Системы счисления, формы представления информации на ЭВМ (стр. 1 )

Лабораторная работа №1

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.

ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ НА ЭВМ.

Цель работы:

1.  Изучить позиционные и непозиционные системы счисления, а также формы представления информации на ЭВМ.

2.  Получить навыки определения количества информации в конкретном сообщении; преобразования чисел из одной системы счисления в другую, а также выполнения основных математических операций с числами в различных системах счисления.

Задание:

1.  Подробно изучить методические указания и рекомендованную литературу.

2.  Выполнить задания, согласно полученному варианту.

Методические указания

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (слова или знаки), называемые базисными числами, а все остальные числа получаются в результате каких-либо операций из базисных чисел данной системы исчисления. Символы, используемые для записи чисел, могут быть любыми, только они должны быть разными и значение каждого из них должно быть известно. В современном мире наиболее распространенным является представление чисел посредством арабских цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – специальных знаков, используемых для записи чисел. Системы счисления различаются выбором базисных чисел и правилами образования из них остальных чисел. Например, в римской системе счисления базисными являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, которые обозначаются знаками I, V, X, L, С, D, М, а другие получаются путем сложения и вычитания базисных.

Позиционные и непозиционные системы счисления

Для изображения (или представления) чисел в настоящее время используются в основном позиционные системы счисления. Привычной для всех является десятичная система счисления. В этой системе для записи любых чисел используется только десять разных знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры введены для обозначения первых десяти последовательных чисел, а следующее число 10 и т. д. обозначается уже без использования новых цифр. Однако введением этого обозначения сделан важный шаг в построении системы счисления: значение каждой цифры поставлено в зависимость от того места (позиции), где она стоит в изображении числа.

Таким образом, система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Первая известная система, основанная на позиционном принципе – шестидесятeричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим – десятки. Следы вавилонской системы сохранились до наших дней в способах измерения и записи величин углов и промежутков времени.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:

II	VV	XX	LL	CC	DD	MM
11	55	110	550	1100	5500	11000

Например, VI = 5 + 1 = 6, а IX = 10 – 1 = 9.

В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Большая цифра соответствует большему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 < 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Далее будут рассматриваться только позиционные системы счисления.

Число К единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления, а сама система счисления называется К-ичной. Например, основанием десятичной системы счисления является число 10; двоичной – число 2; восьмеричной – число 8 и т. д.

Запись произвольного числа X в К-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде полинома (аналитическая функция, степенной многочлен):

(1)

где каждый коэффициент а, может быть одним из базисных чисел и изображается одной цифрой.

Например, число 10 –ной системы счисления 173,65, представленное в виде полинома (1), будет иметь вид

.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими полиномами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые имеют место при данном основании К системы счисления.

Для указания того, в какой системе счисления записано число, основание системы счисления изображается в виде нижнего индекса при нем, например, 173,6510.

Таблица 1

Двоичная система счисления

В ЭВМ используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими:

·  для ее реализации используются технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток – нет тока, намагничен – ненамагничен);

·  представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

·  возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

·  двоичная арифметика проще десятичной (двоичные таблицы сложения и умножения предельно просты).

Двоичная система счисления это система счисления с наименьшим возможным основанием. В ней для изображения числа используются только две цифры: 0 и 1, называемые двоичными (binary digits). Сокращение этого наименования привело к появлению термина бит (bit), ставшего названием разряда двоичного числа. Если какой-либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом. Запись числа в двоичном виде намного длиннее записи в десятичной системе счисления.

Произвольное число X в двоичной системе представляется в виде полинома (1):

,

где каждый коэффициент а, может быть либо 0, либо 1.

Примеры изображения чисел в двоичной системе счисления (см. табл.1).

Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиняются тем же правилам, что и в десятичной системе. Только в двоичной системе перенос единиц в старший разряд возникает чаще, чем в десятичной. Вот как выглядит таблица сложения в двоичной системе:

0 + 0 = 0	0 + 1 = 1
1 + 0 = 1	1 + 1 = 0 (перенос 1 в старший разряд)

Таблица умножения для двоичных чисел:

0 * 0 = 0

0 * 1 = 0

1 * 0 = 0

1 * 1 = 1

Рассмотрим на примерах основные арифметические действия с двоичными числами.

