Строительная механика (стр. 11 )

Во время движения, пренебрегая сопротивлением внутренних и внешних сил, на балку будут действовать в качестве внешних сил инерционные силы, (i = 1,2,3,...,n). Применяя метод сил, перемещение произвольной массы yi (t) записывается в виде суммы,

где - перемещение i-ой массы от статической единичной силы, приложенной к k-ой массе от статической единичной силы по направлению соответствующей инерционной силы.

Система дифференциальных уравнений движения (14.12), опи­сывающая свободные колебания заданной балки, представляет со­бой замкнутую систему дифференциальных уравнений второго по­рядка

Пример динамического расчета рамы

На раме с размерами, указанными на рис.14.6, в точках 1 и 2 установлены два одинаковых вибратора весом G = 20 кН каждый и весом неуравновешенных частей Р0 =1,2 кН, размещенные на оси вращения с эксцентриситетом е = 0,015 м. Вибраторы вращаются синфазно с частотой n = 600 об/мин.

Рама выполнена из двух двутавров № 50 (ГОСТ 8239-72), т. е. Jx = 3,29×10-4 м4; Wx =0,157×10-2 м3. Рама изготовлена из стали с харак­теристиками Е = 2,1×105 МПа, R = 190 МПа.

Пренебрегая собственным весом рамы и внутренним трением мате­риала, требуется:

1. Составить канонические урав­нения по методу сил, определяющие свободные колебания рамы, и полу­чить значения частот и периодов соб­ственных колебаний рамы;

2. Вычислить отношения ампли­туд и графически изобразить возможные формы собственных ко­лебаний рамы;

3. Проверить ортогональность собственных форм колебаний си­стемы;

4. Определить круговую частоту вынужденных колебаний и изо­бразить примерный вид графика коэффициента динамичности;

5. Составить канонические уравнения по методу сил, определя­ющие вынужденные колебания системы, и определить амплитуд­ные значения инерционных сил;

6. Построить статическую эпюру изгибающих моментов от всех вибраторов и эпюру амплитудных значений изгибающих моментов при вынужденном режиме колебания рамы;

7. Построить эпюру моментов при одновременном действии статических и динамических сил и определить положение опасного сечения конструкции;

8. Вычислить максимальное значение напряжения в опасном сечении и проверить условия прочности для принятого поперечно­го сечения рамы.

Решение:

Расчетная схема рассматриваемой системы показана на рис.14.6. Под действием периодической возмущающей нагрузки рама совер­шает колебательное движение.

Рис.14.6

Пренебрегая внутренним трением материала рамы и ее собственным весом, упругие перемещения сечений 1 и 2 по принципу независимости действия сил записы­ваются в виде:

(14.32)

где - перемещение i-ого сечения от статической единичной силы, приложенной в k-ом сечении (i = 1,2; k = 1,2) по направле­нию соответствующей инерционной силы; , - перемеще­ния сечений 1 и 2 от всех динамических нагрузок. При этом:

(14.33)

где

(14.34)

С учетом выражений (14.33) и (14.34) и m1 = m2 = m уравнение (14.32) в стационарном режиме колебаний можно переписать в виде:

(14.35)

где .

Решая систему уравнений (14.35) определяют амплитудные зна­чения инерционных нагрузок (способом Крамера):

, (i = 1,2), (14.36)

где приняты следующие обозначения:

.

Учитывая, что в данном случае P1 = P2, амплитуды динами­ческого прогиба и изгибающего момента в произвольном i-ом (i = 1,2,...) сечении могут быть определены по формулам:

(14.37)

Уравнения движения (14.32) при свободных колебаниях рамы, т. е. при P1 = P2 = 0, принимают вид

(14.38)

Относительно амплитуды перемещения последняя система уравнений преобразуется в виде:

(14.39)

где .

Здесь - частота собственных колебаний рамы.

Система алгебраических уравнений (14.39) относительно ампли­туды перемещения сосредоточенных масс имеет различные реше­ния. Очевидное решение свидетельствует об отсутст­вии движения системы и не подходит по смыслу поставленной задачи.

