Техника счета (стр. 4 )

1) Пусть нам необходимо перемножить два числа
(10 а1+Ь1) и (10а2+62), причем а1=а2=а и Ь1+Ь2=10.

(10а+Ь1).(10а+Ь2) = 100а2+10а. Ь2+10а*Ь2
+Ь1.Ь2=100а2+10а(Ь1+Ь2)+Ь1.Ь2=100а2+

+10а*10+Ь1*Ь2=(а*а+а)*100+Ь1*Ь2.

2) Второй случай: перемножаем числа (10а1+Ь1) и

(10а2+Ь2), причем Ь1 = Ь2=6, а1+а2=10.

(10а1+Ь)-(10а2+Ь) = 100а1а2+10а1*Ь+

+ 10а2.Ь+Ь2=100а1а2+10Ь*(а1+а2)+Ь2=
= 100а1 • а2+1ОЬ • 10+Ь2= 100 (а1 • а2+Ь) +Ь2.

70

3) Третий случай: необходимо перемножить числа

(10а2 + Ь2) И (10а1 + Ь1) где а1 = Ь1 = С1 а2 + Ь2=10.

(10с+с) • (10а2+Ь2) = 100а2с+10са2+10СЬ2+
+сЬ2=100(са2+с)+с*Ь2.
В каждом из трех случаев мы получаем соотноше-
ния, выражающие в аналитической форме изложенное
выше правило.
Примеры для самостоятельного решения:

1)  84X86= 5) 44X37= 9) 27X87=

2)  63X67= 6) 66X64= 10) 19X99 =

3)  97X17= 7) 29X21= 11) 33X46 =

4)  54X54= 8) 33X37= 12) 77X73 =

Ответы для проверки:;;;;
5) 1628;;;;; ;
;

Умножение двух чисел с одинаковым числом десят - ков, сумма цифр единиц которых равна 10. Результаты
предыдущего раздела для этого случая можно сформу-
лировать несколько по-другому.

Чтобы перемножить два произвольных числа, разли-
чающихся только цифрами единиц, сумма которых со-
ставляет 10, надо записать произведение числа десят-
ков на следующее за ним натуральное число и приписать
справа число, представляющее собой произведение еди-
ниц сомножителей.

67X63= 1) 6X7=42, 24X26= 1) 2X3 = 6,

2) 7X3=21, 2) 4X6 = 24,

67X63=4221, 24X26 = 624.

Рассмотрение доказательства правильности этого
метода, приведенного на с. 70, показывает, что под а
можно понимать не только любую цифру, но и любое
натуральное число,—выводы остаются справедливыми:

134X136= 1) 13X14=182,
2) 4X6=24,

134X136=18224.

1625X1625=X163 =
2) 5X5=25

1625X1625 = 2

Хотя умножение этих трех - и четырехзначных чисел
не относится к устному счету, однако и при письменных
Счислениях с его помощью можно получить значитель-

71

ное упрощение в выкладках: перемножение трехзнач-
ных чисел сводится к перемножению чисел двузначных
перемножение четырехзначных чисел сводится к пере-
множению трехзначных чисел и т. д.
Примеры для самостоятельного решения:

1) 1981X1989= (для умножения 198X199 использо-

вать метод дополнений — пункт 6 этой
главы)

2)  81X89= 4) 0,997X0,993 =

3)  99X91= 5) 59X51 =

Ответы для проверки:;;

4) 0,;

Обычно это правило знают для еще более частного слу-
чая.

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся
на 5, надо число десятков умножить на следующее за
ним натуральное число и приписать справа 25:

35X35= 1) 3X4=12,

2) 35X35=1225.
65X65= 1) 6X7 = 42,

2) 65X65=4225.
Решите самостоятельно:

1)  95X95= 3) 45X45 =

2)  15X15= 4) 75X75=

Ответы для проверки:;;;

11. УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ С РАВНЫМ ЧИСЛОМ ДЕСЯТКОВ

ИЛИ С РАВНЫМ ЧИСЛОМ ЕДИНИЦ, ИЛИ НА ЧИСЛО,

СОСТОЯЩЕЕ ИЗ ОДИНАКОВЫХ ЦИФР

Общая формулировка метода. Чтобы перемножить
два двузначных числа, у которых одинаково число де-
сятков