Пример 1.

1.1. Найти сумму чисел 1001012 и 10102.

Решение. Согласно таблице сложения двоичных чисел: .

1.2. Найти сумму чисел 10012 и 10112.

Решение. Согласно таблице сложения двоичных чисел:.

Пример 2.

2.1. Найти произведение чисел 1001012 и 1012.

Решение.

Согласно таблице умножения и сложения двоичных чисел:

К недостаткам двоичной системы счисления можно отнести громоздкость записи чисел. Например, число 5671010 в двоичной системе счисления записывается как . Кроме того, естественные возможности человеческого мышления не позволяют оценить быстро и точно величину числа, представленного, например, комбинацией из 16 нулей и единиц.

Для облегчения восприятия двоичного числа было решено разбивать его на группы разрядов, например, по три или четыре разряда. Эта идея оказалась очень удачной, так как последовательность из трех бит имеет 8 комбинаций, а последовательность из 4 бит – 16. Числа 8 и 16 являются степенями двойки, поэтому легко находить соответствие с двоичными числами. Развивая эту идею, пришли к выводу, что группы разрядов можно закодировать, сократив при этом длину последовательности знаков. Для кодировки трех битов требуется восемь цифр, поэтому взяли цифры от 0 до 7 десятичной системы. Для кодировки же четырех битов необходимо шестнадцать знаков; для этого взяли 10 цифр десятичной системы и 6 букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Полученные системы, имеющие основания 8 и 16, назвали соответственно восьмеричной и шестнадцатеричной.

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной (octal) системе счисления используются восемь базисных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание системы – 8. При записи отрицательных чисел перед последовательностью цифр ставят знак минус. Сложение, вычитание, умножение и деление чисел, представленных в восьмеричной системе, выполняются подобно тому, как это делают в десятичной системе счисления.

Запись любого числа в этой системе основывается на его разложении по степеням числа 8 с коэффициентами, являющимися указанными выше базисными числами.

Например, десятичное число 180,510 в восьмеричной системе будет изображаться в виде 264,48. Если записать данное число в виде полинома (1), то получим

.

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной (hexadecimal) системе счисления базисными являются числа от 0 до 9 и шесть первых букв латинского алфавита A, B, C, D, E, F, соответствующих числам 10, 11, 12, 13, 14, 15. При записи отрицательных чисел слева от последовательности цифр ставят знак минус.

Например, десятичное число 289810 в шестнадцатеричной системе будет записываться в виде В52. Действительно, с учетом того, что В=11:

Шестнадцатеричная система счисления широко используется при задании различных оттенков цвета при кодировании графической информации (так называемая модель RGB).

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ

При решении задач с помощью ЭВМ исходные данные обычно задаются в десятичной системе счисления; в этой же системе, как правило, нужно получить и окончательные результаты. Так как в современных ЭВМ данные кодируются в основном в двоичных кодах, то, в частности, возникает необходимость перевода чисел из десятичной в двоичную систему счисления и наоборот. Рассмотрим перевод чисел из одной системы счисления в другую на примерах.

Пример 3.

3.1. Преобразуйте число 56710 из десятичной в двоичную систему.

Решение.

Имеется два способа преобразования десятичных чисел в двоичную систему счисления.

