Выборочный коэффициент корреляции. Эмпирическая и теоретическая линии регрессии (стр. 2 )

, ,

где С1 – ложный нуль для Х;

h1 – шаг значений признака Х;

С2 – ложный нуль для Y;

h2 – шаг значений для признака Y.

, (2)

где n – объем выборки;

muv – частота пары вариант U и V;

, ;

, .

Из корреляционной таблицы выбираем наибольшую частоту: mxy=10, C1=35, C2=12.

Составляем корреляционную таблицу 3 в условных вариантах, где наибольшая частота mxy=10 кодируется 0 в рядах U и V.

Все результаты вычислений приведем в этой таблице.

2   6   V U	-3	-2	-1	0	1	2	3	mv	mvV	mvV2
1   2   -2	2		2					4	-8	16
0   0   0   -1		1	4					5	-5	5
0   1   -2   2   0		4	3	10				17	0	0
4   2   1		2		2	3	6		13	13	13
9   6   2					5	4		9	18	36
3						1	1	2	6	12
mu	2	7	9	12	8	11	1	50	Σ=24	Σ=88
muU	-6	-14	-9	0	8	22	3	Σ=4
muU2	18	28	9	0	8	44	9	Σ=116
muvUV	12	-2	8	0	13	34	9	Σ=74

Подставляя результаты вычислений в формулы, получим:

, ;

, ;

, ;

или 76%

Коэффициент корреляции показывает тесную связь, существующую между температурой смазочного масла и температурой окружающего воздуха.

2. Определение надежности (доверительного интервала) коэффициента корреляции.

Для оценки надежности полученного коэффициента корреляции определяют его погрешность по формуле:

.

В предположении, что (Х,Y) имеет нормальное распределение или близкое к нему, можно считать коэффициент корреляции распределенным нормально с параметрами r и sr. Найдем доверительный интервал с надежностью γ=0,95.

rB - tγ srB < r < rB + tγ srB

Найдем по таблице значений функции Ф(х) (см. приложение) γ=2Ф(х)

Ф(х)==0,475, tγ=1,96

srB= =0,059 0,06.

Доверительный интервал для коэффициента корреляции запишется так:

0,76-1,96×0,06 < r < 0,76+1,96×0,06;

0,76-0,12 < r < 0,76+0,12;

0,64 < r < 0,88.

Это означает, что при условиях данного опыта следует ожидать влияние температуры окружающего воздуха на температуру смазочного масла заднего моста не менее, чем на 64%.

3. Построение эмпирической и теоретической линий регрессии Y на Х.

Для построения эмпирической линии регрессии составим таблицу 4.

Таблица 4

Х	5	15	25	35	45	55	65
	4	12,6	6,44	12,6	18,5	18,2	24

- условная средняя значений признака Y при условии, что Х принимает определенное значение. Для вычисления воспользуемся таблицей 2.

Принимая пары чисел (X, ) за координаты точек, строим их в системе координат и соединяем отрезками прямой. Полученная ломанная линия и будет эмпирической линией регрессии.

Уравнение теоретической прямой линии регрессии Y на Х имеет вид:

,

где - выборочная средняя признака Y,

- выборочная средняя признака Х.

Уравнение прямой регрессии запишется так:

или окончательно:

Построим обе линии регрессии (рис. 5).

При х=0 =4,97; при х=65 =21,22.

Корреляционное отношение.

Для оценки тесноты связи линейной и нелинейной корреляционной зависимости между признаками Y и Х служит корреляционное отношение

где – среднее квадратическое отклонение признака Y;

- среднее квадратическое отклонение условных средних y относительно общей средней у, определяемое из равенства:

Корреляционное отношение обладает следующими свойствами:

1.  Корреляционное отношение всегда находится между нулем и единицей

2.  Если , то признак Y с признаком Х корреляционной зависимостью не связан.

3.  Если , то между признаками Y и Х существует функциональная зависимость y=f(x).

4.  Чем ближе корреляционное отношение к единице, тем сильнее корреляционная зависимость между признаками Y и X; чем ближе к нулю, тем эта зависимость слабее.