Система (14.39) может иметь решения, отличные от нулевого, лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю, т. е. когда выполняется условие:

. (14.40)

Раскрыв определи, получим квадратное уравнение относительно . После определения с учетом (14.39) вычисляются собственные частоты .

Первая частота называется частотой основного тона собст­венных колебаний. Каждой частоте соответствует определенная форма колебаний системы. Форму колебания можно изобразить графически. Для этого в уравнения (14.39) следует подставить зна­чение (i = 1, 2), причем:

. (14.41)

При этом одно из двух уравнений (14.39) становится лишним. Пренебрегая первым уравнением (14.39), из второго получим:

, (i = 1,

После чего, задавая значение yii (i = 1,2), можно вычислить в долях , а - в долях и изобразить графический характер возможной формы колебаний первого и второго тона колебаний.

Формы колебаний должны быть ортогональны. Условие ортого­нальности собственных форм записывается в виде:

, (r,k = 1,2; r ¹ k). (14.43)

Определив собственные частоты и и вычислив частоту вынужденных колебаний , необходимо сопоставить с ближай­шей из или . Во избежание наступления резонансных колеба­ний рекомендуется, чтобы отличалась от любой из частот , не менее чем на 30%. Если при решении задачи окажется, что это требование не выполняется, то следует изменить значение или . Этого можно достичь путем:

- изменения геометрических или физико-механических характеристик материалов элементов рамы;

- уменьшения или увеличения частоты вращения вибратора.

При этом во всех случаях напряжения в опасных сечениях ра­мы должны удовлетворять условиям прочности.

Переходим к численной реализации решения в соответствии с постановкой задачи.

1. Определение частот и периодов собственных колебаний рассматриваемой системы

Предварительно определим изгибную жесткость элементов заданной системы:

кН×м2.

Заданная система один раз статически неопределима. Основная система метода сил представлена на рис.14.7, а. Эпюра моментов в основной системе от действия силы Х1 = 1 показана на рис.14.7, б, а от единичных внешних сил - на рис.14.8, а, б.

Сначала рассчитываем раму на действие силы . Канони­ческое уравнение метода сил в данном случае записывается в виде:

. (14.44)

Рис.14.7

Рис.14.8

Коэффициенты и находим перемножением эпюр и по формуле Мора.

Здесь определяется как результат перемножения эпюры (рис.14.7, б) самой на себя, как результат перемножения эпюры (рис.14.7, б) с (рис.14.8, а).

(14.45)

С учетом (14.45) из решения (14.44) получим:

.

Эпюра изгибающих моментов в заданной системе от действия сил Р1 =1 и Х1 = 5/16 изображена на рис.14.9, a.

Рис.14.9

Рассчитываем раму на действие силы Р2 = 1. Каноническое уравнение метода сил в данном случае принимает вид:

. (14.46)

Здесь определяется как результат перемножения эпюры моментов, изображенных на рис.14.7, б и 14.8, б, в соответствии с формулой Мора:

. (14.47)

С учетом значения из (14.45) и значения из (14.47) и из (14.46) получим:

.

Эпюра изгибающих моментов от действия сил Р2 = 1 и Х1 = = 7/4 в заданной системе изображена на рис.14.9, б.

Единичное перемещение определяется по формуле Мора в результате перемножения эпюры самой на себя, применяя формулы умножения двух эпюр моментов в виде двух трапеций на произвольном участке. Получим:

м/кН.

Единичное перемещение определяется по формуле Мора перемножением эпюры самой на себя (рис.14.9, б):

м/кН.

Единичное перемещение определяется по формуле Мора в результате перемножения эпюр и , изображенных соот­ветственно на рис.14.9, а, б:

м/кН.

Решив уравнение (14.40), получим:

,

откуда

.

Окончательно =166,75×10-6 м/кН; =10,.35×10-6 м/кН.

По формуле (14.41) определяется значение собственной частоты рассматриваемой рамы:

c-1;

c-1.

Периоды собственных колебаний рассматриваемой системы принимают значения: c; c.