53

X 59

или одинаково число единиц

68

X 58

или один из сомножителей состоит из одинаковых цифр

44

X
32

необходимо:

1) перемножить цифры десятков сомножителей. Ре-
зультат дает сотни окончательного ответа результата:

для 1-го примера 5X5=25;
для 2-го примера 6X5=30;
для 3-го примера 4X3=12;

2) перемножить сумму различных цифр на общую
цифру. Результат дает десятки окончательного резуль-
тата:

для 1-го примера (9+3)Х5=60;
для 2-го примера (6+5)Х8=88;
для 3-го примера (3+2)Х4=20;

3) произведение единиц сомножителей дает единица
окончательного результата:

для 1-го примера 3X9 = 27;
для 2-го примера 8X8=64;
для 3-го примера 2X4 = 08;

4) окончательный результат находим соответствую-
щим суммированием:

для 1-го примера 53X59=2500+600+27 = 3127;
для 2-го примера 68X58 = 3000+880+64 = 3944;
для 3-го примера 44X32=1200+200+08=1408.

На практике метод применяется следующим образом.
Пусть необходимо умножить 64X67:

1) находим произведение единиц сомножителей—оно
дает единицы окончательного результата (если произ-
ведение двузначное — число десятков запоминаем)

4X7=28,
64X67=... 28;

2) сумму различных цифр умножаем на общую циф-
ру. Получаем десятки окончательного результата. При

записи учитываем запомненное число десятков, если

Такое было,

(4 + 7)Х6 = 66,
66+2 = 68,
64X67=;

3) перемножаем цифры десятков сомножителей и за-
вершаем вычисление

6X6=36,

73

36+6=42,
64+67=4288.

Несколько примеров на применение метода:

23X26=

1)  3X6=18,

2)  (3+6)Х2=18,

3)  2X2 = 4,

23X26=... 18,

18+1 = 19, 23X26=.. .198

4+1 = 5, 23X26 = 598.

61X67 =

1)  7X1-7,

2)  (7+1)Х6 = 48,

3)  6X6 = 36, 36+4 = 40,

67X37 =

1)  7X7 = 49,

2)  (6+3)Х7 = 63,

3)  6X3=18, 18+6=24,

61X67= ...7,
61X67=,
61X67=4087.

67X37=...49,

63+4 = 67, 67X37=...679,

67X37=2479.

83X63 =

1) 3X3=9,

2)  (8+6)ХЗ = 42,

3)  8X6=48,

33X84=

1)  3X4=12,

2)  (8+4)ХЗ = 36,

3)  3X8=24,

83X63= ...9,
83X63 =...429,
48+4=52, 83X63 = 5229.

33X84 =...!2,

36+1=37, 33X84 =...372,

24+3 = 27, 33X84 = 2772.

88X19 =

1)  8X9 = 72,

2)  (1+9)Х8 = 80,

3)  8X1 = 8,

88X19= ...72,

80+7 = 87, 88X19=

8+8=16, 88X19=1672.

Правильность метода следует из правильности следую-
щих равенств:

а) (10а+Ь)Х(10а+с) = 100а2+10а(Ь+с)+Ьс,

б) (10а+Ь)Х(10с+Ь) = 100ас+10Ь(Ь+с)+Ь2,

в) (10а+а)Х(10Ь+с) = 100аЬ + 10а(Ь+с)+ас,

которые доказываются непосредственной проверкой.
Примеры для самостоятельного решения:

74

1)  69X65= 4) 58X56= 7) 42X45=

2)  37X47= 5) 26X76= 8) 23X93=

3)  55X64= 6) 33X89= 9) 66X73=

Ответы для проверки:;;;;
5) 1976;;;;

Умножение двузначных чисел в случаях, когда оба
числа начинаются (53X51) или оканчиваются (45X85)
цифрой пять или когда одно из чисел состоит из одних
пятерок (55X97), подчиняется следующему правилу:
к сумме, полученной от сложения произведения цифр
десятков обоих чисел и полусуммы «не пятерок», необ-
ходимо приписать произведение единиц сомножителей,
которое занимает 2 разряда: 53X51 =

1) находим произведение десятков

5X5=25;

2) находим полусумму «не пятерок»

(3+1):2=2;

3) складываем первые два результата

25+2 = 27;

4) находим произведение единиц сомножителей

3X1 = 3;

5) найденное произведение приписываем к результа-
ту, полученному в пункте 3,

53X51=2703.
Аналогично поступаем в двух других случаях:
45X85=

1)  4X8=32,

2)  (4+8):2 = 6,

3)  32+6=38,

4)  5X5 = 25,

5)  45X85=3825,
55X97 =

1)  5X9=45,

2)  (9+7):2 = 8,

3)  45+8 = 53,

4)  7X5=35,

5)  55X97=5335.

