Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» - 2013 (стр. 2 )

Выпишем длину в метрах и соответствующее ей число разрезов, выраженное натуральными числами, в отдельную таблицу:

Таблица 2

метры	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	n
разрезы	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	?

Из таблицы видим, что в случае 64 метров получим 5 разрезов, и это является решением задачи №1. Также из таблицы видно, что если брать число метров, не равное тому, которое предложено в таблице, то задача не будет иметь решений в случае деления пополам.

Чтобы продолжить I-ю и II-ю строки таблицы, необходимо выявить закономерность, по которой она составлена.

Итак, мы видим, что число метров каждый раз увеличивается в 2 раза, а количество разрезов на 1. Попробуем изобразить это на графике. По оси х будем откладывать метры, а по оси у – разрезы (рис. 1).

рис. 1

По графику видно, что это не линейная зависимость, потому что график - это не прямая линия.

Для определения зависимости между величинами, мы обратились к известным графикам элементарных функций (Приложение I). Наша кривая очень похожа на одну ветвь параболы[5], но только в случае, если бы мы на оси х откладывали число разрезов, а на оси у - число метров. Изобразим это на графике (рис. 2):

Попробуем составить формулу, где у – это метры, а х – разрезы.

Если формула у = х2 + в, где в какое-то число, то (из таблицы 2) получим:

2=02+в, в = 2

4=12+ в, в = 3

8=22+ в, в = 4

16=32+ в, в = 7

32=42+ в, в = 16

64=52+ в, в = 39

128=62+ в, в = 92

Анализируя значения числа в, мы не смогли обнаружить закономерность. Поэтому у нас появилась мысль о том, что здесь не квадратичная зависимость, а какая-то другая.

Обратимся ещё раз к графикам элементарных функций. Наиболее похож на нашу кривую график показательной функции, особенно тот, в котором основание равно 2. При построении этого графика (у = 2х) мы заметили, что таблица, с помощью которой мы построили этот график, содержит те же числа в строке у, что и наше число метров, за исключением 1.

Таблица 3

х	0	1	2	3	4	5	6	7	8
у	1	2	4	8	16	32	64	128	256

Анализируя таблицу, я заметила, что происходит смещение на 1 в строке х. Тогда формула может иметь следующий вид: у = 2х+1.

Проверим, подходит ли наша формула к задаче №1:

64 = 2х+1

26 = 25+1

х = 5

64 = 25+1 = 26

Ответ: 5.

Вывод: мы нашли формулу, которую можно применять для решения задач, в которых ленту или верёвку сгибают несколько раз пополам и в результате разрезов получают определённое количество метров.

Когда я составляла задачи подобного типа, у меня возникла мысль составить задачу, в которой надо, чтобы оставалось после разрезаний не 2, а 3 метра. И я подумала, что формула, по которой можно решить такую задачу, будет не у = 2х+1, а у = 3х+1. Однако эта формула оказалась неверной. Я столкнулась с новой проблемой: «Что такое 2 в основании степени в формуле?» Догадка: может, это число, показывающее, что мы сгибаем пополам? Тогда какой будет формула, по которой можно, сгибая пополам, получить трёхметровые куски? Чтобы ответить на этот вопрос, нам пришлось составить

новую таблицу.

Таблица 4

Длина, м	Разрез пополам	В итоге нужно получить 3 метра
1 разрез, м	2 разрез, м	3 разрез, м	4 разрез, м	5 разрез, м	6 разрез, м	7 разрез, м	8 разрез, м
3	-	-	-	-	-	-	-	-	+
6	3	-	-	-	-	-	-	-	+
12	6	3	-	-	-	-	-	-	+
24	12	6	3	-	-	-	-	-	+
48	24	12	6	3	-	-	-	-	+
96	48	24	12	6	3	-	-	-	+

Выпишем длину в метрах и соответствующее ей число разрезов, выраженное натуральными числами, в отдельную таблицу:

Таблица 5

Метры, у	3	6	12	24	48	96
Разрезы, х	0	1	2	3	4	5

у1= 20+21 = 1 + 2 = 3

у2 = 21+22 = 2 + 4 = 6

у3 = 22+23 = 4 + 8 = 12

у4 = 23+24 = 8 + 16 = 24

у5 = 24+25 = 16 + 32 = 48

у6 = 25+26 = 32 + 64 = 96 у6 =+ 2) = 25 · 3 = 32 · 3 = 96

Исследуя закономерность этой таблицы, я пришла к выводу, что формула, по которой можно получить 3-метровые куски, сгибая шнур пополам, будет такой: у = 3·2х

Сравнивая две формулы, у = 2х+1 и у = 3·2х, заметим, что у = 2х+1 можно представить в виде у = 2·2х, где х = 0, 1, 2 и т. д. (число разрезов). Таким образом, чтобы после нескольких сложений шнура и разрезов получить куски, длиной к метров, надо вести подсчёты по формуле уn = к · 2n, где к – число метров, полученных при последнем разрезе, а n – число разрезов.