2. Определение амплитуды собственных колебаний и графическое изображение собственных форм

Для вычисления значения отношений амплитуды собственных колебаний из (14.42), предварительно определив кН∙с2/м, имеем при = 1 и при = 1, соответственно:

Формы собственных колебаний рассматриваемой системы изо­бражены на рис.14.10 (а - первая форма; б - вторая форма).

3. Проверка ортогональности собственных форм колебаний

Из условия ортогональности (14.43) имеем:

.

Рис.14.10

4. Определение круговой частоты вынужденных колебаний и изображение примерного вида графика коэффициента динамичности в зависимости от отношения частот вынужденных и собственных колебаний

В стационарном режиме круговая частота вынужденных колеба­ний системы имеет значение:

c-1.

Сопоставим величину с величиной ближайшей собственной частоты рамы :

.

Во избежание резонансных колебаний надо изменить величину или . В данном случае, принимая n = 900 об/мин, получим:

c-1;

,

Рис.14.11

Следовательно, при с-1 при­нятое условие во избежание резонансных колебаний выполняется.

Примерный вид графика коэффици­ента динамичности в зависимости от изображен на рис. 14.11.

5. Определение амплитудных значений инерционных сил

В соответствии с принятым обозначением по формулам (14.34) и (14.35) последовательно определяем:

м/кН;

м/кН;

кН;

м/кН;

м/кН;

м2/кН;

м2/кН;

м2/кН.

По (14.33) определяем амплитудные значения инерционных сил:

= |D1/D |= |3,72/0.5| = 7,44 кН;

= |D2/D |= |9,64/0.5 |= 19,28 кН.

6. Определение эпюры изгибающих моментов от действия собственного веса вибраторов и амплитудных значений изгибающих моментов при вынужденном стационарном режиме колебания рамы

Значение изгибающих моментов, возникающих от действия собственного веса вибраторов, в произвольном сечении опреде­ляется по формуле:

.

Определяем значение в характерных сечениях (0; 1; 2; 3) рамы (см. рис.14.9):

сечение 0: = 20×(9/8 - 3/2) = -7,5 кН×м;

сечение 1: = 20×(-15/16 + 3/4) = -3,75 кН×м;

сечение 2: = 0;

сечение 3: = 20×(0 + 3) = 60 кН×м.

Эпюра изгибающих моментов приведена на рис.14.12.

Амплитудные значения изгибающих моментов от действия внешних динамических и инерци­онных нагрузок в соответствии с (14.37) определяются:

=

.

Рис. 14.12

Согласно последней формуле в характерных сечениях имеет

следующие значения:

сечение 0: кН×м;

сечение 1: кН×м;

сечение 2: = 0;

сечение 3: кН×м.

Эпюра изображена на рис.14.12 (пунктиром).

7. Построить эпюру моментов при одновременном действии статических и динамических сил и определить положение опасного сечения конструкции

Результирующее значение изгибающих моментов, действующих в характерных сечениях при одновременном действии статических и динамических нагрузок, определяется по формуле:

.

Эпюра Mk, как и эпюры и , изображены на рис.14.12.

Из рис.14.12 согласно эпюре М следует, что наиболее опасным яв­ляется сечение 3.

8. Определение максимального напряжения и проверка условий прочности в наиболее опасном сечении

кН/м2 = 53,2МПа <R = 190 МПа.

Следовательно, условие прочности рассматриваемой рамы обес­печено.

Задание на контрольные работы №1 и №2

Внимание! В УМКД даются типовые тематические задачи и их решение. Сами задания на контрольные работы выдаются преподавателем индивидуально по окончании установочной сессии.

Контрольная работа №1

РАСЧЁТ ФЕРМЫ НА ПОСТОЯННУЮ И ПОДВИЖНУЮ НАГРУЗКУ

Для фермы требуется:

1. От собственного веса фермы q = 5кН/м, равномерно распределённого по всей длине, определить аналитически усилия в стержнях О4, D3, U3, D4, V4 и V5. Длина панели d = 6м., высота фермы равна 4Н/3, где Н = 1.5d = 9.0м.