При использовании данного метода можно столк-
нуться со случаем, когда полусумма «не пятерок» пред-
ставляет собой дробь:
69Х55 =

1)  6X5=30,

2)  (6+9):2 = 7,5.

75

В этом случае к первому результату прибавляем
часть полусуммы

3)  30+7=37,

4)  5X9 = 45,

приписываем произведение единиц, увеличенное

69X55=3795.

Примеры на применение метода:
56X54=

1)  5X5=25,

2)  (6+4):2=5,

3)  25+5=30,

4)  6X4 = 24,

5)  56X54=3024.
75X15=

1)  7X1 = 7,

2)  (7+1):2=4,

3)  7+4=11,

4)  5X5 = 25,

5)  75X15=1125.
57X52=

1)  5X5=25,

2)  (7+2): 2 = 4,5,

3)  25+4 = 29,

4)  7X2=14, 14+50 = 64,

5)  57X52 = 2964.
68X55=

1)  6X5=30,

2)  (6+8):2=7,

3)  30+7 = 37,

4)  5X8 = 40,

5)  68X55=3740.

35X65= '

1)  3X6=18,

2)  (3+6):2=4,5,

3)  18+4=22,

4)  5X5=25, 25+50 = 75,

5)  35X65=2275.
74X55=

1)  7X5=35,

2)  (7+4):2=5,5,

3)  35+5 = 40,

4)  4X5 = 20, 20+50=70,

5)  74X55 = 4070.

Обоснованность метода следует из тождеств

1)  (50 + а)*(50+ Ь)= (25 ±(а+Ь):2)* 100 + аЬ;

2)  (10а+ 5)* (10*Ь+ 5)=(аЬ + (а+Ь):2)*100 + 25;

3)  (10а + Ь)* 5 = (5а + (а+Ь):2)* 100 + 5Ь,

правильность которых доказывается раскрытием скобок.
примеры для самостоятельного решения:

1) 53X59= 3) 65X75= 5) 85X45= 7) 48X55 =

2) 54X54= 4) 95X25= 6) 57X57= 8) 55X39 =
Ответы для проверки:;;;;
5) 3825;;;

12. НАХОЖДЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ВИДА (а+Ь)(а—Ь)

В данном случае речь идет об использовании хорошо
известной формулы

(а+Ь)-(а—Ь)=а2—Ъ2.
Применение данной формулы очень часто дает боль-
шую экономию в вычислениях, но пользуются ею неоп-
равданно редко, так как далеко не всегда удается с пер-
вого взгляда определить, что именно в данном случае
она подходит. Поэтому здесь достаточно внимательно
досмотреть приводимые примеры и запомнить стандарт-
ные случаи применения этой формулы:

69X71 = (70+1)-(70— 1) =4900—1=4899;
111Х89= (100+11) • (100—11) =—121=9879;
66X64= (65+1) • (65—1) =4225—1 =4224
(умножение 65X65 см. п. 10).

13. УМНОЖЕНИЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ, ОКАНЧИВАЮЩИХСЯ НА 1

Чтобы умножить два числа, оканчивающихся на 1
41Х31), необходимо:
1) в разряд единиц произведения записать 1:
41X31=...1;
2) в разряд десятков произведения записать сумму
десятков чисел

4+7 = 7, 41X31=...71,
если сумма — число двузначное, то в произведение за-
писываем единицы суммы, а десятки запоминаем;

77

3) найти произведение десятков и закончить вычи-

ления

4X3=12, 41X31 = 1271.
Несколько примеров на использование метода:

71X61 =

1)  71X61=..Л,

2)  6+7=13, 71X61= ... !31,

3)  6X7 = 42, 42+1=43,71X61=4331.

