82 X 2984 Х3024

Находя итоговую сумму, учитываем, что некоторые
частные произведения (в нашем примере 164934) надо не
складывать с остальными частными произведениями, а
вычитать.

Поясним метод двумя примерами на использование
«отрицательных цифр»:

6. УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ, БЛИЗКИХ К 10*. 2-10п, 5 10п, А 10п

(метод дополнений)

Одним из самых эффективных и эффектных мето-
дов, используемых при необходимости перемножить два
числа, близких к 10п, является метод дополнений. Под
дополнением числа В до числа А будем понимать раз
ность А—В (смотри гл. I, пункт 6). Обозначим ее че-
рез а. Из определения видно, что дополнение может быть
как числом положительным, так и числом отрицатель-
ным. Например, дополнение числа 95 до число 100 равно
5, а дополнение числа 103 до числа 100 будет — 3. Суть

36

метода дополнений проще всего рассмотреть на примере
умножения двух чисел, близких к 100.
Умножение чисел, близких к 100. Предположим, надо
умножить 94><98

Дополнением множимого до 100 будет а1= 100—94 = 6,
дополнением множителя до 100 будет а2= 100—98 = 2.
Запишем это для наглядности так:

94X98
6 2
Чтобы получить произведение двух чисел, близких к 100,
необходимо:

1) из любого сомножителя вычесть дополнение второ-
го сомножителя до 100

98—6=92 или 94—2=92;

2) найти произведение дополнений

6X2=12;

3) к разности сомножителя и дополнения приписать
полученное произведение дополнений

94X98=9212.

Упрощение в вычислениях очень существенное.
Несколько примеров на умножение двузначных
чисел:

99X95= 1) 99—5=95—1=94,
X1=5,

3) 99X95=9405
(обратите внимание на то, что при приписывании произ-
ведения дополнений оно должно занимать два разряда)

91X98= 1) 91—2=98—9=89,
X9=18,

3) 91X98 = 8918.
99X84= 1) 84—1=99—16=83,

1X16=16,

3) 99X84 = 8316.
Римеры для самостоятельного решения:

1) 94Х98= 3) 91X97= 5) 97X97= 7)98X89 =

2) 99Х99= 4) 97X85= 6) 93X96= 8)99X87=

Ответы для проверки:;;;;
5) 9409;;;

Умножение чисел, близких, но меньших 10п. Сформу-
лируем общее правило для перемножения чисел, близ-

37

ких к 10п. Чтобы перемножить два числа, близких к 10п
(например, 997X998), необходимо:

1) найти дополнение каждого числа до 10п

1000—997 = 3,
1000—998 = 2;

2) из одного из сомножителей вычесть дополнение
второго сомножителя до 10п

997—2=995 или 998—3=995;

3) найти произведение дополнений

3X2 = 6;

4) результат, полученный во втором пункте, умно-
жить на 10п (приписать п нулей) и к полученному произ-
ведению прибавить произведение дополнений

995X1000+6 = 995006.
997X998 =
Последний пункт можно сформулировать по-другому:

4а) к результату, полученному во втором пункте,
приписать произведение дополнений, следя за тем, что-
бы оно занимало бы столько же разрядов, сколько их в
числе, к которому приписывается произведение.
Два примера для закрепления метода:
99 991X99 995= 9973X9997=

1)  —99 991=9,—9973=27,
—99 995=5,—9997=3,

2) —5=99 986,—3 = 9970,

3)  9X5 = 45, 3) 27X3=81,

4) X99 995 = 9 ,

4) 9973X9997 =

Примеры для самостоятельного решения:

1) 999X999= X9 =

2)  9909X9990=X9991 =

3)  9988Х9997«X9999 =
Ответы для проверки:;;
3);00 099;;
6)

При решении примеров необходимо обращать особе
внимание на число разрядов, отводимых в окончатель-
ном результате для произведения дополнений.

Обоснование метода.