2. Построить линии влияния усилий в указанных стержнях фермы с определением числовых значений характерных ординат.

3. Линии влияния усилий загрузить постоянной нагрузкой от собственного веса фермы и сравнить с результатом, полученным в пункте 1.

4. Треугольную линию влияния усилия в одном из стержней фермы загрузить нагрузкой от железнодорожного подвижного состава класса К и эквивалентной нагрузкой класса К (табл. 1). Принять К = 10.

Решение

Грузовым поясом фермы является верхний пояс. Распределяем распределённую нагрузку q на узлы верхнего пояса фермы.

P = q*d = 5x6 = 30кН.

Основная ферма, с учётом наличия двухъярусных шпренгелей часть распределённой нагрузки приходится на узлы нижнего пояса. В 1-й и 6-й панелях основной фермы находятся одноярусные шпренгели, а в остальных панелях – двухъярусные шпренгели.

Таблица 1

Длина линии влияния l, м Эквивалентные нагрузки qэк, кН/м пути при классе К = 1 a = 0 a = 5.0

1 50

5 20

10 17

20 15

30 13

40 12

50 11

60 11

80 10

Примечание: a = а/l - положение вершины линии влияния; а – проекция наименьшего расстояния от вершины линии влияния до конца линии влияния, м.

Пункт 1. Определение усилий в стержнях фермы.

Определение опорных реакций фермы Rл и Rпр. Из уравнений равновесия åМ1 = 0 и åY = 0 имеем: q*L2/2 - Rпр*L = 0; Rл – q*L + Rпр = 0;

Rпр = q*L/2 = 5*72/2 = 180кН; Rл = q*L – Rпр =5*72 – 180 = 180кН.

Определение усилия в стержне О4. Стержень О4 является элементом первой категории, то есть О4 = О04.

Следовательно, величину усилия О4 можно определить как непосредственно из шпренгельной фермы с использованием сечения I-I, так и из основной фермы с использованием разреза. Для определения усилия О4 воспользуемся способом моментной точки и рассмотрим равновесие левой отсеченной части фермы. Моментной точкой для стержня О4 является узел 5¢. Из условия равновесия åМ5¢ = 0 имеем: Rл*4d –4d*P/2 –3d*P – 2d*P –d*P + 4H*O4/3= 0;

так как 4H/3 = 2d, то 4Rл – 8P + 2O4 = 0; O4 = 4P – 2Rл = 4*30 – 2*180 = - 240кН < 0, стержень О4 сжат.

Определение усилия в стержне U3. Стержень U3 является элементом третьей категории, то есть U3 = U03 + Uш3.

Используя, определяем усилие U3 по способу моментной точки (моментной точкой для стержня U3 является узел 3).

åM3 = 0; Rл*2d – 2d*P/2 – Р*d + P*d – U3*rU = 0; U3 = d*(2Rл – P)/rU.

Определяем плечо rU. Находим положение точки К, точки пересечения стержней O4 и U3. Из подобия треугольников имеем отношение

(а + 2d)/(a + 4d) = H/(4H/3) = ¾; a = 4d; rU = Hcosa;

tga = H/(a + 2d) = 1.5d/6d = 0.25; cosa = 1/ = 0.97

Итак: rU = 1.5dcosa = 9*0.97 = 8.73; U3 = 6(2*180 – 30)/8.73 = 226.8кН > 0;

стержень U3 растянут.

Определение усилия в стержне D3. Стержень D3 является элементом третьей категории. Применяем способ моментной точки с использованием разреза I-I. Моментной точкой является точка пересечения стержней О4 и U3 (точка К).

åМк = 0; Rл4d – 4dP/2 – 5dP –6dP – 7dP –D3rD = 0; D3 = (4Rл –20P)d/rD.

Плечо для D3: rD = 6dsinb; tgb = (4H/3)/2d = 1; tgb = 1; b = 45o ;

D3 = (4Rл – 20P)/6sinb = (4x180 – 20x30)/6x0.707 = 28.3кН > 0.

Стержень D3 растянут.

