Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» - 2013 (стр. 1 )

Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» - 2013

Точные науки (11-13 лет)

Задачи на «сгибы и разрезы

Автор: Шарипова Алина
НРМОБУ «Сингапайская СОШ»

Нефтеюганского района,
7 класс

Научный руководитель:
, учитель математики

НРМОБУ «Сингапайская СОШ»

Сингапай

2013

Введение

Актуальность. При подготовке к олимпиаде мне было предложено решить задачу: «Шнур длиной 64 метра сгибают пополам и разрезают в месте сгиба, затем полученные куски снова сгибают пополам и одновременно разрезают. Так делают до тех пор, пока не получают куски шнура длиной 2 метра. Сколько раз нужно согнуть и разрезать шнур?» Назовём такие задачи «задачами на сгибы и разрезы». Чтобы решить эту задачу, необходимо проявить логику, смекалку и другие качества, позволяющие решать такие нестандартные задачи. Я понимаю, что в условии задачи могло быть другое количество разрезов по несколько метров. Поэтому надо будет каждый раз искать решение задач такого типа, затрачивая максимум усилий на их решение. Исследуя этот вопрос в учебниках и в сети «Интернет», я пришла к выводу, что в задачах данного вида не предлагают решения, а есть только ответ. Иногда предлагаются логические решения, не совсем мне понятные. Поэтому возникла проблема - нет единого способа решения задач данного типа. Но если проанализировать их решение с целью поиска закономерностей, то, возможно, найдётся формула или алгоритм, позволяющий решать такие задачи, что значительно облегчит их решение - это гипотеза.

Объект: Задачи «на сгибы и разрезы».

Предмет: Закономерности, полученные в ходе решения данных задач.

Цель: Определить формулу или алгоритм для решения задач «на сгибы и разрезы».

Задачи:

Проанализировать решения задач данного вида из «Интернета». Составить таблицу с данными и выявить закономерность. Определить формулу для решения задач «на сгибы и разрезы». Составить аналогичные задачи.

Методы: анализ, синтез, индукция, обобщение.

Теоретическая значимость работы: в работе описан способ обнаружения закономерности для получения формулы, которая необходима для решения задач «на сгибы и разрезы».

Практическая значимость работы: выведена формула в обобщённом виде, позволяющая решать соответственные задачи «на сгибы и разрезы». Данная формула позволяет составить ряд олимпиадных задач по данной теме для учащихся 5-11 классов.

Новизна: в работе индуктивным путём выведена формула для решения задач «на сгибы и разрезы», составлены новые задачи по данной теме.

Глава I. Теоретическая часть

Формула (от лат. formula – форма, правило, предписание) (математическая), комбинация математических знаков, выражающая какое-либо предложение[1].

Закономерность - последовательное проявление действия какого-нибудь закона[2].

Примеры задач «на сгибы и разрезы»:

1.  Шнур длиной 64 метра сгибают пополам и разрезают в месте сгиба, затем полученные куски снова сгибают пополам и одновременно разрезают. Так делают до тех пор, пока не получают куски шнура длиной 2 метра. Сколько раз нужно согнуть и разрезать шнур?[3]

2.  Шнур длиной 32 м складывали пополам и разрезали в месте сгиба 4 раза. Куски какой длины получили в результате?

Решение из Интернета задачи 1[4]. Одна операция разрезания позволяет удвоить количество кусочков. Сначала у нас один кусок, а получить нужно 32. Значит, операцию придётся проделать 5 раз. Проверим: 1 – 2 – 4 – 8 – 16 – 32.

Глава II. Практическая часть.

Решение этой задачи, найденное нами в Интернете, оказалось нам непонятным. Почему нужно получить 32? Почему операцию придётся проделать 5 раз? Поэтому мы решили найти свой способ.

Чтобы найти закономерность в этой задаче, мы решили представить данные в виде таблицы (нечётные числа брать не будем, так как при делении на 2 получаются дробные числа):

Таблица 1

Длина, м	Разрез пополам	Нужно получить 2 метра
1 разрез, м	2 разрез, м	3 разрез, м	4 разрез, м	5 разрез, м	6 разрез, м	7 разрез, м	8 разрез, м
2	-	-	-	-	-	-	-	-	+
4	2	-	-	-	-	-	-	-	+
6	3	1,5	-	-	-	-	-	-	-
8	4	2	-	-	-	-	-	-	+
10	5	2,5	1,25	-	-	-	-	-	-
12	6	3	1,5	-	-	-	-	-	-
14	7	3,5	1,75	-	-	-	-	-	-
16	8	4	2				-	-	+
18	9	4,5	2,25	1,125	-	-	-	-	-
20	10	5	2,5	1,25	-	-	-	-	-
22	11	5,5	2,75	1,375	-	-	-	-	-
24	12	6	3	1,5	-	-	-	-	-
26	13	6,5	3,25	1,625	-	-	-	-	-
28	14	7	3,5	1,75	-	-	-	-	-
30	15	7,5	3,75	1,875	-	-	-	-	-
32	16	8	4	2			-	-	+
34	17	8,5	4,25	2,125	-	-	-	-	-
36	18	9	4,5	2,25	-	-	-	-	-
38	19	9,5	4,75	2,375	-	-	-	-	-
40	20	10	5	2,5	-	-	-	-	-
42	21	10,5	5,25	2,625	-	-	-	-	-
44	22	11	5,5	2,75	-	-	-	-	-
46	23	11,5	5,75	2,875	-	-	-	-	-
48	24	12	6	3	1,5	-	-	-	-
50	25	12,5	6,25	3,125	-	-	-	-	-
52	26	13	6,5	3,25	1,625	-	-	-	-
54	27	13,5	6,75	3,375	1,6875	-	-	-	-
56	28	14	7	3,5	1,75	-	-	-	-
58	29	14,5	7,25	3,625	1,8125	-	-	-	-
60	30	15	7,5	3,75	1,875	-	-	-	-
62	31	15,5	7,75	3,875	1,9375	-	-	-	-
64	32	16	8	4	2	-	-	-	+
66	33	16,5	8,25	4,125	2,0625	1,03125	-	-	-
68	34	17	8,5	4,25	2,125	1,0625	-	-	-
80	40	20	10	5	2,5	1,25	-	-	-
82	41	20,5	10,25	5,125	2,5625	1,28125	-	-	-
84	42	21	10,5	5,25	2,625	1,3125	-	-	-
86	43	21,5	10,75	5,375	2,6875	1,34375	-	-	-
88	44	22	11	5,5	2,75	1,375м	-	-	-
90	45	22,5	11,25	5,625	2,8125	1,40625	-	-	-
92	46	23	11,5	5,75	2,875	1,4375	-	-	-
94	47	23,5	11,75	5,875	2,9375	1,46875	-	-	-
96	48	24	12	6	3	1,5м	-	-	-
98	49	24,5	12,25	6,125	3,0625	1,53125	-	-	-
100	50	25	12,5	6,25	3,125	1,5625	-	-
102	51	25,5	12,75	6,375	3,1875	1,59375	-	-	-

Из таблицы видно, что в результате деления пополам только некоторые числа на всех разрезах дают натуральное число метров. Так, например, длина 16 м при каждом из трёх разрезов даёт последовательно части, выраженные натуральными числами 8, 4 и 2, а число 24 при четвёртом разрезе даёт дробь, поэтому условие задачи в данном случае выполняться не будет.