1-й способ. Определяется максимальная степень двойки, такая, чтобы 2 в этой степени было меньше или равно исходному числу. В нашем случае это 9, т. к. 29=512, а 210=1024, что больше начального числа (1024>567). Таким образом, получают число разрядов результата. Оно равно 9+1=10. Поэтому результат будет иметь вид 1ххххххххх, где вместо х могут стоять любые двоичные цифры (0 или 1). Найдем вторую цифру результата. Возведем 2 в степень 9 и вычтем из исходного числа: 567-29=55. Остаток сравним с числом 28=256. Так как 256 > 55, то девятый разряд будет нулем, т. е. результат примет вид 10хххххххх. Рассмотрим восьмой разряд. Так как 27=128 > 55, то и он будет нулевым. Седьмой разряд также оказывается нулевым. Искомая двоичная запись числа принимает вид 1000хххххх. 25=32 < 55, поэтому шестой разряд равен 1 (результат 10001ххххх). Для остатка=23 справедливо неравенство 24=16<23, что означает равенство единице пятого разряда. Действуя аналогично, в результате получается число . Число 56710 было разложено по степеням двойки:

567=1*29+0*28+0*27+0*26+1*25+1*24+0*23+1*22 +1*21+1*20

2-й способ. При этом способе перевода чисел используется операция деления в столбик. Разделив число 567 на 2, получим частное 283 и остаток 1. Проведем ту же самую операцию с числом 283. Получим частное 141, остаток 1. Опять делим полученное частное на 2, и так до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Теперь для того, чтобы получить число в двоичной системе счисления, достаточно записать последнее частное, то есть 1, и приписать к нему в обратном порядке все полученные в процессе деления остатки.

Результатом является число , что соответствует полученному 1-м способом числу.

Приведенные два способа равнозначны и применимы при переводе числа из десятичной системы в систему с любым основанием.

3.2. Преобразуйте число в систему счисления с основанием 16.

Решение.

По 2-му способу.

Будем последовательно делить число в столбик на 16. Процесс деления заканчивается, когда частное становится строго меньше 16.

С учетом замены числа 10 на A, числа 11 на B получим результат в виде А683В.

3.3. Преобразуйте число 4A3F в систему счисления с основанием 10.

Решение.

Для записи числа 4A3F в десятичной системе счисления воспользуемся полиномом (1).

.

Заменив A на 10, а F на 15, получим .

Для перевода целых чисел из двоичной системы в системы с основанием, равным степеням двойки (8=23 и 16=24), нужно:

1.  данное двоичное число разбить справа налево на группы по n-цифр в каждой (для восьмеричной системы n=3, для шестнадцатеричной n=4);

2.  если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то дополнить ее нулями до нужного числа разрядов;

3.  рассмотреть каждую группу, как n-разрядное двоичное число, и заменить ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием 2n.

Двоично-шестнадцатеричная таблица

2-ная	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
16-ная	0	1	2	3	4	5	6	7
2-ная	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
16-ная	8	9	A	B	C	D	E	F

Двоично-восьмеричная таблица

2-ная	000	001	010	011	100	101	110	111
8-ная	0	1	2	3	4	5	6	7

Пример 4.

4.1. Преобразуйте число в число восьмеричной системы счисления.

Решение.

1. Разобьем число справа налево на группы по 3-цифры в каждой (так как 8=23)

10

2. Так как в последней левой группе оказалось меньше 3 разрядов, то дополним ее нулями до нужного числа разрядов

3. Воспользуемся двоично-восьмеричной таблицей и заменим каждую группу двоичных чисел на соответствующие восьмеричные

225.

Двоичное число в восьмеричной системе счисления имеет вид 225.

4.2. Преобразуйте число в число шестнадцатеричной системы счисления.

Решение.

1. Разобьем число справа налево на группы по 4-цифры в каждой (так как 16=24)

11 0

2. Так как в последней левой группе оказалось меньше 4 разрядов, то дополним ее нулями до нужного числа разрядов

0

3. Воспользуемся двоично-шестнадцатеричной таблицей и заменим каждую группу двоичных чисел на соответствующие шестнадцатеричные

355.

Двоичное число в шестнадцатеричной системе счисления имеет вид 355.

ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ

Единица измерения информации называется бит (bit) – сокращение от английских слов binary digit, что означает двоичная цифра.

В компьютерной технике бит соответствует физическому состоянию носителя информации: намагничено – не намагничено, есть отверстие – нет отверстия. При этом одно состояние принято обозначать цифрой 0, а другое – цифрой 1. Выбор одного из двух возможных вариантов позволяет также различать логические истину и ложь. Последовательностью битов можно закодировать текст, изображение, звук или какую-либо другую информацию. Такой метод представления информации называется двоичным кодированием (binary encoding).