Предположим, что необходимо перемножить два чис-
ла х и у, причем ах— есть дополнение х до 10п, ау-
дополнение у до 10п, т. е. х+ах = 10п и y+ау=10п Тог-

да х*у=(10п-ах)-(10п-ау)= (10п-ах-ау)* 10п+ах+ау
= (х—ау) • 10п+ах- ау = (у—ах) • 10п+ах - ху.

расшифруем полученные результаты:
у-ах— разность между одним из сомножителей и допол-
нением второго сомножителя до 10п.
Наличие множителя 10п говорит о том, что произведение
•пополнений ах-ау можно «приписать» к разности (у—ах),
если это произведение представляет собой число, в кото-
ром не более п цифр.

умножение чисел, близких, но больших 10п. Для пе-
ремножения чисел, близких, но больших 10п, воспользу-
емся без изменения правилом, изложенным выше. Необ-
ходимо только помнить, что «дополнение» — величина
алгебраическая.

Итак, чтобы перемножить два числа, близких к 10п
(например, 104Х102, где п = 2), необходимо:

1) найти дополнение каждого из сомножителей до 10п

100—104 = —4,
100—102 = —2;

2) из одного из сомножителей вычесть дополнение
второго сомножителя до 10п

104—(—2) = 102—(—4) = 106;

3) найти произведение дополнений

(-4)Х(-2)=8;

4) к результату, полученному во втором пункте, при-
писать произведение дополнений, следя за тем, чтобы оно
занимало п разрядов

104 X 102=10 608.

Несколько поясняющих примеров

1003X1021= 1098—1099 =

1) 1000—1003 = —3—1098 = —98,

1000—1021=—21, 1000—1099 = —99,

2) 1021 — (—3) = 1024,—(-99) = 1197,

3) (-З)Х(-21)=63, 3) (—98)X(-99) =9702,

4) 1003Х1021 = 1 произведение находим, ис-
пользуя метод дополнений)
4) 1098X1099=1197

+ 9702

1

Примеры для самостоятельного решения:

1) 109Х10З=X=

2) 12001Х10004=X10003 =

3) 221X104=X1008 =

39

Ответы для проверки:;
3) 220 708;;

Перемножение чисел вида 10п+х. В предыдущем раз-.
деле мы рассмотрели, по сути дела, перемножение имен-
но таких чисел, но с оговоркой, что х мало. Снимем это|
ограничение. В этом случае может случиться, что устно I
ответ получить не удастся, но умножение сведется к чис-
лам, которые на порядок меньше первоначальных.

Пусть необходимо перемножить числа 142 и 123.
Будем поступать согласно рекомендациям предыдущего
раздела:

1) находим дополнения сомножителей до 10п (в на-
шем случае до 100)

100—142 = —42,
100—123 = —23;

2) из одного из сомножителей вычитаем дополнение
второго сомножителя

123— (—42) = 165 или 142—(—23) = 165;

3) к полученному результату приписываем произве-
дение дополнений

(необходимо внимательно следить за числом знаков, от-
водимых под произведение дополнений, иначе получим
ошибочный ответ Найти в уме произведение
чисел 42 и 23 затруднительно, поэтому это вычисление
выполнено «в столбик», но использование метода допо-
нений позволило свести умножение трехзначных чисел к
умножению чисел двузначных.

В данном варианте использования метода дополне-
ний необходимо особенно внимательно следить за тем
чтобы в приписываемом произведении дополнений было
бы знаков на 1 меньше, чем в числе, к которому оно
приписывается. Поясним это на примере:

183X125

1)  100—183 = —83,
100—125==—25,

2)  183—(—25) = 125—(—83) =208,

3)  (-83) X (-25)-2075.

Вот здесь важно не ошибиться. В числе, к которому не-
обходимо приписать произведение дополнений (208), три
знаа, а в приписываемом числе—четыре. Нетрудно до-
гадаться, как надо поступить в этом случае

208
+ 2075
22 875

Итак, 183X125=22 875.