Вывод: к задачам «на сгибы и разрезы» можно применить формулу уn = к · 2n, где к – число, которое должно быть получено в результате сгибов и соответственных разрезов, а n – число разрезов.

Заключение

Работа будет полезна учащимся, увлекающимся математикой и исследованиями, а также учителям, которые готовят детей для участия в олимпиаде.

Общий вывод по проделанной работе:

В работе определена формула для решения задач «на сгибы и разрезы» в случае, когда ленту сгибают несколько раз пополам и разрезают. Также составлен ряд задач (Приложение II), которые могут быть применены на олимпиадах по математике. Таким образом, цель работы достигнута, гипотеза подтвердилась.

Список использованной литературы

1.  Яндекс. Словари. БСЭ, http://slovari. *****/формула/значение/ (28.11.12)

2.  Что такое закономерность? http://www. *****/slovar/ushakov/s/zakonomernost. html

3.  Олимпиада, 7 класс, «Турнир им. Ломоносова», 2007 год http://*****/publ/zanimatelnaja_matematika/olimpiadnye_zadachi/ol7lom2007/8-1-0-

4.  http://*****/turlom/turlom. html (10.11.12)

5.  Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / , , ; под ред. . – 19-е изд. - М.: Просвещение 2010. – С. 88 – 90.

6.  Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобраз. учреждений/ , , и др.- М.: Просвещение, 2004.

7.  Определение закономерности числового ряда http://bondarenko. /mathematics/on-line-tests/opredelenie-zakonomernosti-chislovogo-ryada/ (5.11.12)

8.  Графики и основные свойства элементарных функций http://*****/grafiki_i_svoistva_funkcij. html (2.12.12)

9.  Показательная функция http://*****/abstracts/?idabstract=46 (7.12.12)

10.  , Иванов вдоль оси ординат в задачах. - Ж. «Математика в школе» - 2010. - №8, 10.

Приложение I

Графики некоторых элементарных функций

Парабола. График квадратичной функции	Кубическая парабола
График функции
График показательной функции функция	График логарифмической функции

Приложение II

Задачи, которые можно предложить учащимся на олимпиаде

1. Ленту длиной 128 см складывали пополам и разрезали в месте сгиба до тех пор, пока не получили отрезки шнура длиной 2 м. Сколько всего раз повторяли эту операцию? (6 раз)

2. Шнур складывали пополам и разрезали в месте сгиба 4 раза, пока не получили отрезки длиной 5 м. Какова длина всего шнура? (80 м)

3. Шнур длиной 48 м складывали пополам и разрезали в месте сгиба 3 раза. Какой длины были отрезки верёвки? (6 м)

4. Верёвку длиной 56 м складывали пополам и разрезали в месте сгиба до тех пор, пока не получили отрезки верёвки длиной 7м. Сколько всего раз повторяли эту операцию?

(3 раза)

5. Верёвку длиной 56 м складывали пополам и разрезали в месте сгиба. Эту операцию повторяли 3 раза. Какой длины получились отрезки верёвки? (7 м)

6. Верёвку складывали пополам и разрезали в месте сгиба 3 раза, пока не получили отрезки длиной 7м. Какова длина всей верёвки? (56 м)

[1] Яндекс. Словари. БСЭ, http://slovari. *****/формула/значение/

[2] Что такое закономерность? http://www. *****/slovar/ushakov/s/zakonomernost. html

[3] Олимпиада, 7 класс, «Турнир им. Ломоносова», 2007 год http://*****/publ/zanimatelnaja_matematika/olimpiadnye_zadachi/ol7lom2007/

[4] http://*****/turlom/turlom. html

[5] Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / , , ; под ред. . – 19-е изд. - М.: Просвещение 2010. – С. 88 – 90.