21X51 = 91X91 =

4)  21X51= ...1,

5)  2+5=7, 21X51=... 71

6)  2Х5=Ю, 21X51 = 1071.

1) 91X91= ...1,

2 9+9=18, 91X91 =...!81,

3) 9X9=81 81 + 1 = 82, 91X91=8281.
Справедливость приема непосредственно вытекает из
рассмотрения равенства

(10а+1) X (10Ь + 1) = 100а6+10(а+Ь) + 1.
Примеры для самостоятельного решения:

1)  41X21= 3) 81X41= 5) 21X21 =

2)  71X91= 4) 51X51= 6) 61X61 =
Ответы для проверки:;;;;
5) 441;

14. УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ, ЗАКЛЮЧЕННЫХ МЕЖДУ 10 И 20

Чтобы умножить два числа, заключенных между 10
иX14), используем формулу

(10+а) (10+Ь) = 100+10(а+Ь)+аЬ,

говорящую о том, что

1) к одному из сомножителей надо прибавить едини-
цы вторбго сомножителя и сумму умножить на 10

(18+4)Х10 = 220;

2) к полученному результату прибавить произведе-

ние единиц

(8X4) =32,
18X14=220+32 = 252.
Примеры на применение метода:

17X13=

1)  (17+3)Х10 = 200,

2)  3X7=21,

3)  17X13=221.

78

18*18

1) (18+8)Х10=260,

2)  8X8=64,

3)  18X18=324.

Этот же метод можно применять и в другой трактов-
ке: чтобы умножить два числа, заключенные между 10
иX13), необходимо:

1) перемножить числа единиц сомножителей

9X3 = 27,
число единиц произведения записываем в окончатель-
ный результат

19X13= ...27,
число десятков запоминаем;

2) складываем числа единиц

9+3=12.
Прибавляем к полученному числу запомненное число и
число 10

12+2+10=24.
Записываем полученное число перед записанной ранее
цифрой.
Вычисления закончены:

19X13=247.
Два примера на употребление метода в последней трак-
товке
16X16= 1) 6X6=36,

16Х16=...36,
2) 6+6+3+10=25,
16X16=256.
17X15= 1) 7X5=35,

17Х15=...35,
2) 5+7+3+10=25,

17X15=255.
Примеры для самостоятельного решения:
1) 19X19= 3) 13X16= 5) 15X19=

2) 14X18= 4) 17X17= 6) 16X12 =

Ответы для проверки:;;;;;

6)192.

15. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ НА ЧИСЛО, БЛИЗКОЕ К 10п

(метод дополнений)

Обычная процедура деления многозначного числа на
число близкое к 10п (например :98, где п=2)
достаточно громоздка. Ее можно существенно упростить,

79

использовав метод дополнений, который отлично зареко,
мендовал себя при нахождении произведений.

Итак, чтобы разделить многозначное число (354.21 и
на число, близкое к 10п (98; в этом случае п = 2), необхо-
димо:

1) от делимого с правой стороны отделить верти,
кальной чертой п цифр (в нашем примере д=2)

3542| И;

2) найти дополнение делителя до 10п

100—98 = 2;

3) число, стоящее с левой стороны от вертикальной
черты, умножаем на дополнение делителя до 10п

3542X2 = 7084;

4) подписываем полученное число под делимым, сле-
дя за тем, чтобы единицы были под единицами, десятки
под десятками и т. д.,

3542	11
70	84
1	40
	2
1	37
	2
	39

7) если итоговая сумма размещается правее черты,
то складываем все числа, стоящие левее вертикальной
черты,

3542	11
70	84
1	40
	2
1	37
	2
3614	39

Эта сумма дает нам окончательное значение частного.
Число, стоящее правее черты, остаток:

:98 = 3614(39/98)

Поясним данный метод несколькими примерами:

В данном случае остаток получается больше делителя
Не представляет труда произвести необходимые поправ-
ки в окончательном результате:

: 97=2816(98/97)=2817(1/97)

Для закрепления навыка решите самостоятельно не-
сколько примеров:

1)  :995=:98=:999^

2)  :9997=:91=:9998^
Ответы для проверки;/955);/9997) ;

3)2393(60/98);4)7195(47/91);5)660(1/999)6)34(9346/9998)

16. ДЕЛЕНИЕ НА ЧИСЛО, БЛИЗКОЕ К «КРУГЛОМУ»

Предположим, что нам необходимо выполнить дел-
ние

45 938:97=

Делим число на ближайшее круглое число делителя (в
нашем случае 100), внося необходимые поправки. Запись
будем вести очень подробную, которую при практиче-
ском вычислении, конечно, делать не стоит.