В предыдущем разделе отмечалось, что число, знаков
для приписываемого произведения должно быть равно
числу знаков в числе, к которому оно приписывается.
Здесь же говорится, что число знаков для приписывае-
мого произведения должно быть на 1 меньше. Здесь нет
противоречия. В обоих случаях число разрядов, отводи-
мых под произведение дополнений, равно п. Если число
меньше 10п, то в нем п знаков. Если число больше 10п,
то в нем (п+1) разряд.
Примеры для самостоятельного решения:

1) 153X121=X109=X10021 =

2)  1037X1037=X124=X153 =
Ответы для проверки:;;;
4) 16244;,6) 23409,

Умножение чисел, близких к 10п, одно из которых
больше 10п, а другое — меньше 10п. Посмотрим, как
можно применить метод дополнений в данном наиболее
сложном случае. Канва рассуждений остается та же.

Для того чтобы перемножить 2 числа, близких к 10п,
одно из которых больше 10п, а другое — меньше 10п (на-
пример, 107X95), необходимо:

1) найти дополнение каждого из сомножителей до 10п

100—107=—7,
100—95=5;

2) из одного из сомножителей вычесть дополнение
второго сомножителя до 10п

107—5 = 95—(—7) = 102;

3) найти произведение дополнений
(—7)Х5=—35.

Произведение получилось отрицательным. Поэтому при-
дется вспомнить, что на с. 38 последний пункт имеет еще

более строгую трактовку;

4) Результат, полученный в пункте 2, умножить на

10п (т. е. приписать к результату, полученному в пунк
те 2, п нулей) и к полученному произведению прибавить
произведение дополнений. Нетрудно сообразить, чтоэтот
пункт остается в силе, если под суммой понимать сумму
алгебраическую.

Проще это можно, наверное, сформулировать следую
щим образом в двух пунктах:

4) вычесть из 10п произведение дополнений

100—35=65;

5) к результату, полученному в пункте 2 и уменьшен,
ному на единицу, приписать результат вычислений пунк-
та 4

107X95=10165.
Два примера для закрепления навыков применения дан-
но го метода:
10 024X9998 =

1) —10 024 = —24,
10 000—9998 = 2,

2) —2 = 9998—(—24) =,

3)  —24X2 = —48,

4) —48=9952,

5) X9998=
121X99 =

1)  100—121=—21,
100—99=1,

2)  121 —1=99—(—21) = 120,

3)  —21X1==—21,

4)  100—21=79,

5)  121X99=11979.

В практике возможны случаи, когда произведение
дополнений будет по абсолютной величине превышать
10п. В этом случае надо пользоваться не пунктами 4и 5
а основной формулировкой: результат, полученный в
пункте 2, умножить на 10п и из полученного произведи
ния вычесть произведение дополнений:
2032X997=

1)  1000—2032=1032,
1000—997 = 3,

2)  2032—3 = 2029,

3)  —1032X3 = 3096,

4)  2029Х103 = 2 ,

2

— 3096

2

2032Х997=2025904
Примеры для самостоятельного решения:

1)X9999=X4354 =

2 3024X998=X1003=

3) 99988X100012=X9909=

ответы для проверки:;;
3) ;;;
Умножение чисел, близких к 10_п. Поскольку все из-
ложенное в предыдущих разделах остается в силе и при
отрицательном значении п (а также при п, равном ну-
лю), метод дополнений представляет исключительную
ценность для инженеров, занимающихся расчетом на-
дежности элементов и систем, где приходится перемно-
жать десятичные дроби, очень близкие к единице (случай
п=0). Рассмотрим общий случай умножения десятич-
ных дробей, близких к 10-п.

Для того чтобы перемножить две десятичные дроби
(например, 0,0997X0,099), близкие к 10-п (в нашем слу-
чае близкие к 0,1, т. е. п= — 1), необходимо:

1) каждый из сомножителей умножить на 10м, где
т — число знаков после запятой сомножителя, имеюще-
го большее число десятичных знаков:

в числе 0,0997 — четыре знака;
в числе 0,099 — три знака,

следовательно, м=4

0,0997X10 000=997,

0,099X10 000=990;

2) перемножить получившиеся целые числа

997X990= 1000—997=3,

1000—990=10,
990—3=987,

3х10=30,

997X990=;

3) отделить запятой в получившемся произведении
2м знаков

| 0,0997X0,99=0,

В данном случае отделяем 2X4=8 знаков. Нуль в конце

I произведения, вполне естественно, можно не писать.