В информатике часто используется величина, называемая байтом (byte) и равная 8 битам. И если бит позволяет выбрать один вариант из двух возможных, то байт, соответственно, 1 из В большинстве современных ЭВМ при кодировании каждому символу соответствует своя последовательность из восьми нулей и единиц, т. е. байт. Соответствие байтов и символов задается с помощью таблицы, в которой для каждого кода указывается свой символ. Так, например, в широко распространенной кодировке Koi8-R буква "М" имеет код , буква "И" – код , а пробел – код .

Наряду с байтами для измерения количества информации используются более крупные единицы:

1 Кбайт (один килобайт) = 210 байт = 1024 байта;

1 Мбайт (один мегабайт) = 210 Кбайт = 1024 Кбайта;

1 Гбайт (один гигабайт) = 210 Мбайт = 1024 Мбайта;

1 Тбайт (один терабайт) = 210 Гбайт = 1024 Гбайта.

ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ НА ЭВМ

Существуют два основных формата представления чисел в памяти компьютера. Один из них используется для кодирования целых чисел, второй (так называемое представление числа в формате с плавающей точкой) используется для задания некоторого подмножества действительных чисел.

Множество целых чисел, представимых в памяти ЭВМ, ограничено. Диапазон значений зависит от размера области памяти, используемой для размещения чисел. В n-разрядной ячейке может храниться 2n различных значений целых чисел.

Чтобы получить внутреннее представление целого положительного числа A, хранящегося в n-разрядном машинном слове, необходимо:

1)  перевести число A в двоичную систему счисления;

2)  полученный результат дополнить слева незначащими нулями до n разрядов.

Для записи внутреннего представления целого отрицательного числа (-A) необходимо:

1)  получить внутреннее представление положительного числа A;

2)  получить обратный код этого числа заменой 0 на 1 и 1 на 0 (инвертированием);

3)  к полученному числу прибавить 1.

Пример 5.

5.1. Получить внутреннее представление целого числа 1607 в 2-х байтовой ячейке.

Решение.

Переведем число в двоичную систему: 160710 = . Так как 2-х байтовая ячейка состоит из 16 бит (1 байт = 8 бит), то внутреннее представление этого числа в 2-х байтовой ячейке будет следующим: 011.

5.2. Получить внутреннее представление целого отрицательного числа -1607 в 2-х байтовой ячейке.

Решение.

Воспользуемся результатом предыдущего примера и запишем внутреннее представление положительного числа 1607 в 2-х байтовой ячейке: 011. Инвертированием (т. е. заменой 0 на 1 и 1 на 0) получим обратный код: 100. К полученному числу добавим единицу: 101 . Внутреннее двоичное представление числа -1607 в 2-х байтовой ячейке имеет вид 101 .

Формат с плавающей точкой использует представление вещественного числа А в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления q в некоторой целой степени n, которую называют порядком:

Представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно. Например, справедливы следующие равенства:

Чаще всего в ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса m в таком представлении должна удовлетворять условию:

.

Иначе говоря, мантисса меньше 1 и первая значащая цифра – не ноль (q – основание системы счисления).

В памяти компьютера мантисса представляется как целое число, содержащее только значащие цифры (0 целых и запятая не хранятся), так для числа 12,345 в ячейке памяти, отведенной для хранения мантиссы, будет сохранено число 12345. Для однозначного восстановления исходного числа сохраняется только его порядок, в данном примере – это 2.

Задание № 1.

Представьте количество информации равное Х бит в различных единицах измерения: Кб, Мб.

№ варианта	Х	№ варианта	Х	№ варианта	Х
1	12288	9	36864	17	98304
2	8192	10	49152	18	65536
3	20480	11	28672	19	81920
4	32768	12	40960	20	94208
5	45056	13	53248	21	102400
6	57344	14	61440	22	69632
7	16384	15	73728	23	77824
8	24576	16	86016	24	90112

Задание № 2.