Определение усилия в стержне V5. Стержень V5 является элементом второй категории, то есть V5 = Vш5.

Рассмотрим двухъярусный шпренгель из третьей панели основной фермы. Применяем способ вырезания узлов, рассматривая равновесие узла 6. åY = 0; P + Vш5 = 0; Vш5 = - P = - 30кН.

Стержень V5 сжат.

Определение усилия в стержне V4. Стержень V4 является элементом четвёртой категории. Усилие в стержне V4 определяем с использованием разреза Ш-Ш в основной ферме, распределив соответствующим образом внешнюю нагрузку по узлам фермы. Применяем способ проекций, рассматривая равновесие левой части рассечённой фермы.

åY = 0; Rл + V4 –4P = 0; V4 = 4P – Rл = 4*30 – 180 = - 60кН.

Стержень V4 сжат.

Пункт 2. Построение линий влияния усилий в стержнях фермы.

Построение линии влияния усилия в стержне О4. Стержень О4 является элементом первой категории, то есть О4 = О04. Рассматривается основная ферма и используется разрез II-II.

1-й случай. Единичный груз находится правее разрезанной панели 3-5, то есть единичный груз перемещается от узла 5 до узла 13. Рассматривается равновесие левой части рассечённой фермы. По способу моментной точки (моментной точкой является узел 5’) имеем:

åM5’ = 0; 4d*Rл + 4H*О4/3 = 0; O4 = - (3d/H)Rл = - 2Rл,

то есть, в этом случае, линия влияния усилия О4 подобна линии влияния левой опорной реакции Rл с коэффициентом подобия, равным –2. Строим правую ветвь линии влияния: откладываем под левой опорой фермы вниз от нулевой линии отрезок 1-1¢, равный -2, и проводим прямую 1¢-13, ограничиваясь отрезком 5-13 от правой опоры до узла 5.

2-й случай. Единичный груз находится левее разрезанной панели 3-5, то есть он перемещается от узла 1 до узла 3. Рассматривается равновесие правой части разрезанной части фермы:

åM5¢ = 0; Rпр8d + O44H/3 = 0; O4 = - 4Rпр,

В этом случае линия влияния усилия О4 подобна линии влияния правой опорной реакции Rпр с коэффициентом подобия, равным – 4. Строится левая ветвь линии влияния усилия О4: под правой опорой фермы от нулевой линии откладывается вниз отрезок 13-13¢, равный -4, и проводится прямая 1-13¢, которая ограничивается отрезком 1-3. В пределах разрезанной панели 3-5 проводится передаточная прямая.. Максимальная ордината линии влияния определена из подобия треугольников.

Построение линии влияния усилия в стержне U3.

Для построения линии влияния U3 используется разрез I-I в шпренгельной ферме, когда разрезанной панелью является панель 4-5. Построение линии влияния ведётся по способу моментной точки (моментной точкой для стержня U3 является узел 3).

1-й случай. Единичный груз находится левее панели 4-5. Рассматривается равновесие правой части рассечённой фермы.

åМ3 = 0; U3rU – Rпр10d = 0; rU = Hcosa = 1.5dcosa;

U3 = 10Rпр/1.5cosa = 6.87Rпр.

В этом случае линия влияния усилия U3 подобна линии влияния правой опорной реакции Rпр с коэффициентом подобия, равным 6.87. Строим левую ветвь линии влияния. Для этого под правой опорой откладываем вверх от нулевой линии отрезок, равный 6.87, и проводим прямую 1-13¢, ограничивая её отрезком 1-4 до панели 4-5.

2-й случай. Единичный груз находится правее разрезанной панели 4-5, то есть груз перемещается от узла 5 до узла 13. Рассматривается равновесие левой части рассечённой фермы.

åМ3 = 0; Rл2d –U3rU = 0; U3 = Rл2d/rU = Rл2/1.5cosa = 1.37Rл

В этом случае линия влияния усилия U3 подобна линии влияния левой опорной реакции Rл с коэффициентом подобия, равным 1.37. Строим правую ветвь линии влияния усилия U3. Для этого под левой опорой фермы откладываем от нулевой линии отрезок, равный 1.37, и проводим прямую 13-1¢, ограничивая её отрезком 13-5 от правой опоры до узла 5. В пределах панели 4-5 проводится передаточная прямая.