Метод получения произведения остался без измене-
ний. Первый и третий пункты призваны дать способ на-
хождения числа разрядов после запятой в окончательном
результате. Тот же способ перемножения можно описать
и несколько по-другому.

Пусть необходимо перемножить числа
0,00998X0,0098 =

1) выравниваем число знаков после запятой дописы-
ванием в одном из сомножителей необходимого числа
нулей:

0,00998X0,00980=

2) перемножаем сомножители как целые числа, не
обращая внимания на нули, стоящие перед значащими
цифрами,

998X980=

1000—998 = 2
1000—980=20
998—20=978

2X20=40
998—980=

3) в окончательном результате отделяем запятой чис-
ло цифр, равное сумме числа цифр после запятой в обо-
их сомножителях после выравнивания

0,00998 X 0,00980=0,.
Примеры для закрепления материала:
0,981X0,999=

1)  м=3, выравнивания не требуется,

2)  981X999=см. с. 38),

3)  0,981X0,999 = 0,
99,98X99,97=

1)  м=2,

2)  9998X9997=99 ,

3)  99,98X99,97=9995,0006.
1,003X1,0022=

1)  м = 4, 1,0030X1,0022 =

2) X10 022=см. с. 39),

3)  1,003X1,0022=1,.

0,00972=

1) м=4,

2)  972=9409 (см. с. 37),

3)  0,00972=0,.
Решите самостоятельно:

1) 1,09X0,998= 4) 99,95X99=

2) 0,00997X0,0099= 5) 0,102X0,099=

3) 0,0989Х0,0995= 6) 0,011X0,0098=

ответы для проверки: 1) 1,08782; 2) 0,;

3)0,;,05; 5) 0,010098; 6) 0,0001078.

умножение чисел, близких к 2*10п (т. е. к 20, 200,

2000 и т. д.). Чтобы перемножить два числа, близких к

2-10п (например, 198X196, где п=2), необходимо:

1) найти дополнение каждого из сомножителей до

2-10п

200—198 = 2,
200—196 = 4;

2) из одного из сомножителей вычесть дополнение
второго сомножителя до 2- 10п

198—4= 196—2= 194;

3) полученный результат умножить на 2

194X2 = 388;

4) найти произведение дополнений

2X4=8;

5) к произведению, полученному в пункте 3, приписы-
ваем произведение дополнений, следя за тем, чтобы это
произведение занимало п разрядов,

198X196=38 808.
При практическом счете нет надобности в таком мелком
дроблении операций и задача сводится к следующему:

199X197=
Записываем удвоенную разность одного из сомножителей
и дополнение второго сомножителя до 2-10п

(199—3)Х2 = 392.

К полученному числу приписываем произведение допол-
нений

199X197=39 203.
Для того чтобы можно было использовать все частные
случаи метода, описанные на с. 36—44, дадим строгую
общую формулировку.

Чтобы умножить два числа, близких к 2-10п (напри-
мер 199,99-200,1), необходимо:

1) если сомножители имеют десятичные знаки, вырав-
нять число десятичных знаков, в каждом числе дописав

нули в одном из сомножителей:

199,99X200,10

дальнейшие вычисления производим, не обращая вни-

мания на запятую);

2) находим дополнение каждого из сомножителей до
2- 10п

20 000—19 999 = 1,
20 000—20 010=—10;

3) из одного из сомножителей вычитаем дополнение
другого сомножителя до 2*10п

19 999—(—10) =20 009 или—1=20 009;

4) полученный результат умножаем на 2*10п

20 009X20 000=;

5) находим произведение дополнений

— 10X1=—10;

6) к результату, полученному в пункте 4, алгебраи-
чески прибавляем произведение дополнений

—10=;

7) в полученном результате (пункт 6) отделяем запя-
той число знаков, равное сумме числа знаков после за-
пятой в каждом из сомножителей (после выравнива-
ния), — см. пункт 1.