45 938197(100)
400 ] 4...
59

Процедура продолжается по описанной схеме: 82

Первая цифра частного 4. Остаток 59. К остатку прибав- ,
ляем произведение первой цифры частного (4) на допол-|
нение числа до —97=3). Сносим следующий
знак делимого (3)

При практическом использовании метода запись делают
более лаконичной. Для вышеприведенного примера

Обратите внимание на то, чтобы не ошибиться при оп-
ределении остатка: в конце делим 348 на 100, получаем
остаток 48, но к нему необходимо еще прибавить произ-
ведение последней цифры частного (3) на дополнение
делителя до круглого числа (3)

48+9=57.

Рассмотрим несколько примеров на использование ме-
тода.

Найти 245423 : 68= —ближайшее «круглое» чи-

сло 70. дополнение 2.

83

— получили остаток больше делителя. Ви
сим поправку: увеличиваем частное ° *
единицу, из остатка вычитаем 68.

— опять приходится вносить поправку.

Окончательный результат :68=3609 остаток 11,
Такого рода поправки бывают достаточно редко. В
случаях их возникновения можно выйти из тупика так,
как описано выше, а можно и по-другому:

получили остаток больше делителя. Прибавляем к по-
следней цифре частного единицу. Умножаем получившу-
юся цифру на дополнение (6X2=12), прибавляем про-
изведение не к остатку, а к числу, получающемуся на
шаг раньше:

После чего продолжаем вычисления по приведенной схе
ме. Первый способ внесения поправок, по-видимому, б1
лее удачен, так как меньше требует исправлений, мей
ше «грязи».

Найти частное : 39 =

84

— ближайшее круглое число 40,
дополнение 1.

39

Вычислите самостоятельно:

1) : 28=: 67=: 55=
2):66=:98=:96 =
Ответы для проверки:

1) 12837(1/28)2)9/66)3)7162(37/67);4)8717(81/87);

5) 11898(33//96)

17. ДЕЛЕНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УМНОЖЕНИЯ

(ИЛИ ДЕЛЕНИЯ) ДЕЛИМОГО И ДЕЛИТЕЛЯ

НА ОДНО И ТО ЖЕ ЧИСЛО

Как известно, умножение делимого и делителя на
один и тот же множитель не приводит к изменению ко-
нечного результата. Это иногда целесообразно использо-
вать для упрощения вычислительного процесса.

Допустим, нам необходимо разделить
435:15=

устно выполнить деление затруднительно, но если мы
Задаемся умножить делимое и делитель на 2
870:30=

то результат без труда найдем устно
870:30=29.

86

Аналогично можно иногда выполнять деление не сразу

на все число, а только на один из множителей. При необ-

ходимости выполнить вычисление

168:24 =

замечаем, что делимое и делитель можно разделить на 4

Получим

42:6=7.

Несколько примеров для закрепления приема:

336:42= 56:7= 8, 665:35=1330:70=19,

351 : 27= 117 : 9= 13, 765 : 45=1530 : 90== 17.

Глава III

МЕТОДЫ, ПОЗВОЛЯЮЩИЕ УПРОСТИТЬ

ВОЗВЕДЕНИЕ ЧИСЛА В СТЕПЕНЬ

И ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ ЧИСЛА КОРНЯ

п -Й СТЕПЕНИ

озведение числа в квадрат эквивалентно
умножению числа на то же число. Поэтому
подавляющее большинство методов, упрощающих нахож-
дение произведения, применимо и при нахождении квад-
рата числа. Например, метод возведения в квадрат чи-
сел, близких к 1000, например 997X997, с исчерпываю-
щей полнотой изложен в пункте 6 гл. II, где дается
описание метода дополнений.

Некоторые специфические способы упрощенного воз-
ведения числа в квадрат, тесно связанные или вытекаю-
щие из методов сокращенного умножения, также даны
при описании соответствующего метода в гл. II. Напри-
мер, возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на
5, описано в пункте 10, так как является следствием бо-
лее общего способа умножения чисел, у которых число
десятков равно, а сумма единиц сомножителей состав-
ляет 10.

1. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ЦЕЛОГО ЧИСЛА а,

ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН КВАДРАТ ПРЕДЫДУЩЕГО (а-1)

ИЛИ ПОСЛЕДУЮЩЕГО (а+1) НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА

Если известен (или легко вычислим) квадрат одного
из соседних натуральных чисел, то целесообразно вос-
пользоваться одной из следующих формул:
Для случая, когда известен квадрат предыдущего
числа

(а+1)2=а2+2а+1
или эквивалентная, но иногда более легкоприменимая
формула

(а + 1)2 = а2+а+(а+1),

говорящая о том, что для нахождения квадрата числа

(а+1) надо прибавить это число к квадрату предыду-
щего числа и к полученной сумме прибавить предыд^
щее число.

Аналогичны формулы для нахождения квадрата чис-
ла, если известен квадрат последующего натурального
числа:

а2=(а+1)2—2а—1 или
а2=(а+1)2—(а+1)—а.
Примеры на применение метода:
212 = 202+20+21=441,
192=202—20—19 = 361,
362 = 352+35+36= 1225+71 = 1296,
342=352—35—34= 1225—69= 1156.

(Квадрат 35 легко вычислим, смотри пункт 10
гл. II.) Примеры для самостоятельного решения:

1)  462===

2)  442===
Ответы для проверки:;;;;
5) 5041;

2 ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ЦЕЛОГО ЧИСЛА а

ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО ИЗВЕСТЕН КВАДРАТ

ЧИСЛА (а-2) ИЛИ ЧИСЛА (а+2)

Для того чтобы найти квадрат числа а, если известен
или легко вычислим квадрат числа (а+2), необходимо
из числа (а+2)2 вычесть сумму чисел а+(а+2), умно-
женную на 2. Например, 382=402— (38+40) -2= 1600-
— 156=1444.

Для того чтобы найти квадрат числа а, если известен
или легко вычислим квадрат числа (а—2), необходимо
к числу (а—2)2 прибавить удвоенную сумму чисел я }]
(а—2).

Например, 422=402+(40+42) -2= 1600+164== 1764.
Примеры, иллюстрирующие описанный прием:
522=2500+(50+52) Х2 = 2704,
482=2500—(48+50) Х2 = 2304,
572=3025+(55 + 57) Х2 = 3249,
532=3025—(53 + 55) Х2 = 2809.
Попробуйте решить самостоятельно:

1)  622===

2)  582=== _
Ответы для проверки:;;;
5) 2209;

88

3. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ЧИСЕЛ, ОКАНЧИВАЮЩИХСЯ НА 25 И 75

Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 25.

Для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 25
(например, 325X325), необходимо:

1)  к квадрату числа сотен (3X3) прибавить полови-
ну числа сотен 9+1,5=10,5;

2)  результат, полученный в пункте 1, умножить на 10
10,5X10=105;

3)  к полученному произведению приписать 625

325X325=
Несколько примеров на применение метода:
325X625=1) 36+3=39,

2)  39X10=390,

3)  625X625=
1525X1525=1) 152+7,5=232,5,

2)232,5X10=2325,
3) 1525X1525=2
Обоснование метода.

Необходимо умножить (а*100+25) на (а*100+25).
(а*100+25) X (а*100+25) = (а2+0,5*а) X 10 X 1000+
+625= (а-100)2+2* (а*100) *25+252= (а*100+25)2.

Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 75. Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся на 75
(например, 9752), необходимо:

1) к числу сотен (9) приписать 5 (95) и полученное
число умножить на число сотен, увеличенное на 1 (9+1),

95X10=950;

2) к полученному числу приписать 625

975X975 =
Проиллюстрируем прием несколькими примерами.
575X375= 1) 35X4=140,
2) 375X375=

475X475= 1) 45X5 = 225,
2) 475X475 =

3375Х3375=X34 = 11390,

2) 3375X3375=11
В последнем примере вычисление выполняется пись-

89

менно, но умножение двух четырехзначных чисел свелось
к умножению трехзначного числа на двузначное.
Обоснование метода.

Необходимо найти квадрат числа (а-100+75), где
а — произвольное натуральное число.

(а* 100+75)2= (а*10+5) * (а+1)*1000+625=
= (10а2+15а+5) * 1000+625= (100а)2+2* 100а* 75+
+5625=(100а+75)2.
Примеры для самостоятельного решения:

1) 675Х 675=X2275=X8375=

2)  1375X1375=Х 775=X1175=
Ответы для проверки:;

3)  5;;;

4. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ, ОКАНЧИВАЮЩИХСЯ НА 5

В гл. II пункт 10 приводится общее правило возведе-
ния в квадрат чисел вида (а*10 + 5). Алгоритм получения
результата следующий:

1)  находим произведение а*(а+1);

2)  к полученному результату приписываем 25.
Например, 75X75= 1) 7X8=56,

2) 75X75=5625.
При нахождении квадрата трехзначных чисел, со-
гласно этому правилу, необходимо находить произведе-
ние двузначных чисел на двузначные, что затруднительно
выполнять устно. Например,

325X325= 1) 32X33=1056,

2) 325X325=
Для возведения в квадрат трехзначных чисел можно
предложить метод, упрощающий еще больше вычисли-
тельный процесс:

415X415=

1) число, образованное цифрами десятков и единиц,
делим на 5

15:5=3;

2) к числу сотен (4) приписываем результат деления
(3) и полученное число умножаем на число сотен

43X4=172;

3) к результату, полученному в предыдущем пункте,
приписываем квадрат числа, образованного цифрами
десятков и единиц,

415X415=

90

(возводить в квадрат двузначные числа, оканчивающие-
ся на 5, мы уже умеем — см. гл. II, пункт 10).

При приписывании результата возведения в квадрат
чиссла, образованного двумя последними цифрами, необ-
ходимо помнить, что для этого произведения в окончатель-
ном результате отводится три знака. Если в произведении
получается четыре знака, то три последних знака при-
писываются, а старший знак складывается с последней
цифрой результата вычисления пункта 2:

245X245= I) 45:5 = 9,

2)  29X2=58,

3)  45X45=2025,

4)  245X245=60 025.
435X435= 1) 35:5=7,

2)  47X4=188,

3)  35X35=1225,

4)  435X435=

Нетрудно сообразить, как надо реагировать, если в ре-
зультате вычисления частного от деления числа, обра-
зованного двумя последними цифрами на 5, получится
двузначное число:

375X375= 1) 75:5=15,

2)  45X3=135,

3)  75X75=5625,

4) 375X375=
665X665= 1) 65:5=13,

2)  73X6 = 438,

3)  65X65=4225,

4)  665X665=

Обоснование метода.

Возводим в квадрат число а*100+Ь*10+5.

(а*100+Ь*10+5)2= [а*10+ (Ь*10+5) : 5] *а*1000+
+ (Ь*10+5)2= (а*100)2+ (Ь*10+5) * (а*100)*2+
+ (6*10+5)2= (а*100+Ь*10+5)2.

Несколько примеров для самостоятельного решения:

1)  395X395=X445=X115=

2)  225X225=X285=X905=

Ответы для проверки:;;;
4) 81225;;

91

5. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ЧИСЕЛ ВИДА 50±а
(или в общем виде чисел вида 5*10п±а)

Описывая прием возведения в квадрат чисел вида
50+а, будем иллюстрировать вычислительный процесс
на двух примерах — нахождении 592 и 472.

Для возведения в квадрат числа, близкого к 50,
592= 472=

необходимо:

1) из числа, возводимого в квадрат, вычесть 25

59 — 25 = 34, 47 — 25 = 22,

полученный результат дает сотни окончательного резуль-
тата

592 = 34= 22...

2) найти дополнение числа, возводимого в квадрат,
до 50 и возвести это дополнение в квадрат:

50 — 59 = (—9); 50 — 47 = 3;

(—9)2 = 81, 32 = 9.

3) к результату, полученному в пункте 1, приписать
результат, полученный в пункте 2, помня, что для при - I
писывания результата отводятся 2 разряда:

592 = 3481, 472 = 2209.

Во втором примере квадрат дополнения — однозначное
число, поэтому необходимо приписать 09.

Строго говоря, в данном методе необходимо не при-
писать квадрат дополнения, а прибавить квадрат допол-
нения к числу сотен, полученному в пункте 1, т. е.
3