Построение линии влияния усилия в стержне D3. Стержень D3 - элемент третьей категории. Для построения линии влияния усилия D3 используется разрез I-I и расчётные схемы, и способ моментной точки (моментной точкой для стержня D3 является точка К, точка пересечения стержней U3 и O4).

В первом случае (единичный груз левее разрезанной панели 4 – 5) имеем:

åMк = 0; Rпр(12d + a) + D3rD = 0; D3 = - Rпр(16d/rD);

D3 = - Rпр(16d/6dcosb) = - 3.76Rпр

В этом случае линия влияния усилия D3 подобна линии влияния реакции Rпр правой опоры фермы с коэффициентом подобия, равным -3.76. Строим левую ветвь линии влияния усилия D3: под правой опорой откладываем от нулевой линии отрезок 13-13¢, равный -3.76 и проводим прямую 1-13¢, ограничивая её отрезком 1-4.

Во втором случае (единичный груз правее разрезанной панели 4–5) имеем: åМк = 0; Rл4d – D3rD = 0; D3 = Rл(4d/rD) = (2/3sinb); D3 = 0.94Rл.

Контрольная работа № 2

РАСЧЁТ ШПРЕНГЕЛЬНОЙ ФЕРМЫ С ОДНОЯРУСНЫМИ ШПРЕНГЕЛЯМИ

И ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПОЯСАМИ

Для шпренгельной фермы с размерами и узловыми нагрузками, полученными путем замены собственного веса, равномерно распределенного по всей длине фермы, требуется:

1. Определить аналитически усилия O2, D1, U4, V1 в указанных стержнях шпренгельной фермы от собственного веса фермы, имеющего по длине интенсивность q = 40 кН/м.

2. Построить линии влияния усилий в указанных элементах шпренгельной фермы. Для всех линий влияния определить числовые значения характерных ординат.

3. Вычислить с помощью линии влияния максимальное усилие в элементе пояса фермы при загружении его линии влияния заданной временной нагрузкой от железнодорожного подвижного состава класса К=10.

4. Определить то же усилие, что и в п.3, при загружении линии влияния эквивалентной нагрузкой класса. Сравнить результаты, полученные в п. п. 3 и 4.

1.  Определить аналитически усилия в указанных стержнях шпренгельной фермы от собственного веса фермы, имеющего по длине интенсивность q= 40 кН/м

Равномерно распределенную нагрузку от собственного веса фермы приведем к узловой. Тогда во всех промежуточных узлах заданной фермы будет действовать узловая нагрузка P = q × d = 40 × 5 = 200 кН,

а на опорные узлы – qd/2 = 40 × 5/2 = 100 кН.

Из условия симметрии опорные реакции равны:

RA = RB =12×P/2 = 12×200/2 = 1200 кН.

Аналитически усилия в стержнях фермы определяются при помощи метода сечений.

Дополнительные шпренгельные фермы (шпренгели), передают местную вертикальную нагрузку, приложенную к нижним дополнительным узлам, только в нижние узлы основной фермы. Такие шпренгели называются одноярусными. Для определения усилия О2 в стержне 4-6 заданной формы, являющимся элементом первой категории, проведем в основной ферме сечение I-I. Моментной точкой для определения усилия является точка 4¢. Составим уравнение равновесия левой отсеченной части фермы , получим

кН.

Усилие D1 в раскосе 4¢ -5, элементе третьей категории, определяем как сумму двух усилий, одно из которых возникает в элементе основной фермы, а другое - в элементе шпренгеля.

Усилие стержня 4¢ - 6 основной фермы находим из уравнения равновесия левой отсеченной части фермы (сечение I-I):

где

Выделим шпренгель из заданной фермы и определим усилие в раскосе 4¢-5. Проведя сечение а-а, составим уравнение равновесия левой отсеченной части шпренгеля