199,99X200,10=40017,9990.
В приводимых ниже примерах номера операций
соответствуют указанным выше, но, будем надеяться
вычисления будут ясны:
1988X1997=—3=1985,
1X2 = 3970,

3) 12X3 = 036 (записываем с учетом чис-
ла разрядов, которое должно занимать
произведение дополнений),

4) 1998X1997 = 3
2017X1998=—2=1998— (—17) =2015,
—1X200,

3)  (__ 17)Х2=___ 34

4)  2017X1998=4 —34 = 4 02996
Обоснование метода.

Пусть х=2*10п —ах, у = 2*10п —ау(ах и ау могут
быть Как положительными, так и отрицательными чис-
лами); тогда х*у= (2- 10п—ах) * (2- 10п—ау) =4*
*102п—2*10п*ах—2*10п *ау+ах*ау= (2*10п—ах—аУ)*2*
*10п+ах*ау.
Примеры для самостоятельного решения:

1)  209X211= 4) 0,021X0,0199 =

2)  179X199= 5) 0,19X0,19 =

3)  2011X1997= 6) 0,00201X0,00203=
Ответы для проверки:;;

4)  0,0004179; 5) 0,0361; 6) 0,.

40

Умножение чисел, близких к 5*10п (т. е. близких к
50, 500, 5000 и т. д.). Метод дополнений дает хорошие
результаты и при применении его для умножения чисел,
близких к 5*10п.

Для того чтобы получить произведение двух чисел,
близких к 5*10п (например, 48X47, где п= 1), необхо-
димо:

1) найти дополнение каждого из сомножителей до
5*10п (в конкретном случае до 50)

50—48 =-2,
50—47=3;

2) из одного из сомножителей вычесть дополнение
другого

48—3=47—2=45;

3) к полученному результату приписать столько ну-
лей, сколько цифр в каждом из сомножителей, и затем
полученное число поделить на 2

4500:2=2250.

Другая формулировка этого пункта: полученный резуль-
тат умножить на 10п+1 и поделить на 2

45*102:2=2250;
(или полученный результат умножить на 5*10п
45X50 = 2250);

4) найти произведение дополнений

2X3=6;

5) к полученному в пункте 3 результату алгебраиче-
ски прибавить произведение дополнений

48X47=2250+6=2256.

Рассмотрим данный метод на нескольких примерах:
499X496=
1) 500—499=1,
500-495=5,
2) 495—1=494,
3) :2 = ,
4) 5X1-5,

5) 499Х495=+5=

503X505=

1) 500-503= -3,

500-505= -5

2) 503-(-5)=-5,

3) :2 = ,
4) (-3)* (-5) = 15,
5) 503*505=+15=

47

501X498 =

1)  500—501 =—1,
500—498 = 2,

2)  501—2 = 499,

3)  :2 = ,

4) - 1*2 = - 2

5) 501X498 = —2 =
0,504X0,511 =

Умножая каждый сомножитель на 103,
сводим пример к виду 504X511.

1)  500—504 = —4,
500—511=—11,

2)  511 — (—4) =515,

3)  :2 = ,

4)  (- 4)*(- 11) =55,

5)  504X511=+55 = ,

6) 0,504X0,511=0,257555 (отделяем запятой 6 зна-I
ков, так как первоначально мы каждый из сомножи-
лей умножили на 1000, а все произведение увеличили в
1раз). После освоения метода можно рекомен-
довать следующий порядок вычислений. Для перемно-
жения чисел 58X57 необходимо:

1) разность одного из сомножителей и дополнение
второго сомножителя поделить на 2

58— (—7) : 2=65: 2 = 32,5

(запятая потребовалась только для того, чтобы при за-
писи не нарушилось формальное равенство);

2) к полученному равенству приписываем произведе-
ние дополнений (если это произведение положительно
помня, что оно должно занимать столько разряддов
сколько их в каждом сомножителе (в случае, если ре-
зультат вычислений пункта 1 число целое), или на 1 раз-
ряд меньше, если результат — число дробное. В послед-
нем случае может возникнуть необходимость произвевести
соответствующее сложение: